Элемент тока I dl возбуждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиусу-вектору r. Разложим это поле на две слагающие: осевую слагающую dB z и радикальную слагающую dB r . При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую составляющую

Угол один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура 2πa. Таким образом,

4) Индукция маг. Поля на оси соленоида.

Поэтому маг-ю индукцию на оси соленоида можно получить проинтегрировав индукции от отдельных круговых токов, согласно расчетов:

n-число витков на единицу длины соленоида.

Направление вектора B вдоль оси соленоида по правилу буравчика.

33. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

На всякую рамку с током, помещенную в маг. поле, действует пара сил. Можно предположить, что эта пара сил, создается силами, действующими на каждый элемент контура тока, находящихся в маг. поле.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

где dl -вектор, совпадающий по направлению с током, В - вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где a -угол между векторами dl и В .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 , расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Можно показать, что два параллельных тока, одинакового направления, притягиваются друг с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой.

34. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Магнитное поле движущегося заряда.

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m= 1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, равна

Для нахождения числового значения m 0 воспользуемся определением ампера, согласно

которому =2×10 –7 Н/м при I 1 = I 2 = 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в фор­мулу, получим

гдегенри (Гн) - единица индуктивности.

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предполо­жим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде d F =IB dl, откуда

Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1 Тл - магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Так как m 0 = 4p×10 –7 Н/А 2 , а в случае вакуума (m = 1), согласно (109.3), B=m 0 H, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля -ампер на метр (А/м): 1 А/м - напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p×10 –7 Тл.

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Обобщая общие данные: Закон точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М. Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в кото­рой расположены векторы v и r , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r .

Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле

где a - угол между векторами v и r .

Приведенные закономерности (1) и (2) справедливы лишь при малых скоро­стях (v <<с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Формула (1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движу­щегося со скоростью v . Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на -Q. Скорость v - относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный харак­тер магнитного поля движущегося заряда.

36. Эффект Холла. Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме.

Эффект Холла* (1879) - это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j , помещенном в магнитное поле В , электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В , перпендикулярное j . При данном направлении j скорость носителей тока в металле - электронов - направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего - их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е B этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а - ширина пластинки, Dj - поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S - площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п - концентрация электронов, v - средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (1) R= 1/ (en ) - постоянная Холла , зависящая от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряда носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому - наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B l =B cosa - составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a - угол между векторами В и dl .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: (2)

где n - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис.,

Выражение (2) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектораВ равна

Согласно выражению (2), получим В× 2pr=m 0 I (в вакууме), откуда

Сравнивая выражения (3) и (4) для циркуляции векторов Е и В , видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

37. Магнитное поле соленоида и тороида.

Рассмотрим соленоид длиной l , имеющий N витков, по которому течет ток. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Магнитного поля внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B l = 0. На участке вне соленоида B =0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

Из (1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): (2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно . Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается та же формула (2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r . Тогда, по теореме о циркуляции , B× 2pr=m 0 NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B× 2pr= 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

38. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля, в том числе в дифференциальной форме.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

где B n =В cos a - проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a - угол между векторами n и В ), dS =dS n - вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n ). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф B через произвольную поверхность S равен (1)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В , B n =B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м 2 , расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м 2).

Теорема Гаусса для поля: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Пусть V - объем ограничивающий рассматриваемой поверхности. Тогда, при стягивании закм-й поверхности в точку, получаем

Т.о., в любой точке пространства =0 (а в электростатике , и только в тех местах, где нет объемных зарядов ρ=0, ).

В силу равенства (2), в области маг. явлений не сущ-ет аналога эл-м зарядам.

Теорема Гаусса для маг. поля отражает факт отсутствия маг. зарядов, вследствии чего линии маг. индукции не имеют ни начало ни конца – они замк-ые.

Магнитный поток Вебера:

39,Магнитные моменты электронов и атомов.

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничива­ются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладаеторбитальным магнитным моментом p m =IS n , модуль которого (1)

где I=en - сила тока, n - частота вращения электрона по орбите, S - площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрелки и вектор р m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим момен­том импульса L e , модуль которого (2)

где v = 2pn, pr 2 = S. Вектор L e (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона .

Из рис. следует, что направления р m и L e , противоположны, поэтому, учитывая выражения (1) и (2), получим

где величина (3)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов. Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой ор­биты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (3) выведена для круговой орбиты, справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое ока­залось равным – (e/m ). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекуляр­ные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g (3). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (1) и (2) электрон обладает собственным механическим моментом импульса L es , называ­емым спином . В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L es , соответствует собственный (сотовый) магнитный момент р ms , пропорци­ональный L es и направленный в противоположную сторону:

Величина g s называетсягиромагнитным отношением спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений:

где ħ=h/ (2p) (h- постоянная Планка), m b -магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

Общий магнитный момент атома (молекулы) p a равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

40. Диамагнетики и парамагнетики

Вещества, способные влиять на маг. поле – магнетики. Под влиянием электростатического поля, диэлектрик приходит в особое состояние – поляризация. Т.е., на границах диэлектрика и в обл-х где он неоднороден, возникают эл-е связанные заряды. Они создают свое электро-стат. поле, которое складывается с первоначальным эл-стат полем. Тогда суммарная напряженность эл-стат поля:

E 0­ – первоначальное эл-стат. поле

E - поле, возникающие в результате поля диэлектрика.

Точно также, всякий магнетик, находящийся в маг. поле, текущих по проводам намагничиваются.

В – вектор маг-ой индукции, хар-ий маг-е поле, создаваемое всеми макро и микропотоками.

Н – вектор напряженности, хар-ий маг-е поле макротоков.

=> маг-е поел в вещ-ве складывается из двух полей: внеш. поля, создаваемого током и полем создаваемого намогничиванием вещ-м. Тогда вектор маг. индукции результирующего маг. поля равно векторной сумме маг-х индукций внеш. поля B 0 и поля микротока B

Вещ-ва, для которых сонаправлен с , называется парамагнетиками (платина, алюминий, редкоземельные элементы).Вещ-ва для которых противоположны с называют диамагнетиками (висмут, серебро, золото, медь).

Т.е., парамагнетики намагничиваются вдоль маг. поля, в результате чего они притягиваются к ист-ку внеш. поля. Диамагнетики намагничиваются против поля и отталкиваются от ист-ка внеш. поля.

Для всех диамагнитных тел и большинства парамагнитных довольно мало по сравнению с . Однако сущ-ет группа тел, для которых может быть велико по сравнению с . Такие тела выделяются в особую группу фугромагнитных тел (железо, никель, коболь и др-е). Эти вещ-ва в 10 3 - 10 4 сильнее притягивается к ист-ку внеш. поля, т.е. они сильно намагничиваются вдоль поля.

По гипотезе Ампера, в молекулах парамагнитных вещ-в имеются круговые токи, названные молекулярными токами.

Когда нет внеш. маг-го поля оси этих токов расположены беспорядочно и создаваемые ими маг-е поле в среднем равно 0. Под влиянием маг. поля эти круговые токи ориентируются, при этом они создадут маг-е поле, дающее в среднем индукцию отличную от нуля индукцию она прибавится к первоначальной маг-ой индукции поля . Т.о., объясняется увеличение суммарной магнитной индукции в вещ-ве. Т.е., намагничивание парамагнетика сводится к определенной ориентации его молекулярных токов.

Круговые токи возникают лишь при возбуждении внеш. маг-м полем. Направление этих индуцированных токов таково, что создаваемое ими маг-е поле, направлено против внеш. маг. поля. Этим объясняется уменьшение индукции поля в диамагнитной среде.

41. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Закон полного тока для магнитного поля в веществе, теорема о циркуляции вектора Н.

Намагниченность. Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводи­лась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину - намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

где - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).

Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции В , характеризующий результирующее магнитное поле, создава­емое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н , характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагничен­ным веществом. Тогда можем записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В 0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В " (поля, создаваемого молекулярными токами): (133.1)

где В 0 =m 0 Н (см. (109.3)).

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l , внесенного в однородное внешнее магнитное поде с индукцией В 0 . Возникающее в магнетике магнитное поле молекуляр­ных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В 0 , так как векторы их магнитных моментовp m антипараллельны вектору В 0 (для диамагнетиков) и параллельны В 0 (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и созда­ет внутри него поле, магнитную индукцию В" которого можно вычислить, учитывая формулу (119.2) для N = 1 (соленоид из одного витка): (133.2)

где I" - сила молекулярного тока, l - длина рассматриваемого цилиндра, а магнит­ная проницаемость m принята равной единице.

С другой стороны, I"/l - магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнстихов c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно вне­шнему), для парамагнетиков - положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в виде (133.7)

Безразмерная величина (133.8)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В =m 0 m Н , которое ранее постулировалось.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамаг­нетиков очень мало (порядка 10 –4 -10 –6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c<0 и m <1, для парамагнетиков c>0 и m >1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона (118.1):

где I и I" - соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым кон­туром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произволь­ному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молеку­лярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В , таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как мак­роскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопичес­кими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольному замкну­тому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде (133.9)

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не что иное, как введенный ранее вектор H напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром: (133.10)

Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н .

Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

dl

R dB, B

Легко понять, что все элементы тока создают в центре кругового тока магнитное поле одинакового направления. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору, из-за чего sinα = 1, и находятся от центра на одном и том же расстоянии R , то из уравнения 3.3.6 получаем следующее выражение

B = μ 0 μI/2R . (3.3.7)

2. Магнитное поле прямого тока бесконечной длины. Пусть ток течет сверху вниз. Выберем на нем несколько элементов с током и найдем их вклады в суммарную магнитную индукцию в точке, отстоящей от проводника на расстоянии R . Каждый элемент даст свой вектор dB , направленный перпендикулярно плоскости листа «к нам», также будет направлении и суммарный вектор В . При переходе от одного элемента к другому, которые располагаются на разной высоте проводника, будет изменяться угол α в пределах от 0 до π. Интегрирование даст следующее уравнение

B = (μ 0 μ/4π)2I/R . (3.3.8)

Как мы говорили, магнитное поле ориентирует определенным образом рамку с током. Это происходит потому, что поле оказывает силовое воздействие на каждый элемент рамки. И поскольку токи на противоположных сторонах рамки, параллельных ее оси, текут в противоположных направлениях, то и силы, действующие на них, оказываются разнонаправленными, вследствие чего и возникает вращающий момент. Ампер установил, что сила dF , которая действует со стороны поля на элемент проводника dl , прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl на магнитную индукцию В :

dF = I [dl , B ]. (3.3.9)

Выражение 3.3.9 называют законом Ампера . Направление вектора силы, которая называется силой Ампера , определяют по правилу левой руки: если ладонь руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца направить вдоль тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление вектора силы. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

dF = IBdlsinα , (3.3.10)

где α – угол между векторами dl и B .

Пользуясь законом Ампера, можно определить силу взаимодействия двух токов. Представим себе два бесконечных прямолинейных тока I 1 и I 2 , текущих перпендикулярно плоскости рис. 3.3.4 в сторону наблюдателя, расстояние между которыми равно R . Понятно, что каждый проводник создает в пространстве вокруг себя магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник, находящийся в этом поле. Выберем на втором проводнике с током I 2 элемент dl и рассчитаем силу dF 1 , с которой магнитное поле проводника с током I 1 действует на этот элемент. Линии магнитной индукции поля, которое создает проводник с током I 1 , представляют собой концентрические окружности (рис. 3.3.4).

В 1

dF 2 dF 1

B 2

Вектор В 1 лежит в плоскости рисунка и направлен вверх (это определяется по правилу правого винта), а его модуль

B 1 = (μ 0 μ/4π)2I 1 /R . (3.3.11)

Сила dF 1 , с которой поле первого тока действует на элемент второго тока, определяется по правилу левой руки, она направлена в сторону первого тока. Поскольку угол между элементом тока I 2 и вектором В 1 прямой, для модуля силы с учетом 3.3.11 получаем

dF 1 = I 2 B 1 dl = (μ 0 μ/4π)2I 1 I 2 dl/R . (3.3.12)

Легко показать, рассуждая аналогичным образом, что сила dF 2 , с которой магнитное поле второго тока действует на такой же элемент первого тока

Цель работы : изучить свойства магнитного поля, ознакомиться с понятием магнитной индукции. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока.

Теоретическое введение. Магнитное поле. Существование в природе магнитного поля проявляется в многочисленных явлениях, простейшими из которых являются взаимодействие движущихся зарядов (токов), тока и постоянного магнита, двух постоянных магнитов. Магнитное поле векторное . Это означает, что для его количественного описания в каждой точке пространства необходимо задать вектор магнитной индукции. Иногда эту величину называют просто магнитной индукцией . Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением магнитной стрелки, находящейся в рассматриваемой точке пространства и свободной от других воздействий.

Так как магнитное поле является силовым, то его изображают с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции в этих точках поля. Принято через единичную площадку, перпендикулярную , проводить количество линий магнитной индукции, равное величине магнитной индукции. Таким образом, густота линий соответствует величине В . Опыты показывают, что в природе отсутствуют магнитные заряды. Следствием этого является то, что линии магнитной индукции замкнуты. Магнитное поле называется однородным, если векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, то есть, равны по модулю и имеют одинаковые направления.

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции : магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.

В однородном магнитном поле на прямолинейный проводник действует сила Ампера :

где – вектор, равный по модулю длине проводникаl и совпадающий с направлением тока I в этом проводнике.

Направление силы Ампера определяется правилом правого винта (векторы , и образуют правовинтовую систему): если винт с правой резьбой расположить перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами и , и вращать его от к по наименьшему углу, то поступательное движение винта укажет направление силы .В скалярном виде соотношение (1) можно записать следующим образом:

F = I×l ×B ×sin a или (2).

Из последнего соотношения вытекает физический смысл магнитной индукции : магнитная индукция однородного поля численно равна силе, действующей на проводник с током 1 А, длиной 1 м, расположенный перпендикулярно направлению поля.

Единицей измерения магнитной индукции в СИ является Тесла (Тл) : .

Магнитное поле кругового тока. Электрический ток не только взаимодействуют с магнитным полем, но и создает его. Опыт показывает, что в вакууме элемент тока создает в точке пространства магнитное поле с индукцией

(3) ,

где – коэффициент пропорциональности, m 0 =4p×10 -7 Гн/м – магнитная постоянная, – вектор, численно равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с элементарным током, – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в рассматриваемую точку поля, r – модуль радиуса-вектора. Соотношение (3) было экспериментально установлено Био и Саваром, проанализировано Лапласом и поэтому называется законом Био-Савара-Лапласа . Согласно правилу правого винта, вектор магнитной индукции в рассматриваемой точке оказывается перпендикулярным элементу тока и радиус-вектору .

На основе закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции проводится расчет магнитных полей электрических токов, текущих в проводниках произвольной конфигурации, путем интегрирования по всей длине проводника. Например, магнитная индукция магнитного поля в центре кругового витка радиусом R , по которому течет ток I , равна:

Линии магнитной индукции кругового и прямого токов показаны на рисунке 1. На оси кругового тока линия магнитной индукции является прямой. Направление магнитной индукции связано с направлением тока в контуре правилом правого винта . В применении к круговому току его можно сформулировать так: если винт с правой резьбой вращать по направлению кругового тока, то поступательное движение винта укажет направление линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором магнитной индукции.

Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля. Кинетика потенциального электрического поля проявляется в форме возникающего вихревого магнитного поля охватывающего ток. Для обнаружения магнитного поля в качестве индикатора может служить ферромагнитный стержень, обладающий свободой вращения (например, магнитная стрелка).

Подобно электрическому полю, магнитное также характеризуют напряженностью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т.е. движением электричества.

Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающие движение электрического поля этих зарядов, представляет собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемое электрическим током.

Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):

, (1)

где 1/4 – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения;I – сила тока; – вектор, совпадающий с элементарным участком тока (рис. 3); – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется

Как видно из выражения (1), вектор
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг в направлении
связано с правилом правого винта (см. рис. 3). Для модуля dH можно написать следующее выражение:

, (2)

где  – угол между векторами и .

Р

ассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющим форму окружности радиусомR (круговой ток). Определим напряженность магнитного поля в центра кругового тока (рис. 4). Каждый элемент тока создает в центре напряженность, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение
сводится к сложению их модулей.

По формуле рассчитаем dH для случая   /2:

. (3)

Проинтегрируем это выражение по всему контуру, учитывая, что r  R :

H 
. (4)

Если контур состоит из n витков, то напряженность магнитного поля в центре его будет равна

H  . (5)

Описание аппаратуры и метода измерений

Целью данной работы является определение величиныH 0. Для измерения H 0 применяется прибор, называемый тангенс- гальванометром, который состоит из кольцеобразного проводника или очень плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально, и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение.

В центре катушки укреплен компас с очень короткой магнитной стрелкой. Рис. 5 дает сечение прибора горизонтальной плоскостью проходящей через центр витка, где NS – направление магнитного меридиана, AD – сечение катушки горизонтальной плоскостью, ab – магнитная стрелка компаса.

При отсутствии тока в катушке на стрелку abдействует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.

Если по катушке пропускать ток, то стрелка отклоняется на угол . Теперь магнитная стрелка abнаходится под действием двух полей: магнитного поля Земли () и магнитного поля, созданного током ().

В условиях совмещения витка с плоскостью меридиана векторы и взаимно перпендикулярны, тогда (см. рис. 5):

;
. (6)

Так как длина магнитной стрелки ab мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки H можно считать постоянной (поле однородно) и равным ее значению в центре катушки, определяемого формулой (5).

Решая совместно уравнения (5) и (6), получим:

. (7)

Этой расчетной формулой пользуются для определения H 0 в данной работе.

Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R . Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (рис. 431).

рис. 431
 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био -Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока (IΔl) k и вектор r k , соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому sinα = 1 . Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен

 Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична − вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца

 Усложним задачу − найдем индукцию поля в точке A , находящейся на оси кольца на расстоянии z от его центра (рис. 432).

рис. 432
 По-прежнему, выделяем малый участок кольца (IΔl) k и строим вектор индукции поля ΔB k , созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Это вектор перпендикулярен вектору r , соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы (IΔl) k и r k , как и ранее, перпендикулярны, поэтому sinα = 1 . Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы r k = √{R 2 + z 2 } , а также одинаковы углы φ между векторами ΔB k и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции


 Из рисунка следует, что cosφ = R/r , с учетом выражения для расстояния r , получим окончательное выражение для вектора индукции поля


 Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0 ) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).

 Задания для самостоятельной работы.
 1. Постройте график зависимости индукции поля (3) от расстояния до центра кольца.
 2. Сравните полученную зависимость (3) с выражением для модуля напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом (36.6) . Объясните возникшие принципиальные различия между этими зависимостями.

Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy (рис. 433),

рис. 433
а поле рассчитывается в плоскости yOz . Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y, z ) рассчитываются по формулам:


 Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование − использовать компьютер.
 Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.
 На рис. 434 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20 частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10 интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.

рис. 434
 Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R . В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид

где IπR 2 = IS = p m − произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μo в числителе на ε o в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.
 Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) − поэтому его поле совпадает с полем