Приглашаем тебя на урок о том, решать уравнения с дробями.Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Больше уроков на сайте

Дробно-рациональным называется уравнение, в котором есть рациональные дроби, то есть переменная в знаменателе. Скорее всего, тебе уже приходилось сталкиваться с такими уравнениями в прошлом, так что на этом уроке нам предстоит повторить и обобщить те сведения, которые тебе известны.

Сначала я предлагаю обратиться к предыдущему уроку данной темы – к уроку «Решение квадратных уравнений». На том уроке был рассмотрен пример решения дробно-рационального уравнения. Рассмотрим его

Решение этого уравнения выполнено в несколько этапов:

• Преобразование уравнения, содержащего рациональные дроби.
• Переход к целому уравнению и упрощение его;
• Решение квадратного уравнения.

Через первые 2 этапа необходимо пройти при решении любого дробно-рационального уравнения. Третий этап – необязателен, так как уравнение, полученное в результате упрощений, может быть не квадратным, а линейным; решать линейное уравнение – намного проще. Есть еще один важный этап при решении дробно-рационального уравнения. Он будет виден при решении следующего уравнения.

что следует сделать в первую очередь? – Конечно же, привести дроби к общему знаменателю. И очень важным является найти именно наименьший общий знаменатель, иначе, далее, в процессе решения, уравнение будет усложнено. Тут заметим, что знаменатель последней дроби можно разложить на множители у и у+2 . Вот именно это произведение и будет общим знаменателем в данном уравнении. Теперь нужно определить дополнительные множители для каждой из дробей. Вернее, для последней дроби такой множитель не понадобится, так как ее знаменатель равен общему. Вот теперь, когда все дроби имеют одинаковые знаменатели, можно перейти к целому уравнению, составленному из одних числителей. Но необходимо cделать одно замечание, о том, что найденное значение неизвестной не может обращать в ноль ни один из знаменателей . Это – ОДЗ: у≠0, у≠2 . На этом окончен первый из описанных ранее этапов решения и переходим ко второму – упрощаем полученное целое уравнение. Для этого – раскрываем скобки, переносим все слагаемые в одну часть уравнения и приводим подобные. Выполни это самостоятельно и проверь – верны ли мои вычисления, в которых получено уравнение 3у 2 – 12у = 0. Это уравнение – квадратное, оно записано в стандартном виде, и один из его коэффициентов равен нулю.

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Азот - едва ли не самый распространенный химический элемент во всей Солнечной Системе. Если быть конкретнее, то азот занимает 4 место по распространенности. Азот в природе - инертный газ.

Этот газ не имеет ни цвета, ни запаха, его очень трудно растворить в воде. Однако соли-нитраты имеют свойство очень хорошо реагировать с водой. Азот имеет малую плотность.

Азот - удивительный элемент. Есть предположение, что свое название он получил из древнегреческого языка, что в переводе с него значит «безжизненный, испорченный». Отчего же такое негативное отношение к азоту? Ведь нам известно, что он входит в состав белков, а дыхание без него практически невозможно. Азот играет важную роль в природе. Но в атмосфере этот газ инертен. Если его взять таким, какой он есть в первозданном виде, то возможно множество побочных эффектов. Пострадавший может даже умереть от удушья. Ведь азот оттого и называется безжизненным, что не поддерживает ни горения, ни дыхания.

При обычных условиях такой газ реагирует только с литием, образовывая такое соединение, как нитрид лития Li3N. Как мы видим, степень окисления азота в таком соединении равна -3. С остальными металлами и конечно же, реагирует тоже, однако лишь при нагревании или при использовании различных катализаторов. К слову говоря, -3 - низшая степень окисления азота, так как только 3 электрона нужны для полного заполнения внешнего энергетического уровня.

Этот показатель имеет разнообразные значения. Каждая степень окисления азота имеет свое соединение. Такие соединения лучше просто запомнить.

5 - высшая степень окисления у азота. Встречается в и во всех солях-нитратах.

Существуют химические элементы, проявляющие разные степени окисления, что позволяет образовывать в ходе химических реакций большое количество соединений с определенными свойствами. Зная электронное строение атома, можно предположить, какие вещества будут образовываться.

Степени окисления азота могут варьировать от -3 до +5, что указывает на многообразие соединений на его основе.

Характеристика элемента

Азот относится к химическим элементам, расположенным в 15 группе, во втором периоде в периодической системе Менделеева Д. И. Ему присвоены порядковый номер 7 и сокращенное буквенное обозначение N. В нормальных условиях сравнительно инертный элемент, для проведения реакций необходимы специальные условия.

В природе встречается в виде двухатомного бесцветного газа атмосферного воздуха с объемной долей более 75%. Содержится в составе белковых молекул, кислот нуклеиновых и азотсодержащих веществ неорганического происхождения.

Структура атома

Чтобы определить степень окисления азота в соединениях, необходимо знать его ядерную структуру и изучить электронные оболочки.

Природный элемент представлен двумя устойчивыми изотопами, с числом их массы 14 или 15. В первом ядре содержится 7 нейтроновых и 7 протоновых частиц, а во втором − на 1 нейтроновую частицу больше.

Существуют искусственные разновидности его атома с массой 12-13 и 16-17, обладающие нестабильными ядрами.

При изучении электронной структуры атомарного азота видно, что имеется две электронные оболочки (внутренняя и внешняя). На 1s-орбитали содержится одна пара электронов.

На второй внешней оболочке присутствует всего пять отрицательно заряженных частиц: две на 2s-под-уров-не и три на 2p-орбитале. Ва-лент-ный энер-ге-ти-че-ский уровень не имеет свободных ячеек, что указывает на невозможность разделения его элек-трон-ной пары. Орбиталь 2р считается заполненной электронами только наполовину, что позволяет присоединить 3 отрицательно заряженные частицы. В таком случае степень окисления азота равна -3.

Учитывая строение орбиталей, можно сделать вывод, что данный элемент с координационным числом 4 максимально связывается только с четырьмя другими атомами. Для образования трех связей используется об-мен-ный ме-ха-низ-м, еще одна формируется до-нор-но-ак-цеп-тор-ным способом.

Степени окисления азота в разных соединениях

Максимальное количество отрицательных частиц, которое способен присоединить его атом, равняется 3. В таком случае проявляется степень его окисления равная -3, присущая соединениям типа NH 3 или аммиаку, NH 4 + или аммонию и нитридам Me 3 N 2 . Последние вещества формируются при повышении температуры путем взаимодействия азота с атомами металлов.

Наибольшее количество отрицательно заряженных частиц, которое способен отдать элемент, приравнивается к 5.

Два атома азота способны соединяться между собой с образованием устойчивых соединений со степенью окисления -2. Такая связь наблюдается в N 2 H 4 или гидразинах, в азидах различных металлов или MeN 3 . Атом азота присоединяет на свободные орбитали 2 электрона.

Существует степень окисления -1, когда данный элемент получает только 1 отрицательную частицу. Например, в NH 2 OH или гидроксиламине он заряжен отрицательно.

Бывают положительного знака степени окисления азота, когда с внешнего энергетического слоя забираются электронные частицы. Варьируют они от +1 до +5.

Заряд 1+ имеется у азота в N 2 O (одновалентном оксиде) и в гипонитрите натрия с формулой Na 2 N 2 O 2 .

В NO (двухвалентном оксиде) элемент отдает два электрона и заряжается положительно (+2).

Существует степень окисления азота 3 (в соединении NaNO 2 или нитриде и еще в трехвалентном оксиде). В таком случае отщепляется 3 электрона.

Заряд +4 бывает в оксиде с валентностью IV или его димере (N 2 O 4).

Положительный знак степени окисления (+5) проявляется в N 2 O 5 или в пятивалентном оксиде, в азотной кислоте и ее производных солях.

Соединения из азота с водородом

Природные вещества на основе двух вышеуказанных элементов напоминают органические углеводороды. Только азотоводороды теряют свою устойчивость при увеличении количества атомарного азота.

К наиболее значимым водородным соединениям относят молекулы аммиака, гидразина и азотистоводородной кислоты. Их получают путем взаимодействия водорода с азотом, а в последнем веществе присутствует еще кислород.

Что такое аммиак

Его еще называют нитридом водорода, а его химическая формула обозначается как NH 3 с массой 17. В условиях с нормальной температурой и давлением аммиак имеет форму бесцветного газа с резким нашатырным запахом. По плотности он в 2 раза реже воздуха, легко растворяется в водной среде за счет полярного строения его молекулы. Относится к малоопасным веществам.

В промышленных объемах аммиак получают с помощью каталитического синтеза из водородных и азотных молекул. Существуют лабораторные методы получения из аммонийных солей и натрия нитрита.

Строение аммиака

В составе молекулы пирамидальной присутствует один азот и 3 атома водорода. Расположены они по отношению друг к другу под углом 107 градусов. В молекуле, имеющей форму тетраэдра, азот расположен по центру. За счет трех неспаренных p-электронов он соединяется полярными связями ковалентной природы с 3 атомарными водородами, у которых имеются по 1 s-электрону. Так образуется аммиачная молекула. В данном случае азот проявляет степень окисления -3.

У данного элемента находится еще неподеленная пара электронов на внешнем уровне, которая создает связь ковалентную с ионом водорода, имеющим положительный заряд. Один элемент является донором отрицательно заряженных частиц, а другой акцептором. Так образуется аммонийный ион NH 4 + .

Что такое аммоний

Его относят к положительно заряженным полиатомным ионам или катионам.Аммоний еще причисляют к химическим веществам, которые не могут существовать в форме молекулы. Он состоит из аммиака и водорода.

Аммоний с положительным зарядом в присутствии различных анионов с отрицательным знаком способен образовывать аммонийные соли, в которых ведет себя подобно металлам с валентностью I. Также при его участии синтезируются аммониевые соединения.

Многие соли аммония существуют в виде кристаллических бесцветных веществ, которые хорошо растворяются водой. Если соединения иона NH 4 + образованы летучими кислотами, то в условиях нагревания происходит их разложение с выделением газообразных веществ. Последующее их охлаждение приводит к обратимому процессу.

Стабильность таких солей зависит от силы кислот, из которых они образованы. Устойчивые соединения аммония соответствуют сильному кислотному остатку. Например, стабильный аммония хлорид производится из соляной кислоты. При температуре до 25 градусов такая соль не разлагается, что нельзя сказать о карбонате аммония. Последнее соединение часто используется в кулинарии для подъема теста, заменяя пищевую соду.

Кондитеры карбонат аммония называют просто аммонием. Такую соль применяют пивовары для улучшения брожения пивных дрожжей.

Качественной реакцией для обнаружения ионов аммония является действие гидроксидов щелочных металлов на его соединения. В присутствие NH 4 + происходит высвобождение аммиака.

Химическая структура аммония

Конфигурация его иона напоминает правильный тетраэдр, по центру которого находится азот. Атомы водорода расположены по вершинам фигуры. Чтобы рассчитать степень окисления азота в аммонии, нужно помнить, что общий заряд катиона равен +1, а у каждого иона водорода отсутствует по одному электрону, а их всего 4. Суммарный водородный потенциал составляет +4. Если из заряда катиона вычесть заряд всех ионов водорода, то получим: +1 - (+4) = -3. Значит, азот имеет степень окисления -3. В данном случае он присоединяет три электрона.

Что такое нитриды

Азот способен соединяться с более электроположительными атомами металлической и неметаллической природы. В результате образуются соединения схожие с гидридами и карбидами. Такие вещества азотсодержащие называют нитриды. Между металлом и азотным атомом в соединениях выделяют ковалентную, ионную и промежуточную связи. Именно такая характеристика лежит в основе их классификации.

К нитридам ковалентным относят соединения, в химической связи которых электроны не переходят от атомарного азота, а образуют вместе с заряженными отрицательно частицами других атомов общее электронное облако.

Примером таких веществ являются водородные нитриды, типа аммиачных и гидразиновых молекул, а также азотные галогениды, к которым относят трихлориды, трибромиды и трифториды. У них общая электронная пара одинаково принадлежит двум атомам.

К нитридам ионным относят соединения с химической связью, образованной переходом электронов от элемента металла на свободные уровни у азота. В молекулах таких веществ наблюдается полярность. Нитриды имеют степень окисления азота 3-. Соответственно, общий заряд металла будет 3+.

К таким соединениям относят нитриды магния, лития, цинка или меди, за исключением щелочных металлов. Они обладают высокой температурой плавления.

К нитридам с промежуточной связью относятся вещества, у которых распределены равномерно атомы металлов и азота и отсутствует четкое смещение электронного облака. К таким инертным соединениям принадлежат нитриды железа, молибдена, марганца и вольфрама.

Описание оксида трехвалентного азота

Его еще называют ангидридом, полученным из кислоты азотистой, имеющей формулу HNO 2 . Учитывая степени окисления азота (3+) и кислорода (2-) в триоксиде, получается соотношение атомов элементов 2 к 3 или N 2 O 3 .

Жидкая и газообразная форма ангидрида - это весьма неустойчивые соединения, они легко распадаются на 2 разных оксида с валентностью IV и II.