Энтропия определяется как среднее значение собственной информации ансамбля

Метод максимума энтропии, аналогично методу максимума информации, строится на поиске среди всех возможных распределений вероятностей такого, которое обладает максимальной энтропией вида (3.19). Таким образом, критерий максимума энтропии используется для снятия неопределенности решения, а функционал (3.19) выступает как своеобразная «мера качества» изображения .

Смысл такой меры качества можно понять, обратившись к задаче оценивания плотностей распределения вероятностей в математической статистике. В случае известных моментов случайного распределения оценка, получаемая максимизацией выражения (3.19), является наименее смещенной из всех возможных оценок. Можно ожидать, что максимум (3.19) при наложенных ограничениях на процесс формирования изображения будет давать хорошую оценку плотности распределения. Попытаемся рассмотреть процесс формирования изображения и выяснить физический смысл критерия максимума энтропии.

Пусть суммарная интенсивность источника равна причем из точки излучается интенсивность из Подсчитаем число способов, которыми данный объект может быть сформирован из лучей:

Теперь найдем такое распределение, которое будет сформировано в наибольшем числе случаев

Заменив на его логарифм (максимум при этом не сместится) и используя формулу Стирлинга, получим :

Для решения задачи необходимо учесть также ограничения на уравнения формирования:

а также ограничение на суммарную интенсивность изображения, т. е.

Выражения составляют основу метода максимума энтропии. Физический смысл применения критерия максимума энтропии заключается в поиске такого распределения вероятностей на входе канала, которое в большинстве случаев формирует заданное выходное распределение или поиск наиболее правдоподобного распределения источника при заданных условиях формирования. В этом смысле метод максимума энтропии можно рассматривать как метод максимального правдоподобия для лучевой модели формирования изображений .

Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся форм записи метода максимума энтропии. Будем рассматривать одновременно с формированием изображения параллельное формирование шумового поля :

На основании приведенных рассуждений получим, что шумовое поле может быть создано способами, где

Для решения задачи необходимо максимизировать совместную вероятность формирования изображения и шумового поля

Логарифмирование этого выражения дает сумму энтропий шума и изображения:

Учитывая ограничения на процесс формирования и сохранение числа лучей (суммарную интенсивность), получим следующую задачу оптимизации:

где величины и являются множителями Лагранжа задачи оптимизации. Для решения системы найдем частные производные (3.25) по и приравняем их к нулю:

Подставляя выражения для и из (3.26), (3.27) в уравнения ограничений, находим

Из уравнений вида (3.28) определяются множители Лагранжа которые используются для нахождения функции входного распределения:

Экспонента в (3.29) обеспечивает положительность решения Сам функционал энтропии существенно нелинеен, что обусловливает интересную особенность уравнений (3.29): они могут содержать пространственные частоты, которые отсутствовали в спектре искаженного изображения. Это позволяет говорить о возможности «сверхразрешения», т. е. восстановлении информации, уничтоженной системой формирования с ограниченной полосой (эффекту сверхразрешения и оценке его возможностей посвящена гл. 5). Отметим также, что решения, получаемые на основе (3.29), обладают повышенным качеством по сравнению с линейными алгоритмами восстановления, однако требуют решения сложной системы нелинейных уравнений.

Выражению для энтропии в форме (3.19) существует альтернатива, предложенная Бургом для оценок спектров мощности . Эта форма энтропии имеет следующий вид:

Метод восстановления на основе выражения (3.30) также можно использовать в практике обработки изображений. Пусть нам известны зашумленные отсчеты спектра

где соответственно отсчеты спектров Наложим ограничение на расхождение истинных и зашумленных отсчетов спектра наблюдаемого изображения :

Тогда для нахождения решения требуется максимизировать более простой функционал:

Необходимо отметить, что в последнее время появилось большое число алгоритмов на основе как (3.19), так и (3.30), использующих при этом самые разнообразные ограничения, вытекающие из постановки каждой конкретной задачи. Правда, наличие двух норм энтропии вызывает некоторое сомнение, во-первых, из-за того, что неясно, какую из них использовать на практике, а во-вторых, из-за недостаточно четкой постановки задачи восстановления.

Существует еще одна интересная особенность алгоритмов, основанных на поиске максимума энтропии. Обратимся к выражениям (3.27)-(3.29) для случая идеальной системы формирования, но при наличии аддитивного шума Нетрудно видеть, что применение алгоритма максимума энтропии в этом случае претендует на выделение изображения из шума без каких-либо априорных характеристик шума и сигнала. Однако более внимательный анализ показывает, что решение с помощью уравнений вида (3.28) дает парадоксальный результат: сигнал и шум оказываются связаны линейной зависимостью. Действительно, оценка сигнала здесь равна

а оценка шума будет:

В практических приложениях для избежания этого эффекта выражение для энтропии шума берут с некоторым весовым коэффициентом и вместо (3.24) рассматривают следующий функционал:

Этот прием, однако, оставляет неясным физический смысл производных преобразований.

Еще один недостаток метода максимума энтропии состоит в том, что наилучшие результаты с его помощью получаются при восстановлении объектов, состоящих из отдельных импульсов на однородном фоне, а попытки применения метода к пространственно протяженным объектам вызывают появление флуктуаций .

Изложенные результаты, касающиеся методов максимума энтропии и максимума информации, могут быть объединены

в единую схему, основанную на построении алгоритмов оценивания плотности распределения с помощью метода максимального правдоподобия. Тем самым рассмотренные алгоритмы можно включить в группу методов статистической регуляризации, описанных в § 2.4. Отличие лишь в том, что эти алгоритмы основаны на другой статистической модели - представлении самого изображения как плотности вероятности. Такая модель сразу же приводит к нелинейности рассматриваемых функционалов . Однако отмеченные ранее недостатки заставляют искать алгоритмы, которые, сохраняя преимущества теоретико-информационных методов восстановления (неограниченность по полосе частот, неотрицательность решения и т. п.), позволяют восстанавливать более широкий класс изображений.

Для источника с зависимыми сообщениями энтропия тоже вычисляется как математическое ожидание количества информации на один элемент этих сообщений. Количество информации и энтропия являются логарифмическими мерами и измеряются в одних и тех же единицах.

6. Энтропия объединенных статистически независимых источников информации равна сумме их энтропий. 7. Энтропия характеризует среднюю неопределенность выбора одного состояния из ансамбля, полностью игнорируя содержательную сторону ансамбля. ЭНТРОПИЯ ЭКОСИСТЕМЫ - мера неупорядоченности экосистемы, или количества энергии, недоступной для использования. Чем больше показатель энтропии, тем менее устойчива экосистема во времени и пространстве.

4.1.2. Энтропия и производительность дискретного источника сообщений

Любое из этих сообщений описывает состояние какой-то физической системы. Мы видим, что степень неопределенности физической системы определяется не только числом ее возможных состояний, но и вероятностями состояний. В качестве меры априорной неопределенности системы (или прерывной случайной величины) в теории информации применяется специальная характеристика, называемая энтропией.

Энтропия, как мы увидим в дальнейшем, обладает рядом свойств, оправдывающих ее выбор в качестве характеристики степени неопределенности. Наконец, и это самое главное, она обладает свойством аддитивности, т. е. когда несколько независимых систем объединяются в одну, их энтропии складываются. Если за основание выбрано число 10, то говорят о «десятичных единицах» энтропии, если 2 — о «двоичных единицах».

Докажем, что энтропия системы с конечным множеством состояний достигает максимума, когда все состояния равновероятны. Пример 3. Определить максимально возможную энтропию системы, состоящей из трех элементов, каждый из которых может быть в четырех возможных состояниях.

Следует заметить, что полученное в этом случае значение энтропии будет меньше, чем для источника независимых сообщений. Это следует из того, что при наличии зависимости сообщений неопределенность выбора уменьшается и, соответственно, уменьшается энтропия. Определим энтропию двоичного источника. График зависимости (4.4) представлен на рис. 4.1. Как следует из графика, энтропия двоичного источника изменяется в пределах от нуля до единицы.

Основные свойства энтропии

Обычно отмечают, что энтропия характеризует заданное распределение вероятностей с точки зрения степени неопределенности исхода испытания, т. е. неопределенности выбора того или иного сообщения. Действительно, легко убедиться, что энтропия равна нулю тогда и только тогда, когда одна из вероятностей равна единице, а все остальные равны нулю; это означает полную определенность выбора.

Возможна и другая наглядная интерпретация понятия энтропии как меры «разнообразия» сообщений, создаваемых источником. Легко убедиться, что приведенные выше свойства энтропии вполне согласуются с интуитивным представлением о мере разнообразия. Также естественно считать, что количество информации, содержащееся в элементе сообщения, тем больше, чем более разнообразны возможности выбора этого элемента.

Выражение представляющее математическое ожидание количества информации в выбираемом элементе, для источника, находящегося в -м состоянии, можно назвать энтропией этого состояния. Определенная выше энтропия источника на элемент сообщения зависит от того, каким образом сообщения расчленяются на элементы, т. е. от выбора алфавита. Однако энтропия обладает важным свойством аддитивности.

Отметим некоторые свойства энтропии. Энтропия. Пожалуй, это одно из самых сложных для понимания понятий, с которым вы можете встретиться в курсе физики, по крайней мере если говорить о физике классической.

Например, если вы спросите меня, где я живу, и я отвечу: в России, то моя энтропия для вас будет высока, всё-таки Россия большая страна. Если же я назову вам свой почтовый индекс: 603081, то моя энтропия для вас понизится, поскольку вы получите больше информации.

Энтропия вашего знания обо мне понизилась приблизительно на 6 символов. А что если бы я вам сказал, что сумма равна 59? Для этого макросостояния существует всего 10 возможных микросостояний, так что его энтропия равна всего лишь одному символу. Как видите, разные макросостояния имеют разные энтропии. Мы измеряем энтропию как количество символов, необходимых для записи числа микросостояний.

Другими словами, энтропия - это то, как мы описываем систему. Например, если мы немного нагреем газ, то скорость его частиц возрастёт, следовательно, возрастёт и степень нашего незнания об этой скорости, то есть энтропия вырастет. Или, если мы увеличим объём газа, отведя поршень, увеличится степень нашего незнания положения частиц, и энтропия также вырастет.

С одной стороны, это расширяет возможности использования энтропии при анализе самых различных явлений, но, с другой стороны, требует определенной дополнительной оценки возникающих ситуаций. Это во-первых.Во-вторых, Вселенная — это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве.

МАКСИМАЛЬНАЯ РАБОТА - в термодинамике 1) работа, совершаемая теплоизолиров. Любое сообщение, с которым мы имеем дело в теории информации, представляет собой совокупность сведений о некоторой физической системе. Очевидно, если бы состояние физической системы было известно заранее, не было бы смысла передавать сообщение.

Очевидно, сведения, полученные о системе, будут, вообще говоря, тем ценнее и содержательнее, чем больше была неопределенность системы до получения этих сведений («априори»). Чтобы ответить на этот вопрос, сравним между собой две системы, каждой из которых присуща некоторая неопределенность.

Однако в общем случае это не так. Рассмотрим, например, техническое устройство, которое может быть в двух состояниях: 1) исправно и 2) отказало. Подчеркнем, что для описания степени неопределенности системы совершенно неважно, какие именно значения записаны в верхней строке таблицы; важны только количество этих значений и их вероятности. Понятие об энтропии является в теории информации основным.

Количество этой информации и называется энтропией. Предположим, что в некоторое сообщение вошло элементов алфавита, элементов и т.д. Величину называют энтропией источника сообщений. 3. Энтропия максимальна, если все состояния элементов сообщений равновероятны. В теории информации доказывается, что всегда, т. е. наличие вероятностных связей уменьшает энтропию источника сообщений.

Игра в бильярд начинается с того, что шары аккуратной пирамидкой выстраиваются на столе. Затем наносится первый удар кием, который разбивает пирамиду. Шары перекатываются по столу по причудливым траекториям, многократно сталкиваются со стенками стола и друг с другом и, наконец, застывают в некотором новом расположении. Отчего-то новое расположение всегда менее упорядоченно. Почему? Можно пробовать бесконечно. Положения шаров на столе каждый раз будут меняться, но никогда мы не придем к такой же упорядоченной пирамиде, которая была на столе перед первым ударом. Система самопроизвольно переходит в менее упорядоченные состояния. Никогда не в более упорядоченные. Для того чтобы система перешла в упорядоченное состояние, необходимо вмешательство извне. Кто-нибудь из играющих берет треугольную рамку и формирует новую пирамиду. Процесс требует вложения энергии. Не существует способа заставить шары самопроизвольно выстроиться в пирамиду в результате соударений друг с другом и со стенками.

Процесс нарастания беспорядка на бильярдном столе не управляется (хотя и требует энергии для своего прохождения), потому что хороший бильярдный стол специально делается таким, чтобы энергия шара в любой его точке была одинаковой. То, что происходит на бильярдном столе, демонстрирует другой великий принцип, по которому организована наша Вселенная: принцип максимума энтропии. Разумеется, одним лишь бильярдным столом великий принцип мироздания не ограничивается. Так что будем разбираться.

Энтропия - это мера неупорядоченности системы. Чем меньше порядка в системе, тем выше ее энтропия. Наверное, имеет смысл поговорить о том, что считать порядком и что беспорядком.

Под порядком можно понимать регулярное расположение частиц, когда расстояния и направления повторяются, а по расположению нескольких частиц можно предсказать расположение следующей. Если частицы равномерно перемешаны безо всякого видимого закона расположения - это беспорядок. Если частицы аккуратно собраны в одной области пространства - это порядок. Если разбросаны повсюду - беспорядок. Если разные компоненты смеси находятся в разных местах - это порядок. Если все вперемежку - беспорядок. В общем, спросите маму или жену - она объяснит.

Энтропия газа (между прочим, слово "газ" - это искаженное греческое "хаос") выше, чем жидкости. Энтропия жидкости выше, чем твердого тела. Вообще говоря, повышение температуры увеличивает беспорядок. Из всех состояний вещества наименьшую энтропию будет иметь твердый кристалл при температуре абсолютного нуля. Эту энтропию принимают за нулевую.

В различных процессах энтропия изменяется. Если в некотором процессе не происходит изменения энергии, то процесс протекает самопроизвольно только в том случае, если это ведет к повышению энтропии системы. (Что происходит, когда меняется и энтропия, и энергия, мы обсудим немного позже.) Именно поэтому после удара кием шары на бильярдном столе переходят в менее упорядоченное положение. Изменения энтропии в различных системах можно суммировать в виде принципа максимума энтропии :

Любая система самопроизвольно стремится занять наиболее неупорядоченное доступное ей состояние.

Очень часто это же самое формулируется в виде принципа неуменьшения энтропии :

Энтропия изолированной системы не может уменьшиться.

Эта формулировка породила и порождает продолжать массу споров на тему тепловой смерти Вселенной: Вселенная по определению является изолированной системой (поскольку у нее отсутствует окружающая среда, с которой был бы возможен обмен массой или энергией), следовательно, ее энтропия постепенно возрастает. Следовательно, Вселенная придет в конце концов в состояние полной однородной неупорядоченности, в котором не может существовать ни один объект, как-то отличающийся от окружения. Тема в высшей степени увлекательная, но давайте об этом как-нибудь в другой раз.

Этот пост является вольным переводом ответа, который Mark Eichenlaub дал на вопрос What"s an intuitive way to understand entropy? , заданный на сайте Quora

Энтропия. Пожалуй, это одно из самых сложных для понимания понятий, с которым вы можете встретиться в курсе физики, по крайней мере если говорить о физике классической. Мало кто из выпускников физических факультетов может объяснить, что это такое. Большинство проблем с пониманием энтропии, однако, можно снять, если понять одну вещь. Энтропия качественно отличается от других термодинамических величин: таких как давление, объём или внутренняя энергия, потому что является свойством не системы, а того, как мы эту систему рассматриваем. К сожалению в курсе термодинамики её обычно рассматривают наравне с другими термодинамическими функциями, что усугубляет непонимание.

Так что же такое энтропия?

Если в двух словах, то

Энтропия - это то, как много информации вам не известно о системе

Например, если вы спросите меня, где я живу, и я отвечу: в России, то моя энтропия для вас будет высока, всё-таки Россия большая страна. Если же я назову вам свой почтовый индекс: 603081, то моя энтропия для вас понизится, поскольку вы получите больше информации.


Почтовый индекс содержит шесть цифр, то есть я дал вам шесть символов информации. Энтропия вашего знания обо мне понизилась приблизительно на 6 символов. (На самом деле, не совсем, потому что некоторые индексы отвечают большему количеству адресов, а некоторые - меньшему, но мы этим пренебрежём).


Или рассмотрим другой пример. Пусть у меня есть десять игральных костей (шестигранных), и выбросив их, я вам сообщаю, что их сумма равна 30. Зная только это, вы не можете сказать, какие конкретно цифры на каждой из костей - вам не хватает информации. Эти конкретные цифры на костях в статистической физике называют микросостояниями, а общую сумму (30 в нашем случае) - макросостоянием. Существует 2 930 455 микросостояний, которые отвечают сумме равной 30. Так что энтропия этого макросостояния равна приблизительно 6,5 символам (половинка появляется из-за того, что при нумерации микросостояний по порядку в седьмом разряде вам доступны не все цифры, а только 0, 1 и 2).

А что если бы я вам сказал, что сумма равна 59? Для этого макросостояния существует всего 10 возможных микросостояний, так что его энтропия равна всего лишь одному символу. Как видите, разные макросостояния имеют разные энтропии.

Пусть теперь я вам скажу, что сумма первых пяти костей 13, а сумма остальных пяти - 17, так что общая сумма снова 30. У вас, однако, в этом случае имеется больше информации, поэтому энтропия системы для вас должна упасть. И, действительно, 13 на пяти костях можно получить 420-ю разными способами, а 17 - 780-ю, то есть полное число микросостояний составит всего лишь 420х780 = 327 600. Энтропия такой системы приблизительно на один символ меньше, чем в первом примере.

Мы измеряем энтропию как количество символов, необходимых для записи числа микросостояний. Математически это количество определяется как логарифм, поэтому обозначив энтропию символом S, а число микросостояний символом Ω, мы можем записать:

Это есть ничто иное как формула Больцмана (с точностью до множителя k, который зависит от выбранных единиц измерения) для энтропии. Если макросостоянию отвечают одно микросостояние, его энтропия по этой формуле равна нулю. Если у вас есть две системы, то полная энтропия равна сумме энтропий каждой из этих систем, потому что log(AB) = log A + log B.

Из приведённого выше описания становится понятно, почему не следует думать об энтропии как о собственном свойстве системы. У системы есть опеделённые внутренняя энергия, импульс, заряд, но у неё нет определённой энтропии: энтропия десяти костей зависит от того, известна вам только их полная сумма, или также и частные суммы пятёрок костей.

Другими словами, энтропия - это то, как мы описываем систему. И это делает её сильно отличной от других величин, с которыми принято работать в физике.

Физический пример: газ под поршнем

Классической системой, которую рассматривают в физике, является газ, находящийся в сосуде под поршнем. Микросостояние газа - это положение и импульс (скорость) каждой его молекулы. Это эквивалентно тому, что вы знаете значение, выпавшее на каждой кости в рассмотренном раньше примере. Макросостояние газа описывается такими величинами как давление, плотность, объём, химический состав. Это как сумма значений, выпавших на костях.

Величины, описывающие макросостояние, могут быть связаны друг с другом через так называемое «уравнение состояния». Именно наличие этой связи позволяет, не зная микросостояний, предсказывать, что будет с нашей системой, если начать её нагревать или перемещать поршень. Для идеального газа уравнение состояния имеет простой вид:

Хотя вы, скорее всего, лучше знакомы с уравнением Клапейрона - Менделеева pV = νRT - это то же самое уравнение, только с добавлением пары констант, чтобы вас запутать. Чем больше микросостояний отвечают данному макросостоянию, то есть чем больше частиц входят в состав нашей системы, тем лучше уравнение состояния её описывают. Для газа характерные значения числа частиц равны числу Авогадро, то есть составляют порядка 10 23 .

Величины типа давления, температуры и плотности называются усреднёнными, поскольку являются усреднённым проявлением постоянно сменяющих друг друга микросостояний, отвечающих данному макросостоянию (или, вернее, близким к нему макросостояниям). Чтобы узнать в каком микросостоянии находится система, нам надо очень много информации - мы должны знать положение и скорость каждой частицы. Количество этой информации и называется энтропией.

Как меняется энтропия с изменением макросостояния? Это легко понять. Например, если мы немного нагреем газ, то скорость его частиц возрастёт, следовательно, возрастёт и степень нашего незнания об этой скорости, то есть энтропия вырастет. Или, если мы увеличим объём газа, отведя поршень, увеличится степень нашего незнания положения частиц, и энтропия также вырастет.

Твёрдые тела и потенциальная энергия

Если мы рассмотрим вместо газа какое-нибудь твёрдое тело, особенно с упорядоченной структурой, как в кристаллах, например, кусок металла, то его энтропия будет невелика. Почему? Потому что зная положение одного атома в такой структуре, вы знаете и положение всех остальных (они же выстроены в правильную кристаллическую структуру), скорости же атомов невелики, потому что они не могут улететь далеко от своего положения и лишь немного колеблются вокруг положения равновесия.

Если кусок металла находится в поле тяготения (например, поднят над поверхностью Земли), то потенциальная энергия каждого атома в металле приблизительно равна потенциальной энергии других атомов, и связанная с этой энергией энтропия низка. Это отличает потенциальную энергию от кинетической, которая для теплового движения может сильно меняться от атома к атому.

Если кусок металла, поднятый на некоторую высоту, отпустить, то его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию, но энтропия возрастать практически не будет, потому что все атомы будут двигаться приблизительно одинаково. Но когда кусок упадёт на землю, во время удара атомы металла получат случайное направление движения, и энтропия резко увеличится. Кинетическая энергия направленного движения перейдёт в кинетическую энергию теплового движения. Перед ударом мы приблизительно знали, как движется каждый атом, теперь мы эту информацию потеряли.

Понимаем второй закон термодинамики

Второй закон термодинамики утверждает, что энтропия (замкнутой системы) никогда не уменьшается. Мы теперь можем понять, почему: потому что невозможно внезапно получить больше информации о микросостояниях. Как только вы потеряли некую информацию о микросостоянии (как во время удара куска металла об землю), вы не можете вернуть её назад.


Давайте вернёмся обратно к игральным костям. Вспомним, что макросостояние с суммой 59 имеет очень низкую энтропию, но и получить его не так-то просто. Если бросать кости раз за разом, то будут выпадать те суммы (макросостояния), которым отвечает большее количество микросостояний, то есть будут реализовываться макросостояния с большой энтропией. Самой большой энтропией обладает сумма 35, и именно она и будет выпадать чаще других. Именно об этом и говорит второй закон термодинамики. Любое случайное (неконтролируемое) взаимодействие приводит к росту энтропии, по крайней мере до тех пор, пока она не достигнет своего максимума.

Перемешивание газов

И ещё один пример, чтобы закрепить сказанное. Пусть у нас имеется контейнер, в котором находятся два газа, разделённых расположенной посередине контейнера перегородкой. Назовём молекулы одного газа синими, а другого - красными.

Если открыть перегородку, газы начнут перемешиваться, потому что число микросостояний, в которых газы перемешаны, намного больше, чем микросостояний, в которых они разделены, и все микросостояния, естественно, равновероятны. Когда мы открыли перегородку, для каждой молекулы мы потеряли информацию о том, с какой стороны перегородки она теперь находится. Если молекул было N, то утеряно N бит информации (биты и символы, в данном контексте, это, фактически, одно и тоже, и отличаются только неким постоянным множителем).

Разбираемся с демоном Максвелла

Ну и напоследок рассмотрим решение в рамках нашей парадигмы знаменитого парадокса демона Максвелла. Напомню, что он заключается в следующем. Пусть у нас есть перемешанные газы из синих и красных молекул. Поставим обратно перегородку, проделав в ней небольшое отверстие, в которое посадим воображаемого демона. Его задача - пропускать слева направо только красных, и справа налево только синих. Очевидно, что через некоторое время газы снова будут разделены: все синие молекулы окажутся слева от перегородки, а все красные - справа.


Получается, что наш демон понизил энтропию системы. С демоном ничего не случилось, то есть его энтропия не изменилась, а система у нас была закрытой. Получается, что мы нашли пример, когда второй закон термодинамики не выполняется! Как такое оказалось возможно?

Решается этот парадокс, однако, очень просто. Ведь энтропия - это свойство не системы, а нашего знания об этой системе. Мы с вами знаем о системе мало, поэтому нам и кажется, что её энтропия уменьшается. Но наш демон знает о системе очень много - чтобы разделять молекулы, он должен знать положение и скорость каждой из них (по крайней мере на подлёте к нему). Если он знает о молекулах всё, то с его точки зрения энтропия системы, фактически, равна нулю - у него просто нет недостающей информации о ней. В этом случае энтропия системы как была равна нулю, так и осталась равной нулю, и второй закон термодинамики нигде не нарушился.

Но даже если демон не знает всей информации о микросостоянии системы, ему, как минимум, надо знать цвет подлетающей к нему молекулы, чтобы понять, пропускать её или нет. И если общее число молекул равно N, то демон должен обладать N бит информации о системе - но именно столько информации мы и потеряли, когда открыли перегородку. То есть количество потерянной информации в точности равно количеству информации, которую необходимо получить о системе, чтобы вернуть её в исходное состояние - и это звучит вполне логично, и опять же не противоречит второму закону термодинамики.

Теория информации

У истоков теории информации стоит Клод Шеннон, который в 1947-48 годах работал над вопросом эффективности систем связи. В результате этого была сформулирована цель данной теории – повышение пропускной способности канала связи. Эффективна та система, которая при прочих равных условиях и затратах передает большее количество информации. Обычно при анализе рассматривается объекта: источник информации и канал передачи информации.

Итак, имеются какие-то события. Информация о них в знаковой форме, в виде сигнала передается по каналу связи. Можно утверждать, что канал хороший, если он отвечает двум условиям. Во-первых, по нему передается информация с высокой скоростью и во-вторых помехи, воздействующие на передачу, снижают качество информации незначительно. Для того чтобы найти условия для такой передачи необходимо ввести какие-то информационные характеристики.

Наиболее наглядно основные положения теории информации проявляются при дискретном источнике и таком же канале. Поэтому знакомство с темой начнем при данном допущении.

1.1 Количественная мера информации.

Прежде разберемся, что имеет смысл передавать по каналу.

Если получателю известно, какая информация будет передана, то, очевидно, нет необходимости ее передачи. Есть смысл передавать только то, что является неожиданным. Чем больше эта неожиданность, тем большее количество информации должно содержаться в этом событии. Например, Вы работаете за компьютером. Сообщение о том, что сегодня работу надо закончит через 45 мин. согласно расписанию вряд ли является для Вас новым. Это абсолютно ясно было и до заявления о конце работы. Следовательно, в таком сообщении содержится нулевая информация; передавать его бессмысленно. А теперь другой пример. Сообщение следующее: через час начальник подарит Вам авиабилет до Москвы и обратно, да еще выделит сумму денег на развлечения. Такого рода информация для Вас неожиданна и, следовательно, содержит большое количество единиц меры. Вот такие сообщения имеет смысл передавать по каналу. Вывод очень простой: чем больше неожиданности в сообщении, тем большее количество информации в нем содержится.

Неожиданность характеризуется вероятностью, которая и закладывается в информационную меру.

Еще несколько примеров. Имеем два ящика, один с белыми, а другой с черными шарами. Какое количество информации содержится в сообщении, где белые шары? Вероятность того, что в любом указанном ящике белые шары равна 0,5. Назовем эту вероятность до опытной или априорной .

Теперь вытаскиваем один шар. В независимости от того, какой шар мы вынули, после такого опыта будет абсолютно точно известно в каком ящике белые шары. Следовательно, вероятность сведений будет равна 1. Эта вероятность называется после опытной или апостериорной .

Посмотрим на данную пример с позиции количества информации.итак, имеем источник информации ящики с шарами. Первоначально неопределенность о шарах характеризовалась вероятностью 0,5. Далее источник "заговорил" и выдал информацию; мы вытащили шар. Далее все стало определено с вероятностью 1. Степень уменьшения неопределенности о событии в результате опыта логично принять за количественную меру информации. В нашем примере это будет 1/0,5.

Теперь пример более сложный. Известно, что размер детали может быть 120,121,122, . . .,180 мм., то есть, имеет одно из 61-ого значений. Априорная вероятность того, что размер детали i мм равна 1/61.

У нас имеется весьма несовершенный измерительный инструмент позволяющий измерить деталь с точностью +5,-5 мм. В результате измерения получили размер 130 мм. Но фактически он может быть 125,126, . . .,135 мм.; всего 11 значений. В результате опыта остается неопределенность, которая характеризуется апостериорной вероятностью 1/11. Степень уменьшения неопределенности будет (1/11):(1/61). Как и выше это отношение и есть количество информации.

Наиболее удобна логарифмическая функция для отражения количества информации. Основание логарифма принимается равное двум. Обозначим количество информации,
- априорная вероятность,
- апостериорная вероятность. Тогда,

. (1)

В первом примере
1 бит информации; во втором
2,46 бит информации. Бит – одна двоичная единица информации .

Теперь обратимся к реальному источнику информации, который представляет собой множество независимых событий (сообщений) с различными априорными вероятностями
. Это множество представляет данные о параметрах объекта и есть информация о нем. Обычно, после выдачи сообщения источником, становится достоверно известно, какой параметр выдан. Апостериорная вероятность равна 1. Количество информации, содержащееся в каждом событии, будет равно

. (2)

Эта величина всегда больше нуля. Сколько событий, столько количеств информации. Для характеристики источника это не совсем удобно. Поэтому вводится понятие энтропии. Энтропия это среднее количество информации, приходящееся на одно событие (сообщение) источника . Находится она по правилам определения математического ожидания:

. (3)

Или учитывая свойства логарифмической функции

. (4)

Размерность энтропии бит/сообщение. Остановимся на свойствах энтропии. Начнем с примера. Допустим, имеется двоичный источник информации с априорными вероятностями событий исоставляющих полную группу. Из этого следует связь между ними:
. Найдем энтропию источника:

Не трудно видеть, что если одна из вероятностей равно нулю, то вторая равна 1, а выражение энтропии при этом даст нуль.

Построим график зависимости энтропии от
(рис.1).

Обратим внимание на то, что энтропия максимальна при вероятности равной 0,5 и всегда положительна.

Первое свойство энтропии . Энтропия максимальна при равновероятных событиях в источнике. В нашем примере двоичного источника эта величина равна 1. Если источник не двоичный и содержит N слов, то максимальная энтропия.

Второе свойство энтропии. Если вероятность одного сообщения источника равна 1, и остальные равны нулю, как образующие полную группу событий, то энтропия равна нулю . Такой источник не генерирует информацию.

Третье свойство энтропии это теорема сложения энтропий . Разберем этот вопрос более подробно. Допустим, имеется два источника информации представленные множествами сообщений и.

У каждого из источников имеются энтропии
и
. Далее эти источники объединяются, и требуется найти энтропию объединенного ансамбля
. Каждой паре сообщенийисоответствует вероятность
. Количество информации в такой паре будет

Действуя известным образом, найдем среднее количество информации, приходящееся на пару сообщений ансамбля. Это и будет энтропия. Правда, здесь может быть два случая. Объединяемые ансамбли могут быть статистически независимы и зависимы.

Рассмотрим первый случай независимых ансамблей, появление сообщения ни в коей мере не определяется. Запишем выражение для энтропии:

, (7)

здесь
- число сообщений в ансамблях.

Так как при независимости двумерная вероятность , а, из общей предыдущей формулы получим

где
и
определяются по известным формулам.

Далее рассмотрим более сложный случай. Предположим, что ансамбли сообщений находятся в статистической связи, то есть с какай-то вероятностью предполагает появление. Этот факт характеризуется условной вероятностью
; косая черта в обозначении характеризует условие. При введении условных вероятностей двумерная вероятность может быть определена через произведение одномерных:

Учитывая это, найдем выражение для энтропии. Преобразование идет следующим образом:

Учитывая равенство 1 суммы всех вероятностей событий, первая двойная сумма в последнем выражении дает энтропию источника X, H(x).

Вторая двойная сумма получила название условной энтропии и обозначается как
. Таким образом,

Аналогичным образом можно доказать, что .

В последних выражениях мы встретились с условной энтропией, которая определяется связью между объединяемыми ансамблями сообщений. Если ансамбли статистически независимы
, и условная энтропия
. В итоге мы получаем известную формулу.

Если сообщения зависимы абсолютно, то есть находятся в функциональной связи,
принимает одно из двух значений: либо 1, когда
, либо 0, когда
. Условная энтропия будет равна 0, так как второй ансамбль сообщений не обладает неожиданностью, и, следовательно, не несет информацию.

После введения энтропии и ее свойств, вернемся к единственному источнику информации. Следует знать, что любой источник информации работает в текущем времени. Его символы (знаки) занимают определенное место в последовательности. Источник информации называется стационарным, если вероятность символа не зависит от его места в последовательности. И еще одно определение. Символы источника могут иметь статистическую (вероятностную) связь друг с другом.Эргодический источник информации это такой источник, в котором статистическая связь между знаками распространяется на конечное число предыдущих символов. Если эта связь охватывает лишь соседние два знака, то такой источник называется односвязная цепь Маркова. Именно такой источник мы сейчас рассмотрим. Схема генерации источником символов показана на рис. 2.

Появление символа зависит от того, какой символвыдал источник в предыдущий момент. Эта зависимость определяется вероятностью
. Найдем энтропию такого источника. Будем исходить из понимания вообще энтропии, как математического ожидания количества информации. Допустим, выдается два символа как показано на рис. 2. Количество информации в такой ситуации источником выдается

Усреднив это количество по всем возможным последующим символам, получим частную энтропию при условии, что предыдущем всегда выдается символ :

. (13)

Еще раз, усреднив эту частную энтропию по всем предыдущим символам, получим окончательный результат:

Индекс 2 в обозначении энтропии свидетельствует о том, что статистическая связь распространяется только на два соседних символа.

Остановимся на свойствах энтропии эргодического источник.

При независимости символов в источнике
, формула (14) упрощается и приводится к обычному виду (4).

Наличие статистических (вероятностных) связей между символами источника всегда приводит к уменьшению энтропии,
.

Итак, источник информации имеет максимальную энтропию если выполняется два условия: все символы источника равновероятны (свойство энтропии) и между символами источника нет статистических связей.

Для того чтобы показать насколько хорошо используются символы источника, вводится параметр избыточности :

. (15)

Величина находится в диапазоне от 0 до 1.

Отношение к этому параметру двоякое. С одной стороны, чем меньше избыточность, тем более рационально работает источник. С другой стороны, чем больше избыточность, тем меньше помехи, шумы влияют на доставку информации такого источника потребителю. Например, наличие статистических связей между символами увеличивает избыточность, но в то же время увеличивает верность передачи. Отдельные пропавшие символы могут быть предсказаны и восстановлены.

Рассмотрим пример. Источник – буквы русского алфавита, всего их 32. Определим максимальную энтропию:
бит/сообщение.

Так как между буквами есть статистическая связь и вероятности их появления в тексте далеко не одинаковы, реальная энтропия равна 3 бит/сообщение. Отсюда избыточность
.

Следующая характеристика источника производительность; она характеризует скорость генерации информации источником. Предположим, что каждая буква источника выдается за определенный промежуток времени . Усредняя эти времена, найдем среднее время выдачи одного сообщения. Среднее количество информации выдаваемое источником в единицу времени – производительность источника
:

. (16)

Итак, подведем итог. Характеристиками эргодического источника информации являются следующие:

количество информации в каждом знаке,

энтропия,

избыточность,

производительность.

Необходимо заметить, что сильной стороной введенной меры количества информации и, разумеется, всех характеристик является универсальность. Все введенные выше понятия применимы к любому виду информации: социологической, технической и т. д.. Слабая же сторона меры в том, что в ней не отражена значимость информации, ее ценность. Информация о выигрыше в лотерею авторучки и автомобиля одинакова по значимости.

1.2. Информационные характеристики канала

Вспомним о том, что информация передается по каналу связи. Мы ранее ввели информационные характеристики источника информации, а теперь введем информационные характеристики канала. Представим ситуацию так, как показано на рис. 1.

Рис. 1

На входе канала присутствует входной алфавит, состоящий из множества знаков , а на выходе -.

П
редставим канал связи математической моделью. Наиболее известное представление дискретного канала в виде графа. Узлы графа, получаемые () и передаваемые () буквы алфавита; ребра отражают возможные связи между этими буквами (рис. 2).

Связи между буквами алфавита принято оценивать условными вероятностями, например,
вероятность приемапри условии что передана. Это вероятность правильного приема. Точно также можно ввести условные вероятности ошибочных приемов, например,
. Причины появления этих ненулевых вероятностей - помехи, от которых не свободен ни один из реальных каналов. Обратим внимание на то, чтоn и m , количество знаков (букв) в передаваемом и принимаемом массиве не обязательно равны между собой. На основании этой модели вводятся дальнейшие определения.

Симметричный канал – это канал в котором все вероятности правильного приема для всех символов равны, а также равны вероятности ошибочных приемов. Для такого канала условная вероятность может быть записана так:

Здесь – вероятность ошибочного приема. Если эта вероятность не зависит от того, какие знаки передавались до данного символа, такой канал называется "канал без памяти ". В качестве примера ниже на рис.3 показан граф симметричного двоичного канала без памяти.

Р
ис. 3

Далее допустим, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный символ, который появляется тогда, когда декодер приемника не может опознать переданный символ. В этом случае он вырабатывает отказ от решения. Это положение называется стиранием. Такой канал называется каналом без памяти со стиранием и его граф показан на рис. 4. Положение "стирание" здесь обозначено знаком вопроса.

Р
ис. 4.

Простейшим каналом с памятью является марковский канал . В нем вероятности ошибок зависят от того правильно или ошибочно был принят предыдущий символ.

Наряду с графом для канала связи существует и другое описание – канальная матрица . Это набор условных вероятностей
или
. Вмести с априорными вероятностями,
и
это дает полную картину статистики канала с помехами. Для примера приведем канальную матрицу

.