В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия .

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине

,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования

;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что равен нулю в точке максимума, будучи разделён на .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и , он получает

,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

,

коэффициенты которого будут новыми функциями . Остаётся назвать производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

,

поэтому коэффициент является удвоенной производной производной , то есть

и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

.

Дальнейшее развитие

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел . В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции , заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры , а Кантор - теорию множеств , и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Разделы математического анализа

• Метрическое пространство , Топологическое пространство

См. также

Библиография

Энциклопедические статьи

• // Энциклопедический лексикон : Спб.: тип. А. Плюшара, 1835-1841. Том 1-17.

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ , МехМат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
• Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.

• В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова . - 3-е изд. , перераб. и доп. - М .: Проспект, 2006. - ISBN 5-482-00445-7

• МГУ , физфак:

• Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). - М .: Физматлит, 2005. - 648 с. - ISBN 5-9221-0536-1
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• СПбГУ , физфак:

• Смирнов В. И. Курс высшей математики, в 5 томах. М.: Наука, 1981 (6-е издание), БХВ-Петербург, 2008 (24-е издание).

• НГУ , мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8 .
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6 .
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2 .
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7 .
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, : Часть 1. Функции одной переменной , Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .

• МФТИ , Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трех томах).

• БГУ , физфак:

• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). - Минск: БГУ, 1974. - 357 с.

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1 , Часть 2 , 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Учебники для гуманитарных специальностей

• А. М. Ахтямов Математика для социологов и экономистов. - М. : Физматлит, 2004.
• Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. - М. : Юнити, 2010

Задачники

• Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. - 20-е изд. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 384 с.
• П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.
• Г. И. Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966.
• И. А. Каплан. Практические занятия по высшей математике, в 5 частях.. - Харьков, Изд. Харьковского гос. ун-та, 1967, 1971, 1972.
• А. К. Боярчук, Г. П. Головач. Диференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва. Едиториал УРСС, 2001.
• А. В. Пантелеев, А. С. Якимова, А. В. Босов. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. «МАИ», 2000
• А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. ВШ, 1989.
• К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю.А Шевченко. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. - 7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008.
• И. А. Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (Функции одной переменной). - М., Физматлит, 1970.
• В. Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т. - СПб.: Политехника, 2003.

Справочники

Классические произведения

Сочинения по истории анализа

• Кестнер, Авраам Готтгельф . Geschichte der Mathematik. 4 тома, Геттинген, 1796-1800
• Кантор, Мориц . Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960

Примечания

1. Ср., напр.,курс Cornell Un
2. Ньютон И. Математические работы . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
4. Лопиталь. Анализ бесконечно малых . М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
7. Лопиталь, гл. 1, требование 1.
8. Лопиталь, гл. 1, требование 2.
9. Лопиталь, гл. 2, опр.
10. Лопиталь, § 46.
11. Лопиталь беспокоится о другом: для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит её отрицательность. Замечание, сделанное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании с ростом следует писать , однако далее это не используется.

ВВЕДЕНИЕ. ДИСЦИПЛИНА ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И ЧЕМ ОНА ЗАНИМАЕТСЯ

Формирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последу­ющие полтора десятилетия были отмечены широким применением полу­ченных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенци­альных возможностей теории. В результате исследование операций при­обрело черты классической научной дисциплины, без которой немыс­лимо базовое экономическое образование.

Обращаясь к задачам и проблемам, составляющим предмет исследо­вания операций, нельзя не вспомнить о вкладе, внесенном в их решение представителями отечественной научной школы, среди которых в пер­вую очередь должен быть назван Л. В. Канторович, ставший в 1975 г. лауреатом Нобелевской премии за свои работы по оптимальному ис­пользованию ресурсов в экономике.

Начало развития исследования операций как науки традицион­но связывают с сороковыми годами двадцатого столетия. Среди первых исследований в данном направлении может быть назва­на работа Л. В. Канторовича "Математические методы органи­зации и планирования производства", вышедшая в 1939 г. В за­рубежной литературе отправной точкой обычно считается вышедшая в 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная реше­нию линейных экстремальных задач.

Следует отметить, что не существует жесткого, устоявше­гося и общепринятого определения предмета исследования опе­раций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что "исследование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами".

Второе определение: Исследование операций – это научная подготовка принимаемого решения – это совокупность методов, предлагаемых для подготовки и нахождения самых эффективных или самых экономичных решений.

Природа систем, фигурирующих в приведенном определении под именем "организационных", может быть самой различной, а их общие математические модели находят применение не толь­ко при решении производственных и экономических задач, но и в биологии, социологических исследованиях и других практи­ческих сферах. Кстати, само название дисциплины связано с применением математических методов для управления военны­ми операциями.

Несмотря на многообразие задач организационного управ­ления, при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование. Как правило, это:

1. Постановка задачи.

2. Построение содержательной (вербальной) модели рас­сматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возмож­ных управляющих воздействий, влияющих на достижение сфор­мулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

3. Построение математической модели, т. е. перевод сконст­руированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

4. Решение задач, сформулированных на базе построенной математической модели.

5. Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная коррек­тировка первоначальной модели.

6. Реализация полученного решения на практике.

Центральное место в данном курсе отведено вопросам, отно­сящимся к четвертому пункту приведенной выше схемы. Это делается не потому, что он является самым важным, сложным или интересным, а потому, что остальные пункты существенно зависят от конкретной природы изучаемой системы, в силу чего для действий, которые должны производиться в их рамках, не могут быть сформулированы универсальные и содержательные рекомендации.

В самых разнообразных областях человеческой деятельности встречаются сходные между собой задачи: организация производства, эксплуатация транспорта, боевые действия, расстановка кадров, телефонная связь и т.д. Возникающие в этих областях задачи сходны между собой по постановке, обладают рядом общих признаков и решаются сходными методами.

Пример :

Организуется какое-то целенаправленное мероприятие (система действий), которое можно организовать тем или иным способом. Необходимо выбрать определенное решение из ряда возможных вариантов. Каждый вариант имеет преимущества и недостатки – сразу не ясно, какой из них предпочтительнее. С целью прояснить обстановку и сравнить между собой по ряду признаков различные варианты, организуется серия математических расчетов. Результаты расчетов показывают, на каком варианте остановится.

Математическое моделирование в исследовании операций является, с одной стороны, очень важным и сложным, а с дру­гой - практически не поддающимся научной формализации процессом. Заметим, что неоднократно предпринимавшиеся по­пытки выделить общие принципы создания математических мо­делей приводили либо к декларированию рекомендаций самого общего характера, трудноприложимых для решения конкрет­ных проблем, либо, наоборот, к появлению рецептов, примени­мых в действительности только к узкому кругу задач. Поэтому более полезным представляется знакомство с техникой математического моделирования на конкретных примерах.

1) План снабжения предприятия.

Имеется ряд предприятий, использующих различные виды сырья; имеется ряд сырьевых баз. Базы связаны с предприятиями различными путями сообщения (железные дороги, автотранспорт, водный, воздушный транспорт). Каждый транспорт имеет свои тарифы. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем, чтобы потребности в сырье были удовлетворены при минимальных расходах на перевозки.

2) Постройка участка магистрали.

Сооружается участок железнодорожной магистрали. В нашем распоряжении определенное количество средств: людей, техники и т.п. Требуется назначить очередность работ, распределить людей и технику по участкам пути таким образом, чтобы завершить строительство в минимальные сроки.

Выпускается определенный вид изделий. Для обеспечения высокого качества продукции требуется организовать систему выборочного контроля: определить размер контрольной партии, набор тестов, правила отбраковки и т.д. Требуется обеспечить заданный уровень качества продукции при минимальных расходах на контроль.

4) Военные действия.

Целью в данном случае является уничтожение вражеского объекта.

Подобные задачи встречаются в практике часто. Они имеют общие черты. В каждой задаче определена цель – цели эти похожи; заданы некоторые условия – в рамках этих условий и нужно принять решение, чтобы данное мероприятие было наиболее выгодным. В соответствии с этими общими чертами применяются и общие методы.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Цель и основные понятия в исследованиях операций

Операция – это всякая система действий (мероприятие), объединенных единым замыслом и направленных к достижению какой-то цели. Это управляемое мероприятие, то есть от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие его организацию.

Каждый определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением.

Целью исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут быть различные числа, векторы, функции, физически признаки и т.д.

Пример : перевозка однородного груза.

Существуют пункты отправления: А 1 , А 2 , А 3 ,…, А m .

Имеются пункты назначения: В 1 , В 2 , В 3 ,…, В n .

Элементами решения здесь будут числа x ij , показывающие, какое количество грузов будет отправлено из i-того пункта отправления в j -ый пункт назначения.

Совокупность этих чисел: x 11 , x 12 , x 13 ,…, x 1 m ,…, x n 1 , x n 2 ,…, x nm образует решение.

Чтобы сравнить между собой различные варианты, необходимо иметь какой-то количественный критерий – показатель эффективности (W ). Данный показатель называется целевой функцией.

Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Выбирая решение, стремимся, чтобы данный показатель стремился к максимуму или к минимуму. Если W – доход, то W max; а если W – расход, то W min.

Если выбор зависит от случайных факторов (погода, отказ техники, колебания спроса и предложения), то в качестве показателя эффективности выбирается среднее значение – математическое ожидание – .

В качестве показателя эффективности иногда выбирают вероятность достижения цели. Здесь цель операции сопровождается случайными факторами и работает по схеме ДА-НЕТ.

Для иллюстрации принципов выбора показателя эффективности вернемся к рассмотренным ранее примерам:

1) План снабжения предприятия.

Показатель эффективности виден в цели. R – число – стоимость перевозок, . При этом все ограничения должны быть выполнены.

2) Постройка участка магистрали.

В задаче большую роль играют случайные факторы. В качестве показателя эффективности выбирают среднее ожидаемое время окончания стройки .

3) Выборочный контроль продукции.

Естественный показатель эффективности, подсказанный формулировкой задачи – это средние ожидаемые расходы на контроль за единицу времени, при условии, что система контролирует обеспечение заданного уровня качества.

Сопровождается физическим или математическим моделированием. Физическое моделирование... макетов и их трудоемкое исследование . Математическое моделирование осуществляют с использованием... на моделирование необходимо проделать следующие операции : 1. вход в меню...

Исследование интегрирующего и дифференцирующего усилителей на базе ОУ

Лабораторная работа >> Коммуникации и связь

Работы является экспериментальное исследование свойств и характеристик... это одна из основных математических операций и ее электрическая реализация... ДБ Осциллограммы выходных напряжений при исследованиях в импульсном режиме: Интегрирующий усилитель...

Математические методы в экономическом анализе

Контрольная работа >> Экономико-математическое моделирование

Некоторые методы математического программирования и методы исследования операций , к оптимизационным приближенным - часть методов математического программирования, исследования операций , экономической...

Математические игры как средство развития логического мышления

Дипломная работа >> Педагогика

Развитие логического мышления. Предмет исследования : математические игры с помощью которых... действий с использованием логических операций . Умственные действия образуют... практических компонентов работы. Сложные операции абстрактного мышления переплетаются с...

Одним из показателей зрелости науки считается использование ею математических методов исследования. Такие методы применяются в криминалистике издавна. В сущности, уже упоминавшийся такой общий метод познания, как измерение, есть гносеологически обобщенное понятие любого математического метода. Однако когда мы говорим о "математизации" криминалистики, то имеем в виду современные математические методы исследования, состоящие из операций неизмеримо более сложных, нежели простое сравнение объекта с мерой.

С начала 60-х годов в криминалистической литературе получает широкое признание как принципиальная возможность использования математических методов в криминалистических научных исследованиях, так и необходимость их применения для решения задач криминалистической экспертизы, в том числе и задачи идентификации. Рассматривая эту проблему в разных аспектах, криминалисты неизменно подчеркивали, что применение математических методов исследования открывает новые возможности в развитии как криминалистической науки, так и практики доказывания, а сама постановка этой проблемы свидетельствует о достижении криминалистикой такого уровня развития, когда она, как и другие развитые науки, испытывает потребность в тех точных методах познания своего предмета, которые может предоставить ей современная математика.

Процесс "математизации" криминалистики в настоящее время протекает в трех направлениях. Первое из них - это общетеоретическое направление.

В общетеоретическом плане процесс "математизации" поставил перед криминалистами задачу принципиального обоснования возможностей применения математических методов исследования и определения тех областей науки, при разработке которых эти методы могут дать наиболее эффективные результаты. В литературе данное направление представлено работами В. А. Пошкявичуса, Н. С. Полевого, А. А. Эйсмана, Н. А. Селиванова, З. И. Кирсанова, Л. Г. Эджубова и других авторов. Основные выводы, которые можно сделать после ознакомления с их исследованиями, сводятся к следующему:

1. Процесс "математизации" криминалистики есть естественный процесс, обусловленный современным этапом развития этой науки и математических методов исследования, приобретающих в силу этого все более универсальный характер. Использование математико-кибернетических методов исследования в криминалистике принципиально допустимо; их применение в доказывании нельзя рассматривать как использование специальных знаний, если речь идет о количественных характеристиках и элементарных математических методах; в тех случаях, когда математические методы используются для описания, обоснования или анализа явлений, познание которых осуществляется с помощью специальных знаний, применение этих методов охватывается понятием применения в судопроизводстве специальных познаний.

2. Использование математико-кибернетических методов исследования возможно в целях:

А) совершенствования методики криминалистической экспертизы, что в итоге приведет к расширению ее возможностей;

Б) научного анализа процесса доказывания и разработки рекомендаций по применению теории вероятностей и математической статистики, математической логики, исследования операций и теории игр в следственной практике.

В исследованиях общетеоретического направления получили свое отражение и два других направления процесса "математизации" криминалистики: использование математических методов в криминалистической экспертизе и при анализе процесса доказывания в целом.

Второе направление рассматриваемого процесса - использование математических методов для разработки проблем теории криминалистической идентификации и ее практических приложений и проблем криминалистической экспертизы, а в итоге - и проблем судебной экспертизы в целом . Суть этого направления и пути использования результатов математизации охарактеризованы А. Р. Шляховым: "Роль математических методов в судебной экспертизе двояка: с одной стороны, они выступают в качестве составной части функционирования ЭВМ в виде программных комплексов решения задач и ИПС, с другой стороны, они могут использоваться самостоятельно, без ЭВМ и обеспечивать полное либо частичное решение задач судебной экспертизы. Математические методы давно и прочно вошли в методики производства экспертиз, например, трасологических, баллистических, почерковедческих, автотехнических и др. ... Математические методы полезны при обработке результатов измерений, аналитического сравнения и как критерий достаточности выявленной совокупности признаков для индивидуализации объекта, оценки полноты ее в целях отождествления".

Это направление развивается наиболее интенсивно как непосредственно отвечающее потребностям судебно-экспертной практики. Еще в 1969 г. А. Р. Шляхов отмечал, что математические методы заняли одно из главных мест в системе методов, общих для всех стадий экспертного исследования и различных видов криминалистических экспертиз. В 1977 г. методы прикладной математики и программно-математические методы применения ЭВМ по предложенной А. И. Винбергом и А. Р. Шляховым классификации методов экспертного исследования были отнесены к числу общих (общепознавательных) методов. С конца 60-х гг. идет интенсивный поиск точек приложения математико-кибернетических методов практически во всех видах судебных экспертиз, предпринимаются попытки инвентаризации применяемых методов.

В результате интенсивного изучения проблемы использования математических методов в научных и экспертных исследованиях был поставлен вопрос о пределах их применения. Г. Л. Грановский отметил две точки зрения: одни возлагают надежды в области совершенствования экспертизы только на применение методов точных наук, другие более осторожно подходят к этому вопросу и указывают на пределы возможностей использования современной математики. Именно их позиция представляется более близкой к правильному пониманию проблемы". По его мнению, существуют естественные ограничения, "которые природа объектов экспертизы налагает на возможности использования для их исследования математических методов... Применение количественных методов в любой экспертизе теоретически допустимо, но практически еще мало известно, какие признаки и в каких пределах поддаются математическому описанию и оценке, какие результаты можно ожидать от использования для их исследования математических методов". Современная экспертная практика идет по пути решения этой двуединой задачи: определение точек приложения математических методов, и затем уже их практическое использование.

В настоящее время математические методы наиболее активно применяются при решении задач судебно-почерковедческой экспертизы, САТЭ, а также КЭМВИ; при этом они не только используются при проведении судебно-экспертного исследования (в процессе получения информации об объекте судебной экспертизы), но и являются средством решения судебно- экспертной задачи на основе информации об объекте. При этом наибольшую доказательственную ценность составляет количественная информация, что подтверждают исследования, связанные с решением задачи установления ФКВ объектов волокнистой природы (В.А. Пучков, В. З. Поляков, 1986) на основе результатов аналитического исследования микрочастиц волокон (когда после проведения информационного поиска по массиву волокон, исследованных в экспертизах, задача принятия решения по результатам конкретного аналитического исследования сводится к теоретико-вероятностной задаче), с применением вероятностно-статистической модели (Л. А. Гегечкори, 1985) к решению задачи криминалистической идентификации по признакам состава и строения (модель может быть использована как на предварительной стадии, так и на стадиях сравнительного исследования и синтезирующей; ядром модели являются статистические критерии, использующиеся на стадии сравнительного исследования и в зависимости от которых организуется статистический анализ информационных фондов, необходимый при работе модели на других стадиях решения задачи), с разработкой математической модели задач дифференциации подлинных подписей и неподлинных, выполненных с подражанием после предварительной тренировки (С. А. Атаходжаев и др., 1984). Отметим также разработку математических моделей задачи о наезде ТС на пешехода в условиях ограниченной видимости и некоторые подходы к применению математических методов в задачах судебно-фоноскопической экспертизы.

Опыт использования математических методов в судебной экспертизе свидетельствует о том, что необходимо четко разграничивать применение математических методов для обработки информации, получаемой в процессе изучения объектов судебной экспертизы, и разработку математических моделей для решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования. Если первый аспект не является специфически криминалистическим (ибо исследование объекта судебной экспертизы ведется естественнонаучными методами), то второй имеет особую криминалистическую природу. Она предстает в снятом виде, когда мы располагаем уже математической моделью для решения типовой судебно-экспертной задачи, однако, если не отвлекаться от процесса разработки математической модели, криминалистическая природа ее обнаруживается со всей очевидностью. В самом деле, разработка математических моделей для типовых судебно-экспертных задач всегда инициируется потребностью решения конкретных, индивидуально определенных задач. Специалист-математик в тесном контакте с судебным экспертом выделяет наиболее существенные количественные закономерности, которые дают возможность разработать математическую модель не только для конкретной судебно-экспертной задачи, но и для целого типа задач. В этом и заключен глубокий смысл математизации их решения. Математические методы в судебной экспертизе являются не только (и не столько) методами изучения объектов, получения информации о них (каковы, например, физические и химические методы), но и методами решения судебно-экспертных задач на основе результатов исследования.

Третье направление математизации криминалистических научных исследований - применение математических методов для решения проблем криминалистической тактики и методики. В литературе оно представлено работами А. А. Эйсмана, И. М. Лузгина, Л. Г. Видонова, Н.А. Селиванова и др. Уже первые исследования в этой области показали ограниченность приложения математических методов к решению проблем тактики и методики.

А. А. Эйсман справедливо отметил, что "судебное доказывание не может быть описано с помощью средств традиционной логики, прежде всего, потому, что все акты доказывания, как простые, так и сложные, носят не только качественный характер (да/нет), но и количественный (более надежно, менее надежно). Именно эта оценочная, количественная сторона создает главные трудности для моделирования... Отсутствуют какие бы то ни было средства и возможности показать абсолютный уровень этой надежности, дать ей строгие количественные значения. Это вполне понятно, потому что мы не располагаем (и трудно с научной достоверностью предсказать, будем ли когда-нибудь располагать) методами количественной оценки улик. По-видимому, единственным средством получения таких количественных характеристик является статистическая обработка огромного числа событий и фактов, входящих в содержание доказательств. При этом речь идет о статистическом учете значения отдельных фактов (например, обнаружения поличного) в разных меняющихся условиях. Нетрудно представить почти беспредельный объем таких статистических исследований. В то же время, трудно судить и о практической эффективности результатов, если они будут получены." Именно поэтому А. А. Эйсман высказывал мнение, что в логике следствия из средств математической логики используются лишь некоторые формулы исчисления высказываний, которые "не образуют строгого исчисления, то есть законченного аппарата правил построения вывода, а играют вспомогательную роль". Это мнение поддерживал и И. М. Лузгин.

Н. А. Селиванов ограничил применение математических методов в области криминалистической тактики лишь измерением различных объектов и решением некоторых задач в процессе отдельных следственных действий, преимущественно при осмотре места происшествия: для определения неизвестного расстояния по двум известным, наклона линии полета брызг крови, размеров автомобильных шин по их следам, скорости движения автомобиля по тормозному пути и некоторых других. У И. М. Лузгина мы встречаем упоминание о логико-математическом моделировании, объектами которого, с его точки зрения, могут быть признаки спорных ситуаций, факты, образующие состав преступления, и связанные с ним обстоятельства, отношения между предметами и явлениями, признаки следов. Однако, кроме упоминания, никаких данных, подтверждающих реальную возможность такого моделирования, он не приводит.

Пионерами изучения возможности применения в криминалистической методике вероятностно-статистических методов можно считать З. И. Кирсанова и Н. А. Родионова. Первый определил основные направления применения статистических методов: для изучения способов совершения преступления, видов документов, подделываемых преступниками, предметов, используемых в качестве тайников, в целом для обобщения и изучения следственной практики и т. п.. Второй назвал те статистические методы, которые, по его мнению, могут быть применены при расследовании преступлений. Примером успешного применения вероятностно-статистических методов для определения зависимостей между элементами криминалистической характеристики умышленных убийств служат работы Л. Г. Видонова.

Предпринимаются попытки оценки при помощи вероятностно-статистических методов эффективности отдельных тактических приемов или их сочетаний в рамках специальных комплексов, эффективности тактических комбинаций (операций) по отдельным категориям преступлений.

Расширение сферы применения в криминалистике математических методов логически повлекло за собой исследование возможностей их использования для решения практических задач на базе компьютерных технологий. "Говоря о применении математических методов, хотелось бы подчеркнуть, что не следует противопоставлять их ЭВМ, - справедливо замечал уже в 1984 году в этой связи А. Р. Шляхов. - Математические и технико- криминалистические методы могут дополнять друг друга, взаимодействовать, а в ряде случаев функционировать параллельно. По своей сути и форме они не тождественны. Верно, что почти все достижимое математикой может решать и

ЭВМ (иногда даже лучше математиков), но без математиков ЭВМ бессильна". Такой областью правоохранительной практической деятельности, где применение ЭВМ оказалось наиболее перспективным, является судебная экспертиза.

Помимо экспертной практики, в криминалистике определились следующие направления использования кибернетических методов:

Извлечение информации о различных объектах, процессах и автоматизация ее первичной обработки;

Применение автоматических устройств и ЭВМ для срочной обработки информации и для получения производных параметров по фиксированной первичной информации;

Автоматизация процесса кодирования и сканирования информации;

Компьютерное распознавание образов;

Исследование математических моделей процесса доказывания.

Сравним методику применения математики в практических исследованиях с методикой других естественных наук. Такие науки, как физика, химия, биология изучают непосредственно сам реальный объект (возможно в уменьшенных масштабах и в лабораторных условиях). Научные результаты, после необходимой проверки, также непосредственно можно применить на практике. Математика же изучает не сами объекты, а их модели. Описание объекта и формулировка проблемы переводятся с обычного языка на «язык математики» (формализуются), в результате чего получается математическая модель. Далее эта модель исследуется как математическая задача. Полученные научные результаты не сразу применяются на практике, так как они сформулированы на математическом языке. Поэтому осуществляется обратный процесс - содержательная интерпретация (на языке исходной проблемы) полученных математических результатов. Только после этого решается вопрос об их применении на практике.

Неотъемлемой частью методики прикладной математики является всесторонний анализ реальной проблемы, предшествующий ее математическому моделированию. В целом системный анализ проблемы, предполагает выполнение следующих этапов:

· гуманитарный (доматематический) анализ проблемы;

· математическое исследование проблемы;

· применение полученных результатов на практике.

Проведение такого системного анализа каждой конкретной проблемы должно осуществляться исследовательской группой, включающей экономистов (как постановщиков проблемы или заказчиков), математиков, юристов, социологов, психологов, экологов и т. д. Причем математики, как основные исследователи, должны участвовать не только в «решении» задачи, но и в ее постановке, а также во внедрении результатов на практике.

Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих основных этапов:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;

2. формулировка проблемы;

3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

4. построение математической модели;

5. выбор (или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;

6. программирование алгоритма и отладка программы;

7. проверка качества модели на контрольном примере;

8. внедрение результатов на практике.

Этапы 1 -3 относятся к доматематической части исследования. Предметная область должна быть досконально изучена самими экономистами для того, чтобы они, как заказчики, могли четко сформулировать проблему и определить цели перед исследователями. Исследователям должны быть предоставлены все необходимые документальные и статистические данные в исчерпывающем объеме. Математиками производится организация, хранения, анализ и обработка данных, предоставленных им в удобной (электронной) форме заказчиками.

Этапы 4 -7 относятся к математической части исследований. Результатом этого этапа является формулировка исходной проблемы в виде строгой математической задачи. Математическую модель редко можно «подобрать» из числа имеющихся, известных моделей (рис.1.1). Процесс подбора параметров модели таким образом, чтобы она соответствовала изучаемому объекту, называется идентификацией модели . Исходя из характера полученной модели (задачи) и цели исследования выбирают либо известный метод, либо приспосабливают (модифицируют) известный метод, либо разрабатывают новый. После этого составляют алгоритм (порядок решения задачи) и программу для ЭВМ. Полученные с помощью этой программы результаты анализируют: решают тестовые задачи, вводят необходимые изменения и исправления в алгоритм и программу.

Если для «чистой» математики традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования, то в прикладных работах часто бывает полезно вернуться к модели и внести в нее исправления после того, как первый тур пробных расчетов уже произведен. Более того, часто оказывается плодотворным сопоставление моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Если выводы оказываются (приблизительно) одними и теми же при разных моделях, разных методах исследования - это является свидетельством правильности расчетов, адекватности модели самому объекту, объективности выдаваемых рекомендаций.

Заключительный этап 8 проводится совместными усилиями заказчиков и разработчиков модели.

Результаты математических (как и всяких научных) исследований являются только рекомендацией к использованию на практике. Окончательное решение этого вопроса - применять модель или нет - зависит от заказчика, т. е. от лица ответственного за исход и за последствия, к которым приведет применение рекомендуемых результатов.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

2. выявление важнейших факторов проблемы;

3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе они называются экзогенными переменными . Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними . В экономической литературе они называются эндогенными переменными .

В § 2 под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат. В § 3 управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения . Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (что отсутствует в описательных моделях).

Примеры составления математических моделей

Пример 1.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта Обозначим известные величины: - спрос населения на -й продукт ; - количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы -го продукта по данной технологии . Обозначим неизвестные величины: - объем выпуска -го продукта . Совокупность называется вектором спроса, числа - технологическими коэффициентами, а совокупность - вектором выпуска. По условию задачи вектор распределяется на две части: на конечное потребление (вектор ) и на воспроизводство (вектор ). Вычислим ту часть вектора которая идет на воспроизводство. В силу обозначений для производства количества -го товара идет количества -го товара. Тогда сумма показывает ту величину -го товара, которая нужна для всего выпуска . Следовательно, должно выполняться равенство:

Обобщая это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая полученную систему линейных уравнений относительно находим требуемый вектор выпуска.

Для того чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная матрица А (размером ) называется технологической матрицей. Очевидно, модель можно записать в виде: или

Получили классическую модель «Затраты-выпуск», автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом в количестве 10 единиц, сортом - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин () и мазут (). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М ;

II :2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М ;

III :2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М.

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу. Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины: - количество использования -го технологического процесса . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны .

Тогда одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора , для которого выручка завода равна долл. Здесь 32 долл. - это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. 3ед.Б + 1 долл. 2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А : ,

для сорта В : ,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 - это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I , II , III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В .

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор , чтобы

максимизировать

при выполнении условий:

,

,

.

Сокращенная форма этой записи имеет вид:

при ограничениях

, (1.4.2)

,

Получили так называемую задачу линейного программирования. Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 1.3. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины . Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг. Обозначим известные параметры задачи: - число разновидностей ценных бумаг; - фактическая прибыль (случайное число) от -го вида ценной бумаги - ожидаемая прибыль от -го вида ценной бумаги. Обозначим неизвестные величины: - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида . В силу обозначений вся инвестированная сумма определяется как . Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида . Очевидно, что . Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией

прибыли для ценных бумаг вида и вида . Здесь М - обозначение математического ожидания. Математическая модель исходной задачи имеет вид:

(1.4.3)

Получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Модель (1.4.3.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 1.4. На базе торговой организации имеется типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль , если же он не будет пользоваться спросом - убыток .