А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Проблемы Гильберта: историческое вступление

История Международных математических конгрессов насчитывает уже более ста лет; традиционно они проводятся раз в 4 года. Самый, наверное, знаменитый из них состоялся в августе 1900-го года в Париже. Именно на этом конгрессе, на секции преподавания и методологии математики, выступил 38-летний немецкий математик Давид Гильберт. В своем докладе он сформулировал те проблемы, которые, на его взгляд, являлись наиболее значимыми для математики начинающегося XX столетия.

Ни до, ни после него никто не ставил перед собой такую титаническую задачу. Даже в то время математика уже была достаточно специализированной: было много различных направлений, и одному человеку было очень трудно охватить все ее разделы. Но Гильберт отличался широким кругозором: он работал практически во всех существовавших тогда областях математики и во многих из них добился выдающиxся результатов. Это и позволило ему сформулировать ставшие знаменитыми 23 математические проблемы.

Эти проблемы делятся по областям математики следующим образом:

Из таблицы видно, что проблемы Гильберта относятся к самым разным областям математики, а некоторые --- сразу к нескольким областям. Это вполне естественно: математика едина, и одна и та же проблема может быть сформулирована и исследована в терминах различных математических дисциплин.

Доклад Гильберта на Парижском конгрессе можно найти, в частности, в недавно вышедшем двухтомнике его избранных трудов. Вступительная часть этого доклада читается почти как литературное произведение. То была пора "романтической математики", и сам Гильберт начинает свой доклад словами, которые замечательно звучат и сейчас: "Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?" Так звучал математический доклад Гильберта на математическом международном конгрессе.

Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению. Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?

Сам Гильберт, поясняя свой выбор, приводил слова одного известного французского математика: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Конечно, здесь имеется некоторое преувеличение, но процитированная фраза показывает, что Гильберт придавал большое значение понятности и доступности математики.

Выбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла); б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес; в) не настолько трудной, чтобы ее невозможно было решить.

Перейдем теперь к более подробному рассказу о некоторых из этих проблем.

(стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

В 1900 году в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. На нем выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей.

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Полный список проблем Гильберта и их статус:

1. Континуум–гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. - ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.

2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.

3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.

4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.

5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950–е гг., в другой - Хидехико Ямабе.

6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.

7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.

8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета–функции лежат на критической линии. См. главу 9.

9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.

10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.

11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.

12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.

13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.

14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).

19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.

20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.

22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.