− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.
Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:
(где x t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
При t = 9 c имеем:
Почему мы не учитываем число 17 из первоначального уравнения?
найдите производную исходной функции.
в производной нет числа 17
Зачем находить производную?
Скорость — это производная координаты по времени.
В задаче просят найти скорость
x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
Найдем закон изменения скорости:
(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, а не 20
вспомните про порядок действий
А с каких пор сложение предпочтительнее вычитания?
Умножение приоритетней сложения и вычитания. Вспомните детский школьный пример: 2 + 2 · 2. Напомню, что здесь получается не 8, как считают некоторые, а 6.
Вы, не поняли ответа гостя.
1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.
Так-что всё верно, посчитайте сами.
2) умножение/деление (зависит от порядка в уравнении, что первое стоит — то и решается первым делом);
3) сложение/вычитание (аналогично зависит от порядка в примере).
Умножение = делению, сложение = вычитанию =>
Не 54 — (36+2), а 54-36+2 = 54+2-36 = 20
Во-первых, для вас — Сергей Батькович. Во-вторых, вы сами поняли, что и кому сказать хотели? Я вас не понял.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.
Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:
Урок по теме: «Правила дифференцирования», 11-й класс
Разделы: Математика
Тип урока : обобщение и систематизация знаний.
Цели урока:
- образовательные:
- обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
- закрепить правила дифференцирования;
- раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;
- развивающие:
- осуществить контроль усвоения знаний и умений;
- развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
- развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;
- воспитательные:
- развить познавательный процесс;
- воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.
Оборудование:
- кодоскоп, экран;
- карточки;
- компьютеры;
- таблица;
- дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.
I. Проверка домашнего задания.
1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.
2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.
II. Актуализация знаний.
Учитель:
- Дать определение производной функции.
- Какая операция называется дифференцированием?
- Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (К доске приглашаются желающие учащиеся)
.
- производная суммы;
- производная произведения;
- производная, содержащая постоянный множитель;
- производная частного;
- производная сложной функции;
- Приведите примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.
Ряд частных задач из различных областей наук.
Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t 2 . Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см 2 /с.
Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону
S(t) = 2t + , где S — путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с .
Ответ: Н.
Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t — 0,1t 2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7
с;
б) в какой момент времени маховик остановится.
Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.
Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.
III. Выполнение дифференцированных заданий.
Желающие выполнять задания уровня “А”, садятся за компьютер и выполняют тест с программированным ответом. (Приложение . )
1. Найдите значение производной функции в точке х 0 = 3.
2. Найдите значение производной функции у = хе х в точке х 0 = 1.
1) 2е;
2) е;
3) 1 + е;
4) 2 + е.
3. Решите уравнение f / (x) = 0 , если f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).
1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.
4. Вычислите f / (1), если f (x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).
5. Найдите значение производной функции f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) в точке t0 = 1.
6. Точка движется прямолинейно по закону: S(t) = t 3 – 3t 2 . Выбери формулу, которая задаёт скорость движения этой точки в момент времени t.
1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Применение производной в физике, технике, биологии, жизни
Презентация к уроку
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: интегрированный.
Цель урока: изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии.
Задачи: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.
Техническое обеспечение: интерактивная доска; компьютер и диск.
I. Организационный момент
II. Постановка цели урока
– Урок хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».
– Повторим основные понятия и ответим на вопросы:
– Скажите основное определение производной?
– Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?
Рассмотрение основного определения производной и его обоснование (ответ на первый вопрос):
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.
Поэтому сегодня на уроке мы закрепим и систематизируем полученные знания, рассмотрим и оценим работу каждой группы и на примере некоторых задач покажем, как при помощи производной решать другие задачи и нестандартные задачи с применением производной.
III. Объяснение нового материала
1. Мгновенная мощность есть производная работы по времени:
W = lim ΔA/Δt ΔA – изменение работы.
2. Если тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция времени t
Тогда угловая скорость равна:
W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δt → 0
3. Сила тока есть производная Ι = lim Δg/Δt = g′, где g – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника за время Δt.
4. Пусть ΔQ – количество теплоты, необходимое для изменения температуры за Δt времени, тогда lim ΔQ/Δt = Q′ = C – удельная теплоёмкость.
5. Задача о скорости течения химической реакции
m(t) – m(t0) – количество вещества, вступающее в реакцию от времени t0 до t
V= lim Δm/Δt = m Δt → 0
6. Пусть m – масса радиоактивного вещества. Скорость радиоактивного распада: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0
В дифференцированной форме закон радиоактивного распада имеет вид: dN/dt = – λN, где N – число ядер не распавшихся время t.
Интегрируя это выражение, получаем: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const при t = 0 число радиоактивных ядер N = N0 , отсюда имеем: ln N0 = const, следовательно
n N = – λt + ln N0.
Потенциируя это выражение получаем:
– закон радиоактивного распада, где N0 – число ядер в момент времени t0 = 0, N – число ядер, не распавшихся за время t.
7. Согласно уравнению теплообмена Ньютона скорость потока теплоты dQ/dt прямо пропорциональна площади окна S и разности температур ΔT между внутренним и внешним стёклами и обратно пропорциональна его толщине d:
dQ/dt =A S/d ΔT
8. Явлением Диффузии называется процесс установления равновесного распределения
Внутри фаз концентрации. Диффузия идёт в сторону, выравнивая концентрации.
m = D Δc/Δx c –
концентрация
m = D c׳x x –
координата, D –
коэффициент диффузии
9. Было известно, что электрическое поле возбуждает либо электрические заряды, либо магнитное поле, которое имеет единственный источник – электрический ток. Джеймс Кларк Максвелл ввёл одну поправку в открытые до него законы электромагнетизма: магнитное поле возникает также и при изменении электрического поля. Маленькая на первый взгляд поправка имела грандиозные последствия: появилась пусть пока и на кончике пера, совершенно новый физический объект – электромагнитная волна. Максвелл виртуозно владел, в отличии от Фарадея, которому казалось возможным её существование, вывел уравнение для электрического поля:
∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t
Изменение электрического поля вызывает появление магнитного поля в любой точке пространства, другими словами, скорость изменения электрического поля определяет величину магнитного поля. Под большим электрическим током – большее магнитное поле.
IV. Закрепление изученного
– Мы с вами изучали производную и её свойства. Хотелось бы прочитать философское высказывание Гильберта: «У каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечного малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит что это и есть его точка зрения.»
Давайте попробуем измерить точку зрения на применении производной!
Сюжет «Листик» (применение производной в биологии, физике, жизни)
Рассмотрим падение как неравномерное движение зависящее от времени.
Итак: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)
(Теоретический опрос: механический смысл производной).
1. Решение задач
Решите самостоятельно задачи.
2. F = ma F = mV′ F = mS″
Запишем II закон Портона, и учитывая механический смысл производной перепишем его в виде: F = mV′ F = mS″
Сюжет «Волки, Суслики»
Вернёмся к уравнениям: Рассмотрим дифференциальные уравнения показательного роста и убывания: F = ma F = mV’ F = mS»
Решение многих задач физики, технической биологии и социальных наук сводятся к задаче нахождения функций f"(x) = kf(x),
удовлетворяющих дифференциальному уравнению, где k = const
.
Формула Человека
Человек во столько раз больше атома, во сколько раз он меньше звезды:
Отсюда следует, что
Это и есть формула, определяющая место человека во вселенной. В соответствии с ней размеры человека представляют среднее пропорциональное звезды и атома.
Закончить урок хотелось бы словами Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».
V . Решение номеров из сборника:
Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач:
№ 1 Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением s = t^2 –11t + 30.
№ 2 Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t^2. В какой момент ее скорость окажется равной нулю?
№ 3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t^3 – t^2 – 27t, другое - по закону s = t^2 + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.
№ 4 Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t-16t^2, где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?
№5 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s = 2t^2+ 3t – 1. Найти кинетическую энергию тела (mv^2/2) через 3 секунды после начала движения.
Решение
: Найдем скорость движения тела в любой момент времени:
V = ds / dt = 4t + 3
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (м/с).
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (Дж).
№6 Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = Зt^2- 1.
№7
Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t^2 + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.
Решение
: Имеем s’ = 8t + 1, s» = 8. Следовательно, a(t) = 8 (м/с^2), т. е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с^2. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) – также постоянная величина.
№8 Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.
№9 Материальная точка движется по закону s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.
VI . Применение производной в математике:
Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.
Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.
Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.
1. Построить график и исследовать функцию:
Решение данной задачи:
Минутка релаксации
VII . Применение производной в физике:
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин.
№1 Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r 2 – b/r , где a и b - положительные постоянные, r - расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r) .
Решение данной задачи: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Используя связь между потенциальной энергией поля
U
и F
, тогда F = – dU/dr
, получим F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) =
0;
при этом r = r0
; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b
; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt)
2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Δp = (M – µ(t +
Δt))(u+
Δu) +
Δµtu – (M – µt)u = F
Δt
Слагаемое Δµtu
есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Δt.
Тогда:
Δp = M
Δu – µt
Δu –
Δµt
Δu = F
Δt
Разделим на Δt
и перейдем к пределу Δt
→ 0
(M – µt)du/dt = F
Или a1= du/dt= F/(M – µt)
Ответ: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)
VIII. Самостоятельная работа:
Найти производные функций:
Прямая у = 2х является касательной к функции: у = х 3 + 5х 2 + 9х + 3. Найдите абсциссу точки касания.
IX . Подведение итогов урока:
– Каким вопросам был посвящен урок?
– Чему научились на уроке?
– Какие теоретические факты обобщались на уроке?
– Какие рассмотренные задачи оказались наиболее сложными? Почему?
Список литературы:
- Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. – Минск: Высшая школа, 1982. – 272с.
- Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 160с.
- Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744с
- .Журнал «Потенциал» Ноябрь 2007 №11
- «Алгебра и начала анализа» 11 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
- «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин и др.
- «Математика» В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, 1991 год
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Физический смысл производной. Задачи!
Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
matematikalegko.ru
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009
Страница № 094.
Учебник:
OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):
Как следует из рассмотренных в начале данного пункта задач, справедливы следующие утверждения:
1. Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т. е. s = f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т. е. v(t) =
Этот факт выражает механический смысл производной.
2. Если в точке х 0 к графику функции у = f (jc) проведена касательная, то число f"(xо) есть тангенс угла а между этой касательной и положительным направлением оси Ох, т. е. /"(х 0) =
Tga. Этот угол называют углом наклона касательной.
Данный факт выражает геометрический смысл производной.
ПРИМЕР 3. Найдем тангенс угла наклона касательной к графику функции у = 0,5jc 2 — 2х + 4 в точке с абсциссой х = 0.
Найдем производную функции f(x) = 0,5jc 2 — 2х + 4 в любой точке х, используя равенство (2):
0,5 2 х - 2 = jc - 2.
Вычислим значение этой производной в точке х = 0:
Следовательно, tga = -2. График х функции у = /(jc) и касательная к ее графику в точке с абсциссой jc = 0 изображены на рисунке 95.
4.1 Пусть точка движется прямолинейно по закону s = t 2 . Найдите:
а) приращение времени Д£ на промежутке времени от t x = 1 до £ 2 - 2;
б) приращение пути As на промежутке времени от t x = 1 до t 2 = 2;
в) среднюю скорость на промежутке времени от t x = 1 до t 2 = 2.
4.2 В задании 4.1 найдите:
б) среднюю скорость на промежутке времени от t до t + At;
в) мгновенную скорость в момент времени t;
г) мгновенную скорость в момент времени t = 1.
4.3 Пусть точка движется прямолинейно по закону:
1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 — бt.
а) приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 464 с.: ил.
Точка движется прямолинейно по закону S = t 4 +2t (S - в метрах, t - в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с , а также ее истинное ускорение в момент t 3 = 6 с.
Решение.
1. Находим скорость движения точки как производную от пути S по времени t, т.е.
2. Подставляя вместо t его значения t 1 = 5 с и t 2 = 7 с, находим скорости:
V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2=1374 м/с.
3. Определяем приращение скорости ΔV за время Δt = 7 - 5 =2 с:
ΔV = V 2 - V 1 = 1374 - 502 = 872 м/с.
4. Таким образом, среднее ускорение точки будет равно
5. Для определения истинного значения ускорения точки берем производную скорости по времени:
6. Подставляя вместо t значение t 3 = 6 с, получим ускорение в этот момент времени
a ср =12-6 3 =432 м/с 2 .
Криволинейное движение. При криволинейном движении скорость точки изменяется по величине и направлению.
Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по какой-то криволинейной траектории, переместилась в положение М 1 (рис. 6).
Вектор приращения (изменения) скорости ΔV будет
Для нахождения вектора ΔV перенесем вектор V 1 , в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:
Вектор а ср параллелен вектору ΔV , так как от деления вектора на скалярную величину направление вектора не изменяется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора скорости к соответствующему промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю, т.е.
Такой предел называют векторной производной.
Таким образом, истинное ускорение точки при криволинейном движении равно векторной производной по скорости.
Из рис. 6 видно, что вектор ускорения при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Для удобства расчетов ускорение раскладывают на две составляющие к траектории движения: по касательной, называемое касательным (тангенциальным) ускорением а , и по нормали, называемое нор-мальным ускорением а n (рис. 7).
В этом случае полное ускорение будет равно
Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки или противоположно ей. Оно характеризует изменение величины скорости и соответственно определяется по формуле
Нормальное ускорение перпендикулярно к направлению скорости точки, а численное значение его определяется по формуле
где r - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Так как касательное и нормальные ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому величина полного ускорения определяется по формуле
а направление его
Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным.
Если , то вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.
Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.
Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
Рассмотрим задачи:
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Ответ: 3
Решить самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3
Решите самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.