Матрица парных коэффициентов корреляции. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

Задание 2

1. Построить матрицу парных коэффициентов корреляции. Проверить наличие мультиколлинеарности. Обосновать отбор факторов в модель.

2. Построить уравнение множественной регрессии в линейной форме с выбранными факторами.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

4. Построить уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Оценить качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R 2 . Оценить точность построенной модели.

5. Оценить прогноз объема выпуска продукции, если прогнозные значения факторов составляют 75% от их максимальных значений.

Условия задачи (Вариант 21)

По данным, представленным в таблице 1 (n =17), изучается зависимость объема выпуска продукции Y (млн. руб.) от следующих факторов (переменных):

X 1 – численность промышленно-производственного персонала, чел.

X 2 – среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.

X 3 – износ основных фондов, %

X 4 – электровооруженность, кВт×ч.

X 5 – техническая вооруженность одного рабочего, млн. руб.

X 6 – выработка товарной продукции на одного работающего, руб.

Таблица 1. Данные выпуска продукции

№	Y	X 1	X 2	X 3	X 4	X 5	X 6
				39,5	4,9	3,2
				46,4	60,5	20,4
				43,7	24,9	9,5
				35,7	50,4	34,7
				41,8	5,1	17,9
				49,8	35,9	12,1
				44,1	48,1	18,9
				48,1	69,5	12,2
				47,6	31,9	8,1
				58,6	139,4	29,7
				70,4	16,9	5,3
				37,5	17,8	5,6
				62,0	27,6	12,3
				34,4	13,9	3,2
				35,4	37,3	19,0
				40,8	55,3	19,3
				48,1	35,1	12,4

Построить матрицу парных коэффициентов корреляции. Проверить наличие мультиколлинеарности. Обосновать отбор факторов в модель

В таблице 2 представлена матрица коэффициентов парной корреляции для всех переменных, участвующих в рассмотрении. Матрица получена с помощью инструмента Корреляция из пакета Анализ данных в Excel.

Таблица 2. Матрица коэффициентов парной корреляции

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6
Y
X1	0,995634
X2	0,996949	0,994947
X3	-0,25446	-0,27074	-0,26264
X4	0,12291	0,07251	0,107572	0,248622
X5	0,222946	0,166919	0,219914	-0,07573	0,671386
X6	0,067685	-0,00273	0,041955	-0,28755	0,366382	0,600899

Визуальный анализ матрицы позволяет установить:

1) У имеет довольно высокие парные корреляции с переменными Х1, Х2 (>0,5) и низкие с переменными Х3,Х4,Х5,Х6 (<0,5);

2) Переменные анализа Х1, Х2 демонстрируют довольно высокие парные корреляции, что обуславливает необходимость проверки факторов на наличие между ними мультиколлинеарности. Тем более, что одним из условий классической регрессионной модели является предположение о независимости объясняющих переменных.

Для выявления мультиколлинеарности факторов выполним тест Фаррара-Глоубера по факторам Х1,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6 .

Проверка теста Фаррара-Глоубера на мультиколлинеарность факторов включает несколько этапов.

1) Проверка наличия мультиколлинеарности всего массива переменных .

Одним из условий классической регрессионной модели является предположение о независимости объясняющих переменных. Для выявления мультиколлинеарности между факторами вычисляется матрица межфакторных корреляций R с помощью Пакета анализа данных (таблица 3).

Таблица 3.Матрица межфакторных корреляций R

	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X1		0,994947	-0,27074	0,07251	0,166919	-0,00273
X2	0,994947		-0,26264	0,107572	0,219914	0,041955
X3	-0,27074	-0,26264		0,248622	-0,07573	-0,28755
X4	0,07251	0,107572	0,248622		0,671386	0,366382
X5	0,166919	0,219914	-0,07573	0,671386		0,600899
X6	-0,00273	0,041955	-0,28755	0,366382	0,600899

Между факторами Х1 и Х2, Х5 и Х4, Х6 и Х5 наблюдается сильная зависимость (>0,5).

Определитель det (R) = 0,001488 вычисляется с помощью функции МОПРЕД. Определитель матрицы R стремится к нулю, что позволяет сделать предположение об общей мультиколлинеарности факторов.

2) Проверка наличия мультиколлинеарности каждой переменной с другими переменными:

· Вычислим обратную матрицу R -1 с помощью функции Excel МОБР (таблица 4):

Таблица 4. Обратная матрица R -1

	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X1	150,1209	-149,95	3,415228	-1,70527	6,775768	4,236465
X2	-149,95	150,9583	-3,00988	1,591549	-7,10952	-3,91954
X3	3,415228	-3,00988	1,541199	-0,76909	0,325241	0,665121
X4	-1,70527	1,591549	-0,76909	2,218969	-1,4854	-0,213
X5	6,775768	-7,10952	0,325241	-1,4854	2,943718	-0,81434
X6	4,236465	-3,91954	0,665121	-0,213	-0,81434	1,934647

· Вычисление F-критериев , где – диагональные элементы матрицы , n=17, k = 6 (таблица 5).

Таблица 5. Значения F-критериев

F1 (Х1)	F2 (Х2)	F3 (Х3)	F4 (Х4)	F5 (Х5)	F6 (Х6)
89,29396	89,79536	0,324071	0,729921	1,163903	0,559669

· Фактические значения F-критериев сравниваются с табличным значением F табл = 3,21 (FРАСПОБР(0,05;6;10)) при n1= 6 и n2 = n - k – 1=17-6-1=10 степенях свободы и уровне значимости α=0,05, где k – количество факторов.

· Значения F-критериев для факторов Х1 и Х2 больше табличного, что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности между данными факторами. Меньше всего влияет на общую мультиколлинеарность факторов фактор Х3.

3) Проверка наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных

· Вычислим частные коэффициенты корреляции по формуле , где – элементы матрицы (таблица 6)

Таблица 6. Матрица коэффициентов частных корреляций

	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X1
X2	0,996086
X3	-0,22453	0,197329
X4	0,093432	-0,08696	0,415882
X5	-0,32232	0,337259	-0,1527	0,581191
X6	-0,24859	0,229354	-0,38519	0,102801	0,341239

· Вычисление t -критериев по формуле (таблица 7)

n - число данных = 17

K - число факторов = 6

Таблица 7.t-критерии для коэффициентов частной корреляции

	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X1
X2	35,6355
X3	-0,72862	0,636526
X4	0,296756	-0,27604	1,446126
X5	-1,07674	1,13288	-0,4886	2,258495
X6	-0,81158	0,745143	-1,31991	0,326817	1,147999

t табл = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) = 2,23

Фактические значения t-критериев сравниваются с табличным значением при степенях свободы n-k-1 = 17-6-1=10 и уровне значимости α=0,05;

t21 > tтабл

t54 > tтабл

Из таблиц 6 и 7 видно, что две пары факторов X1 и Х2, Х4 и Х5 имеют высокую статистически значимую частную корреляцию, то есть являются мультиколлинеарными. Для того чтобы избавиться от мультиколлинеарности, можно исключить одну из переменных коллинеарной пары. В паре Х1 и Х2 оставляем Х2, в паре Х4 и Х5 оставляем Х5.

Таким образом, в результате проверки теста Фаррара-Глоубера остаются факторы: Х2, Х3, Х5, Х6.

Завершая процедуры корреляционного анализа, целесообразно посмотреть частные корреляции выбранных факторов с результатом Y.

Построим матрицу парных коэффициентов корреляции, исходя из данных таблицы 8.

Таблица 8. Данные выпуска продукции с отобранными факторами Х2, Х3, Х5, Х6.

№ наблю-дения	Y	X 2	X 3	X 5	X 6
			39,5	3,2
			46,4	20,4
			43,7	9,5
			35,7	34,7
			41,8	17,9
			49,8	12,1
			44,1	18,9
			48,1	12,2
			47,6	8,1
			58,6	29,7
			70,4	5,3
			37,5	5,6
				12,3
			34,4	3,2
			35,4
			40,8	19,3
			48,1	12,4

В последнем столбце таблицы 9 представлены значения t-критерия для столбца У.

Таблица 9.Матрица коэффициентов частной корреляции с результатом Y

	Y	X2	X3	X5	X6	t критерий (t табл (0,05;11)= 2,200985
Y		0,996949	-0,25446	0,222946	0,067685
X2	0,996949		-0,26264	0,219914	0,041955	44,31676
X3	-0,25446	-0,26264		-0,07573	-0,28755	0,916144
X5	0,222946	0,219914	-0,07573		0,600899	-0,88721
X6	0,067685	0,041955	-0,28755	0,600899		1,645749

Из таблицы 9 видно, что переменная Y имеет высокую и одновременно статистически значимую частную корреляцию с фактором Х2.

Для определения степени зависимости между несколькими показателями применяется множественные коэффициенты корреляции. Их затем сводят в отдельную таблицу, которая имеет название корреляционной матрицы. Наименованиями строк и столбцов такой матрицы являются названия параметров, зависимость которых друг от друга устанавливается. На пересечении строк и столбцов располагаются соответствующие коэффициенты корреляции. Давайте выясним, как можно провести подобный расчет с помощью инструментов Excel.

Принято следующим образом определять уровень взаимосвязи между различными показателями, в зависимости от коэффициента корреляции:

0 – 0,3 – связь отсутствует;
0,3 – 0,5 – связь слабая;
0,5 – 0,7 – средняя связь;
0,7 – 0,9 – высокая;
0,9 – 1 – очень сильная.

Если корреляционный коэффициент отрицательный, то это значит, что связь параметров обратная.

Для того, чтобы составить корреляционную матрицу в Экселе, используется один инструмент, входящий в пакет «Анализ данных» . Он так и называется – «Корреляция» . Давайте узнаем, как с помощью него можно вычислить показатели множественной корреляции.

Этап 1: активация пакета анализа

Сразу нужно сказать, что по умолчанию пакет «Анализ данных» отключен. Поэтому, прежде чем приступить к процедуре непосредственного вычисления коэффициентов корреляции, нужно его активировать. К сожалению, далеко не каждый пользователь знает, как это делать. Поэтому мы остановимся на данном вопросе.

После указанного действия пакет инструментов «Анализ данных» будет активирован.

Этап 2: расчет коэффициента

Теперь можно переходить непосредственно к расчету множественного коэффициента корреляции. Давайте на примере представленной ниже таблицы показателей производительности труда, фондовооруженности и энерговооруженности на различных предприятиях рассчитаем множественный коэффициент корреляции указанных факторов.

Этап 3: анализ полученного результата

Теперь давайте разберемся, как понимать тот результат, который мы получили в процессе обработки данных инструментом «Корреляция» в программе Excel.

Как видим из таблицы, коэффициент корреляции фондовооруженности (Столбец 2 ) и энерговооруженности (Столбец 1 ) составляет 0,92, что соответствует очень сильной взаимосвязи. Между производительностью труда (Столбец 3 ) и энерговооруженностью (Столбец 1 ) данный показатель равен 0,72, что является высокой степенью зависимости. Коэффициент корреляции между производительностью труда (Столбец 3 ) и фондовооруженностью (Столбец 2 ) равен 0,88, что тоже соответствует высокой степени зависимости. Таким образом, можно сказать, что зависимость между всеми изучаемыми факторами прослеживается довольно сильная.

Как видим, пакет «Анализ данных» в Экселе представляет собой очень удобный и довольно легкий в обращении инструмент для определения множественного коэффициента корреляции. С его же помощью можно производить расчет и обычной корреляции между двумя факторами.

Коллинеарными являются факторы …

Решение:

Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . В нашей модели только коэффициент парной линейной регрессии между факторами и больше 0,7. , значит, факторы и коллинеарны.

4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и …

мультиколлинеарны

независимы

количественно измеримы

Решение:

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если факторы не коррелированы между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной. Поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю.
, поскольку = = и = = =0.
Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты парной корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):

Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются …

x (2) и x (3)

x (1) и x (3)

x (1) и x (4)

x (2) и x (4)

Решение:

При построении модели множественной регрессии необходимо исключить возможность существования тесной линейной зависимости между независимыми (объясняющими) переменными, которая ведет к проблеме мультиколлинеарности. При этом осуществляют проверку коэффициентов линейной корреляции для каждой пары независимых (объясняющих) переменных. Эти значения отражены в матрице парных коэффициентов линейной корреляции. Считается, что наличие значений коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными, превышающих по абсолютной величине 0,7, отражает тесную связь между этими переменными (теснота связи с переменной y в данном случае не рассматривается). Такие независимые переменные называются коллинеарными. Если значение коэффициента парной корреляции между объясняющими переменными не превышает по абсолютной величине 0,7, то такие объясняющие переменные не являются коллинеарными. Рассмотрим значения парных коэффициентов межфакторной корреляции: между x (1) и x (2) значение равно 0,45; между x (1) и x (3) – равно 0,82; между x (1) и x (4) – равно 0,94; между x (2) и x (3) – равно 0,3; между x (2) и x (4) – равно 0,7; между x (3) и x (4) – равно 0,12. Таким образом, не превышают 0,7 значения , , . Следовательно, коллинеарными не являются факторы x (1) и x (2) , x (2) и x (3) , x (3) и x (4) . Из последних перечисленных пар в вариантах ответов присутствует пара x (2) и x (3) – это верный вариант ответа. Для остальных пар: x (1 и x (3) , x (1) и x (4) , x (2) и x (4) – значения парных коэффициентов межфакторной корреляции превышают 0,7, и эти факторы являются коллинеарными.

Тема 3: Фиктивные переменные

1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:

Фиктивными переменными не являются …

стаж работы

производительность труда

уровень образования

уровень квалификации работника

Решение:

2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …

использовать фиктивную переменную – пол потребителя

разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола

использовать фиктивную переменную – уровень дохода

исключить из рассмотрения пол потребителя, так как данный фактор нельзя измерить количественным образом

Решение:

При построении регрессионной модели может возникнуть ситуация, когда необходимо включить в уравнение помимо количественных переменных переменные, отражающие некоторые атрибутивные признаки (пол, образование, регион и т.п.). Такого рода качественные переменные называются «фиктивными» (dummy) переменными. Они отражают неоднородность исследуемой статистической совокупности и используются для более качественного моделирования зависимостей в таких неоднородных объектах наблюдения. При моделировании отдельных зависимостей по неоднородным данным можно также воспользоваться способом разделения всей совокупности неоднородных данных на несколько отдельных совокупностей, количество которых равно количеству состояний dummy-переменной. Таким образом правильными вариантами ответов являются: «использовать фиктивную переменную – пол потребителя» и «разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола».

3. Изучается зависимость цены квартиры (у ) от ее жилой площади (х ) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где ,
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …

для типа дома кирпичный

для типа дома монолитный

для типа дома кирпичный

для типа дома монолитный

Решение:

Требуется узнать частное уравнение регрессии для кирпичного и монолитного домов. Для кирпичного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид: или для типа дома кирпичный.
Для монолитного дома значения фиктивных переменных следующие , . Уравнение примет вид
или для типа дома монолитный.

	y	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)	x (5)
y	1.00	0.43	0.37	0.40	0.58	0.33
x (1)	0.43	1.00	0.85	0.98	0.11	0.34
x (2)	0.37	0.85	1.00	0.88	0.03	0.46
x (3)	0.40	0.98	0.88	1.00	0.03	0.28
x (4)	0.58	0.11	0.03	0.03	1.00	0.57
x (5)	0.33	0.34	0.46	0.28	0.57	1.00

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().

В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x (1)) и числом орудий поверхностной обработки почвы .

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции и . Учитывая тесную взаимосвязь показателей x (1) , x (2) и x (3) , в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:

F набл = 121.

В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения .

Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации ; исправленная оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение -критерия F набл = 121.

Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблице F -распределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.

Из этого следует, что Q¹0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения q j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.

Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0: q j =0, где j =1,2,3,4,5, сравнивают критическое значение t kp = 2,14, найденное по таблице t -распределения при уровне значимости a=2Q =0,05 и числе степеней свободы n=14, с расчетным значением . Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x (4) , так как ½t 4 ½=2,90 > t kp =2,14.

Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.

Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение ½t 1 ½=0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:

Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости a=0,05 и числах степеней свободы n 1 =5 и n 2 =15 по таблице F -распределения, т.е. вектор q¹0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии при x (4) . Расчетные значения ½t j ½ для остальных коэффициентов меньше t кр = 2,131, найденного по таблице t -распределения при a=2Q =0,05 и n=15.

Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значение t 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:

(2.9)

В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключив x (5) получим уравнение регрессии:

(2.10)

Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.

Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.

Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайности y входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции с y , объясняемой переменной -r (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду с x (4) переменные x (1) или x (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).

Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.

По статистическим критериям наиболее адекватна модель (2.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2,26 и средней относительной ошибки аппроксимации и наибольшие значения и F набл = 273.

Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).

Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) и x (3) . Однако в моделях урожайностей переменная x (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменная x (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).

В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) , x (2) или x (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:

Уравнение значимо при a=0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, найденного по таблице F -распределения при a=Q =0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Значимы и все коэффициенты регрессии и в уравнении ½t j ½>t kp (a=2Q =0,05; n=17)=2,11. Коэффициент регрессии q 1 следует признать значимым (q 1 ¹0) из экономических соображений, при этом t 1 =2,09 лишь незначительно меньше t kp = 2,11.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.

Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 »0,068 и э 2 »0,161 показывает, что при увеличении показателей x (1) и x (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.

Множественный коэффициент детерминации свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x (1) и x (4)), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x (2) , x (3) , x (5) , погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации характеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии . При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации . Напомним, что - модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменных x (1) и x (4) зафиксированы на одном и том же уровне, а именно x (1) = x i (1) и x (4) = x i (4) . Тогда по значениям d i можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения d i >0, имеют урожайность выше среднего, а d i <0 - ниже среднего.

В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует d 7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с d 20 =-27,3%.

Задачи и упражнения

2.1. Из генеральной совокупности (y , x (1) , ..., x (p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s 2 , взята случайная выборка объемом n , и пусть (y i , x i (1) , ..., x i (p)) - результат i -го наблюдения (i =1, 2, ..., n ). Определить: а) математическое ожидание МНК-оценки вектора q ; б) ковариационную матрицу МНК-оценки вектора q ; в) математическое ожидание оценки .

2.2. По условию задачи 2.1 найти математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, т.е. EQ R , где

2.3. По условию задачи 2.1 определить математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных остаточной вариацией относительно линий регрессии, т.е. EQ ост, где

2.4. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q=0 статистика

имеет F-распределение с числами степеней свободы n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.

2.5. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q j =0 статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы n=n-p-1.

2.6. На основании данных (табл.2.3) о зависимости усушки кормового хлеба (y ) от продолжительности хранения (x ) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное.

Таблица 2.3.

Требуется: а) найти оценки и остаточной дисперсии s 2 в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу Н 0: q=0; в) с надежностью g=0,9 определить интервальные оценки параметров q 0 , q 1 ; г) с надежностью g=0,95 определить интервальную оценку условного математического ожидания при х 0 =6; д) определить при g=0,95 доверительный интервал предсказания в точке х =12.

2.7. На основании данных о динамике темпов прироста курса акций за 5 месяцев, приведенных в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

месяцы (x )
y (%)

и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,01 значимость коэффициента регрессии, т.е. гипотезы H 0: q 1 =0;

в) с надежностью g=0,95 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания при x 0 =4; д) определить при g=0,9 доверительный интервал предсказания в точке x =5.

2.8. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5.

Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H 0: q=0;

в) с надежностью g=0,8 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x 0 =3 и x 1 =6;

д) определить при g=0,98 доверительный интервал предсказания в точке x =8.

2.9. Себестоимость (y ) одного экземпляра книги в зависимости от тиража (x ) (тыс.экз.) характеризуется данными, собранными издательством (табл.2.6). Определить МНК-оценки и параметров уравнения регрессии гиперболического вида , с надежностью g=0,9 построить доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 , а также условного математического ожидания при x =10.

Таблица 2.6.

Определить оценки и параметров уравнения регрессии вида , проверить при a=0,05 гипотезу Н 0: q 1 =0 и построить с надежностью g=0,9 доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 и условного математического ожидания при x =20.

2.11. В табл. 2.8 представленные данные о темпах прироста (%) следующих макроэкономических показателей n =10 развитых стран мира за 1992г.: ВНП - x (1) , промышленного производства - x (2) , индекса цен - x (3) .

Таблица 2.8.

Страны

x и параметров уравнения регрессии, оценку остаточной дисперсии; б) проверить при a=0,05 значимость коэффициента регрессии, т.е. Н 0: q 1 =0; в) с надежностью g=0,9 найти интервальные оценки q 0 и q 1 ; г) найти при g=0,95 доверительный интервал для в точке х 0 =х i , где i =5; д) сравнить статистические характеристики уравнений регрессий: 1, 2 и 3.

2.12. Задачу 2.11 решить, приняв за объясняемую величину (у ) показатель x (1) , а за объясняющую (х ) переменную x (3) .

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. М., ЮНИТИ, 1998 (2-е издание 2001);

2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник. М. ЮНИТИ – ДАНА, 2001;

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., Финансы и статистика, 1985, 487с.;

4. Айвазян С.А., Бухштабер В. М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерностей. М., Финансы и статисика, 1989, 607с.;

5. Джонстон Дж. Эконометрические методы, М.: Статистика, 1980, 446с.;

6. Дубров А.В., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М., Финансы и статистика, 2000;

7. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей методами корреляции и регрессии. М., МЭСИ, 1995, 120с.;

8. Мхитарян В.С., Дубров А.М., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы в экономике. М., МЭСИ, 1995, 149с.;

9. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для бизнесменов и менеджеров. М., МЭСИ, 2000, 140с.;

10. Лукашин Ю.И. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования: Учебное пособие, М., МЭСИ, 1997.

11. Лукашин Ю.И. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. ‑ М., Статистика, 1979.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 . Варианты заданий для самостоятельных компьютерных исследований.

Коллинеарными являются факторы …

Решение: