Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка
Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра
Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара
(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.
Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица
Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим
Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно
Отсюда следует оценка погрешности
Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .
Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции
В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем
и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,
Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.
Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.
Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.
Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).
Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).
Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .
Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:
При n= 0,1,2,...,
а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .
Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение
эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.
Вопрос: Почему это действительно так?
Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.
В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.
Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.
Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.
Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.
Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.
Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .
В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:
· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,
· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,
· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),
хотя такое деление и несколько условно.
Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и
метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,
на котором мы сейчас остановимся.
Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:
В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)
Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим
Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).
Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.
Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.
Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.
Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.
Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .
Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.
Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].
Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.
Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим
118.01.2018Постановка задачи
Дифференциальные
уравнения
устанавливают связь между независимыми
переменными, искомыми функциями и их
производными. Если искомая функция
зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется
обыкновенным.Постановка задачи
Например, условие равновесия упругой среды
описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением:
dTx
Fx 0
dx
Tx – компонента механических
напряжений, F - действующая на
сплошную среду сила в расчёте на
единицу массы
Здесь искомая функция (механическое
напряжени) T(x) зависит от одной переменной
x (координата).
Постановка задачи
В том случае, если искомая функция зависит отнескольких переменных, дифференциальное уравнение
будет уравнением в частных производных.
Например, движение упругой среды можно описать
уравнением в частных производных:
2u x Tx
2
t
x
ux – смещение среды, ρ – плотность
среды, Tx – компонента напряжений
В этом уравнении функция u(t,x) зависит от времени
(t) и направления смещения среды (x).Постановка задачи
Обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или
несколько производных от искомой функции y = y(x):
F (x, y, y ,..., y (n)) 0 ,
где x – независимая переменная.
Наивысший порядок n, входящей в уравнение
производной, называется порядком дифференциального
уравнения.
Например:
F (x, y, y ") 0 уравнение первого порядка;
F (x, y, y " , y") 0 уравнение второго порядкаПостановка задачи
Из общей записи дифференциального уравнения
можно выразить производную в явном виде:
y " f (x, y),
y" f (x, y, y ")
Уравнение для производных имеет бесконечное
множество решений. Для получения единственного
решения необходимо указать дополнительные
условия, которым должны удовлетворять искомые
решения.Постановка задачи
В зависимости от вида таких условий
рассматривают три типа задач, для которых доказано
существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи с начальными
условиями.
Для
таких
задач
кроме
исходного
дифференциального уравнения в некоторой точке x0
должны быть заданы начальные условия, т.е.
значения функции y (x) и её производных: y (x0) =
y0
y" (x0) = y"0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .Постановка задачи
Второй тип задач – это, так называемые,
граничные, или краевые, в которых
дополнительные условия задаются в виде
функциональных
соотношений
между
искомыми решениями.
Третий тип задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений – это задачи на
собственные значения.Постановка задачи
Сформулируем задачу Коши.
Найти решение обыкновенного дифференциального
уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное
относительно производной
y " f (x, y),
удовлетворяющее начальному условию
y (x0) y0
10.
Постановка задачиНеобходимо найти на отрезке такую
непрерывную функцию
y = y(x), которая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
y " f (x, y), и начальному условию y (x0) y0
т.е.
найти
решение
дифференциального
уравнения. Нахождение такого решения называют
решением задачи Коши. Численное решение этой
задачи состоит в построении таблицы приближенных
значений y1,y2,...,yn решения уравнения y(x) в точках
x1,x2,...,xn с некоторым шагом h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.
11.
Обыкновенныедифференциальные уравнений
Уравнения в частных
производных
z z
dy
0
2(y 3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=y dx
2
y’=x
2
11
2
18.01.2018
12.
Уравнения первого порядкаdy
2(y 3)
dx
Уравнения второго порядка
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018
13.
Пример 1. Для дифференциального уравненияdy
2x
dx
y0 = 2 при х0 = 1
общее решение: у = х2 +
С
2 = 1 + С, то есть С = 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018
14.
Условие ЛипшицаR[ a ,b ] {| x x0 | a, | y y0 | b}
f (x, y) f (x, y) N y y
14
18.01.2018
15.
Методы приближенного решения дифференциальныхуравнений
Аналитические методы
Численные методы
Метод последовательных
приближений – метод
Пикара
Метод Эйлера и его
модификации
Метод интегрирования
дифференциальных
уравнений с помощью
степенных рядов
Метод Рунге-Кутта
Экстраполяционный метод
Адамса
15
18.01.2018
16.
18.01.201817.
Решить дифференциальное уравнениеу′=f(x, y) численным методом –
это значит для заданной
последовательности аргументов
х0, х1,…,хn и числа у0,
не определяя функцию у=F(x),
найти такие значения у1, y2, …, yn,
что yi=F(xi) и F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018
18.
Пусть дано дифференциальное уравнениепервого порядка
y’= f (x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
b a
h
n
шаг интегрирования
18.01.2018
19.
1918.01.2018
20.
xk 1xk 1
f (x, y) y" dx y(x)
xk
xk 1
xk
y (xk 1) y (xk) yk 1 yk
xk
то есть
yk 1 yk
xk 1
f (x, y)dx
xk
18.01.2018
21.
xk 1f (x, y)dx f (x , y) x
k
k
xk 1
xk
f (xk , yk)(xk 1 xk) y " h
xk
yk 1 yk y"k h
yk 1 yk y"k h
Обозначим
yk 1 yk yk
yk h y"k
yk 1 yk yk
18.01.2018
22.
yh
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018
23.
Погрешность методаhM
n
y (xn) y n
(1 hN) 1
2N
где
f (x1 , у1) f (x1 , y2) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018
24.
Пример 1. Решить у’=у-x с начальнымусловием х0=0, у0=1.5 на отрезке , h=0.25
Решение
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
"
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018
25.
Метод ЭйлераВвод x, y, h, b
Вывод x, y
y: y hf x, y
x: x h
+
x b
конец
18.01.2018
26.
Усовершенствованный метод Эйлераyn+1 = yn + h·/2
вернемся к разложению функции в ряд Тейлора
повышение точности расчета может быть достигнуто за счет сохранения
члена, содержащего h2. y (t0) можно аппроксимировать конечной разностью:
С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид
ошибка при этом имеет порядок h3
18.01.2018
27.
18.01.201828.
Задача. Пусть дано дифференциальноеуравнение первого порядка
y’= f(x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
Найти решение уравнения на отрезке
yi 1 yi yi
18.01.2018
29.
k1 hf (x, y)h
k1
k 2 hf (x , y)
2
2
h
k2
k3 hf (x , y)
2
2
k4 hf (x h, y k3)
18.01.2018
30.
1y (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
yi 1 yi yi
18.01.2018
31.
18.01.201832.
Погрешность метода Rn(h5)18.01.2018
33.
Пример 1. Решить дифференциальноеуравнение у′= у-x с начальным
условием х0=0, у(х0)=у0=1.5 методом
Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение
k1(0)=(y0-x0)h=1.5000*0.25=0.3750
k 2(0)
k1(0)
h
x0 h (1.5000 0.1875) 0.125 0.25 0.3906
y0
2
2
18.01.2018
34.
k3(0)k 2(0)
h
x0 h (1.5000 0.1953) 0.125 0.25 0.3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1.5000+0.3926)0.125]*0.25=0.4106
1
y0 (0.3750 2 * 0.3906 2 * 0.3926 0.4106)
6
=0,3920
y1=1.50000+0.3920=1.8920
18.01.2018
35.
18.01.201836.
18.01.201837.
Метод Рунге-Кутта при решении системдифференциальных уравнений
,
y " f (x, y , z)
z
"
g
x
,
y
,
z
18.01.2018
38.
1 (i)(i)
(i)
(i)
yi (k1 2k 2 2k3 k 4)
6
1 (i)
(i)
(i)
(i)
zi (l1 2l2 2l3 l4)
6
, где
18.01.2018
39.
(i)1
k
(i)
1
l
hf (xi , yi , zi)
hq(xi , yi , zi)
18.01.2018
40.
kl
(i)
2
(i)
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
(i)
1
(i)
1
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018
41.
k(i)
3
(i)
3
l
(i)
2
(i)
2
(i)
2
(i)
2
h
k
l
hf (xi , yi
, zi)
2
2
2
h
k
l
hq(xi , yi
, zi)
2
2
2
18.01.2018
42.
kl
,
(i)
4
(i)
4
(i)
3
k
h
(i)
hf (xi , yi
, zi l3)
2
2
(i)
3
k
h
(i)
hq(xi , yi
, z i l3)
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018
43.
Метод последовательных приближений43
18.01.2018
44.
Первое приближение:Второе приближение:
Третье приближение:
…
n-е приближение:
44
18.01.2018
45.
Теорема. Пусть в окрестности точки (х0; у0)функция f(х, у) непрерывна и имеет
ограниченную частную производную f’y (х, у).
Тогда в некотором интервале, содержащем
точку х0, последовательность { yi(x)}
сходится к функции у(х), служащей
решением дифференциального
уравнения у’ = f(х, у) и
удовлетворяющей условию у (х0) = у0
45
18.01.2018
46.
Оценка погрешности метода Пикараn 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
где М = mах |f(х, у)|
N = mах |f ’y(х, у)|
b
h min a,
M
46
18.01.2018
47. Метод Пикара последовательных приближений
Дифференциальное уравнение n-ого порядкаРассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка
y’ = f(x, y)
(1)
с начальными условиями
y(x0) = y0
(2).
Предполагается, что в некоторой окрестности точки
M0(x0, y0) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности решения.
48.
Будем строить искомое решение y = y(x) для значенийx x0 .
Случай x x0 аналогичен.
Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в
пределах от x0 до x, получим
x
y (x) y (x0) f (x, y)dx
x0
или в силу начального условия (2), будем иметь
x
y (x) y0 f (x, y)dx
x0
(3)
49.
Так как искомая функция y = y(x) находится подзнаком интеграла, то уравнение (3) является
интегральным.
Очевидно, решение интегрального уравнения (3)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и
начальному условию (2).
Для нахождения этого решения применим метод
последовательных приближений.
Заменяя в равенстве (3) неизвестную функцию y
данным значением y0, получим первое приближение
x
y1 y0 f (x, y0)dx
x0
50.
Далее подставив в равенстве (3) вместо неизвестнойфункции y найденную функцию y1, будем иметь второе
приближение
x
y2 y0 f (x, y1)dx
и т.д.
x0
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
x
yn y0 f (x, yn 1)dx
(n = 1, 2, …)
x0
Геометрически
последовательные
приближения
представляют собой кривые yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
проходящие через общую точку M0(x0, y0).
51.
y0
x0
x x+h
x
Замечание.
При
методе
последовательных
приближений в качестве начального приближения y0,
можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к
точному решению y.
Например, иногда выгодно в качестве y0 брать
конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.
52.
Заметим,что
при
пользовании
методом
последовательных приближений аналитичность правой
части дифференциального уравнения необязательна,
поэтому этот метод можно применять и в тех случаях,
когда
разложение
решения
дифференциального
уравнения в степенной ряд невозможно.
Пример 1. Методом последовательных приближений
найти приближенное решение дифференциального
уравнения
y’ = x – y,
Удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.
53.
Решение. В качествевозьмем y0(x) = 1. Так как
начального
приближения
x
y 1 (x y)dx
0
то будем иметь
x
x2
y1 1 (x 1)dx 1 x
2
0
Аналогично
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x
54.
Подобным же образом получим3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
и т.д.
55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)
Дана система дифференциальных уравненийdy
f (x, y)
dx
(4)
y(x0) y0
(5)
где
Записывая векторное уравнение (4) в интегральной
форме, будем иметь
56.
xy y0 f (x, y)dx
(6)
x0
где под интегралом от вектор-функции
понимается вектор
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n
57.
Последовательные приближенияопределяются по формуле
x
y
(p)
y 0 f (x, y
(p 1)
y (p) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Причем обычно полагают
y (0) y
Этот метод годится также для дифференциального
уравнения n-го порядка, если его записать в виде
системы.
58.
Пример 2. Построить несколько последовательныхприближений для решения системы
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
удовлетворяющего начальным условиям
y1(0) = 1; y2(0) = 0
59.
Решение. Имеем:x
y1 1 (x y1 y2)dx
0
x
y2 (x2 y12)dx
0
Отсюда, полагая
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
получаем
x
2
x
(1)
y1 1 (x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 (x 2 1)dx x
3
0
60.
x 2x 3
x 4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
и т.д.
61.
Окончание вычисленийn 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
61
18.01.2018
Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка
с начальным условием
y(х 0) = у 0 , (2)
где f(x) - некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1)-(2), называемой начальной задачей или задачей Коши, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [х 0 ,b] ее решения у=у(х).
Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение у=у(х, С) с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку (х 0 ;у 0), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений. Поэтому, как и в родственной для (1)-(2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:
1)приближенно-аналитические методы;
2)графические или машинно-графические методы;
3)численные методы.
К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближение решения у(х) сразу в виде некоторой «хорошей» функции φ (х). Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции у(х) отрезком ряда Тейлора, где тейлоровские коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцированием самого уравнения (1). Другим представителем этой группы методов является метод последовательных приближений, суть которого приведена чуть ниже.
Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения у(х) на промежутке в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Физическая или, возможно, точнее будет сказать, электротехническая интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов приближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа наблюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнения приводит к адекватному изменению поведения решений, что положено в основу специализированных аналоговых вычислительных машин (АВМ).
Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы человеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений y i искомого решения у(х) на некоторой сетке
значений аргумента х. Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получаемыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значения у(b), тогда точка b включается как конечная в систему расчетных точек х i , и все приближенные значения y i ≈y(x i), кроме последнего, участвуют лишь как промежуточные, т.е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь приближенное решение у(х) в любой точке х, то для этого к получаемой числовой таблице значений y i можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, рассмотренных ранее, например, интерполяцию или сплайн-интерполяцию. Возможны и другие использования численных данных о решении.
Коснемся одного приближенно-аналитического способа решения начальной задачи (1)-(2), в котором искомое решение у=у(х) в некоторой правой окрестности точки х 0 является пределом последовательности получаемых определенным образом функций у п (х).
Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от х 0 до х:
Отсюда, с учетом того, что одной из первообразных для у"(х) служит у(х), получаем
или, с использованием начального условия (2),
(3)
Таким образом, данное дифференциальное уравнение (1) с начальным условием (2) преобразовалось в интегральное уравнение (неизвестная функция здесь входит под знак интеграла).
Полученное интегральное уравнение (3) имеет вид задачи о неподвижной точке для оператора
Формально к этой задаче можно применить метод простых итераций
достаточно обстоятельно рассматривавшийся применительно к системам линейных и нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Беря в качестве начальной функции y 0 (х) заданную в (2) постоянную y 0 , по формуле (4) при п=0 находим первое приближение
Его подстановка в (4) при п=1 дает второе приближение
и т.д. Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый методом последовательных приближений или методом Пикара определяется формулой
(5)
где n=0,1, 2,... и у 0 (х)=y 0 .
Отметим две характеристики метода последовательных приближений Пикара, которые можно отнести к негативным. Во-первых, в силу известных проблем с эффективным нахождением первообразных, в чистом виде метод (5) редко реализуем. Во-вторых, как видно из вышеприведенного утверждения, этот метод следует считать локальным, пригодным для приближения решения в малой правой окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для доказательства существования и единственности решения задачи Коши, нежели для его практического нахождения.
Занятие № 17. Методы Эйлера.
Цель - ознакомить студентов с методами Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.