При изучении этой темы основными задачами учителя являются обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания, закрепить навыки устного сложения и вычитания, выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений. Сложения и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создает лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приемы вычислений сходны.
Подготовительную работу к изучению темы начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью прежде всего повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700,740 000 + 160 000 и т.п. Повторяют так же письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел. Полезно в устные упражнения включить задания на сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями вида: 6 сот. + 8 сот. = 1 тыс. 4 сот.; 1 сот. тыс. 5 дес. тыс. - 7 дес. тыс. = 15 дес. тыс. - 7 дес. тыс. = 8 дес. тыс. Такая подготовительная работа создает возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приемы сложения и вычитания многозначных чисел.
Далее случай сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание именованных чисел. Знакомясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные пояснения вычислений (называют разрядные единицы и выполняемые преобразования).
К 9 единицам прибавить 7 единиц, получиться 16 единиц, или 1 десяток и 6 единиц; 6 единиц записываем под единицами, а десяток прибавим к десяткам. К 9 десяткам прибавим 0 десятков, получиться 9 десятков, да еще 1 десяток - получиться 10 десятков, или 1 сотня, на месте десятков в сумме пишем 0, а 1 сотню прибавим к сотням.
0 сот. + 0 ст. = 0 сот., 0 сот. + 1 сот. = 1 сот. К 7 тысячам прибавим 6 тысяч, получиться 13 тысяч, или 1 десяток тысяч и 3 единицы тысячи. 3 единицы тысячи записываем, а 1 десяток тысяч прибавим к 4 десяткам тысяч получиться 5 десятков тысяч. Сумма 53 1906.
После того как дети освоят прием вычисления, переходят к сокращенным пояснениям решения: вслух и про себя. Покажем на этом же примере: 9 да 7 - шестнадцать, 6 пишем, 1 запоминаем; 9 да 0 - девять, да 1 - десять, 0 пишем, 1 запоминаем; 0 плюс 0 - нуль, да 1 - один (записываем) и т.д. Краткие пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычислений.
Некоторую трудность представляются случаи вычитания, когда уменьшаемое выражению разрядным числом. Последовательное раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего удобно проиллюстрировать на счетах (1000 можно представить как 9 сот., 9 дес., 10 ед.; 10 000 - как 9 тыс., 9 сот., 9 дес., 10 ед. и и т.д.). Полезно, кроме того, включить в устные упражнения решение с пояснением таких примеров: 1 дес. - 2 ед., 1 сот. - 5 дес., 1 тыс. - 7 сот. и т.п. Особое внимание следует уделить случаям вычитания, в которых последовательное раздробление единиц высшего разряда выполняется неоднократно, например: 100 100 - 205 708. Целесообразно подобные случаи сопоставить с предыдущими (100 00 - 4097 и 701 000 - 4097 и т.п.), а так же требовать пробного объяснения решения примеров.
Из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем 1 сотню (ставим точку над сотнями) и раздробляем сотню в десятки. В 1 сотне 10 десятков, берем из 10 десятков 1 десяток (запомним, что осталось 9 десятков). Раздробляем десяток в единицы, получаем 10 единиц. Из 10 единиц вычитаем 0 десятков, получается 9 десятков. Из нуля сотен не можем вычесть 7 сотен. Берем 1 сотню тысяч, раздробляем ее в десятки тысяч, получаем 10 десятков тысяч, из них берем 1 десяток тысяч и раздробляем его в единицы тысяч (запомним, что осталось 9 десятков тысяч) и т.д. Позднее дети кратно поясняют решение примеров на вычитание. Приведем сокращенное пояснение к рассмотренному примеру: берем 1 сотню, из 10 вычитаем 8, получиться 2; из 9 вычитаем нуль, получиться 9; берем 1 сотню тысяч, из 10 вычитаем 7, получиться 3; из 9 вычитаем 5, получиться 4; из 9 вычитаем 0, получиться 9; из 3 вычитаем 2, получиться 1; разность 194392.
Как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включить разнообразные упражнения. Следует как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания взаимосвязей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.
При изучении сложения и вычитания многозначных чисел важно уделить внимание устным приемам выполнения этих действий, иначе, овладев письменными приемами вычислений, дети начинают применять их как для письменных, так и для устных случаев. С этой целью необходимо при решении примеров предлагать учащимся самим выбирать примеры, которые они могут решить устно (с записью в строчку), и лишь наиболее трудные примеры решать с помощью письменных приемов (с записью в столбик). В устных упражнениях следует систематически закреплять приемы устного сложения и вычитания 2-3-значных чисел, а также многозначных с применением приемов перестановки и группировки при сложении нескольких чисел, с использованием там, где уместно, приема округления одного из компонентов сложения и вычитания. Вслед за изучение сложения и вычитания многозначных чисел приступают к сложению и вычитанию составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах, так как приемы этих вычислений сходны. Умение выполнять действия над именованными числами необходимо для решения задач. Действия над составными именованными числами можно выполнять по-разному: либо сразу складывать (вычитать) единицы одинаковых наименований, начиная с низших, попутно выполняя соответствующие преобразования, либо сначала преобразовать данные числа в простые именованные числа с одинаковыми наименованиями, выполнить действия над ними как над отвлеченными числами и выразить полученный результат в более крупных единицах измерения. И тот и другой прием показывают учащимися. Первый способ экономный в записи, хорошо иллюстрирует аналогию действий над отвлеченными и именованными числами, но несколько труден для детей. Использование его следует ограничить 2-3 упражнениями, цель которых - сопоставить приемы вычислений с отвлеченными и именованными числами:
- 12647 12m 647 кг 12 км 647 м 13086 13 км 086 м
- 5384 5m 384 кг 5 км 384 м 8265 8 км 265 м
- (10 сотен образуют 1 тысячу, которую прибавляем к тысячам, … 10 сотен килограммов образуют 1 тысячу килограммов, или 1 т, которую прибавляем к тоннам, и т.п.; … из 0 сотен 2 сотни не вычесть, берем 1 тысячу, 1 тысяча составляет 10 сотен, из 10 сотен вычитаем 2 сотни и аналогично; … занимаем 1 км, в 1 км - 1000 м или 10 сотен метров, из 10 сотен метров вычитаем 2 сотни метров). Как видно, здесь приходится детям оперировать числами вида 10 сотен килограммов, 10 сотен метров, 10 десятков копеек и т.п., которые имеют двойные наименования - единиц счёта и единиц измерения, что, безусловно, затрудняет их преобразования и действия над ними.
Второй способ вычислений над именованными числами гораздо проще, хотя и более громоздкий в записи - наиболее широко используется при решении примеров и задач. Чтобы сократить записи, преобразования именованных чисел можно выполнять устно и не записывать:
124 руб. - 78 руб. 50 коп. = 45 руб. 50 коп. 12400
Несколько позднее (в конце второго полугодия III класса) изучается сложение и вычитание именованных чисел, выраженных в мерах времени. Эти вычисления гораздо сложнее, потому что единицы времени находятся в недесятичных соотношениях. На это специально обращают внимание детей, предлагая им сравнить решение примеров (т.е. найти сходное и различное в приемах вычислений):
- 13 м 54 см 13 ч 54 мин 12 м 34 см 12 ч 34 мин
- 6 м 46 см 6 ч 46 мин 8 м 56 см 8 ч 56 мин
Сложение и вычитание составных именованных чисел, выраженных в единицах времени, целесообразно выполнять, не производя замены их простыми именованными числами, например:
- 12 лет 10 мес.
- 5 лет 11 мес.
- 6 лет 11 мес.
Из 10 мес. Не вычесть 11 мес., берем 1 год и выражаем его в месяцах - 12 месяцев. 12 мес. да 10 мес. - это 22 мес. Из 22 мес. вычтем 11 мес., получим 11 мес., из 11 лет вычтем 5 лет, получим 6 лет.
Упражнения на сложение и вычитание именованных чисел, выраженных в единицах времени, с небольшими числами надо выполнять устно без записи вычислений столбиком.
В процессе изучения сложения и вычитания многозначных чисел повторяют и закрепляют знания о действиях: названия компонентов и результатов действий, свойства, нахождение неизвестных компонентов, рассматривается вопрос об изменении суммы и разности при измерении одного из компонентов.
М.А. Бантова выделяет следующие ошибки учащихся при сложении и вычитании многозначных чисел:
1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров в столбик при письменном сложении и вычитании.
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».
2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании - единиц, которые занимали.
Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя - не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением.
Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К десяти прибавить 5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 - четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем; 2 да 5 - 7, 7 умножить на 6, получится 42» и т.д.
3. Ошибки в устных приёмах сложения и вычитания чисел больших ста (540±300, 1600±700 и т.п.) те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.
Литература: Б.Б. с.132-134
При изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» основными задачами учителя являются:
· обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания,
· выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.
Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создаёт лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приёмы вычислений сходны.
С арифметическими действиями сложения, вычитания, а также с некоторыми устными и письменными приемами их выполнения в концентре «Тысяча», учащиеся уже хорошо знакомы. Поэтому при изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» целесообразно активно опираться на знания детей, увеличив объём и усилив самостоятельное выполнение заданий.
Подготовительную работу к изучению темы начинают ещё при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью, прежде всего, повторяют устные приёмы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 т.п. Повторяют также письменные приёмы сложения и вычитания трёхзначных чисел. Полезно в устные упражнения на сложение и вычитание разрядных чисел включить примеры с пояснением вида:
6 сот.+8 сот.=14 сот.=1 тыс. 4 сот.;
1 сот. тыс. 5 дес. тыс. – 7 дес. тыс.=15 дес. тыс. -7 дес. тыс.= 8 дес. тыс.
Также полезно повторить и обобщить ранее свойства сложения (переместительное и сочетательное) с иллюстрацией различных случаев их практического применения для рационализации вычислений. Интересно в этом отношении упражнение, в котором предлагается вычислить сумму нескольких слагаемых разными способами и сравнить эти способы вычислений: 11+2+8+9+10, 11+2+(8+9)+10, 11+(2+8)+9+10, (11+9)+(2+8)+10. Это задание направлено на отработку умений практически применять изученные свойства сложения, распространенные на два и более слагаемых. При выполнении этого упражнения учитель обращает внимание учащихся на то, что использование свойств сложения помогает заметно упростить вычисления, просит детей провести сравнение предложенных способов вычислений, выбрать самый рациональный и обосновать свой выбор. Чтобы выработать у учащихся навык практического использования этих свойств сложения, в дальнейшем в устный счёт целесообразно включить аналогичные примеры с тем, чтобы дети чаще тренировались в их использовании для упрощения вычислений с учётом конкретных особенностей примера. Если пример содержит более трёх слагаемых, его нужно записать на доске.
Такая подготовительная работа создаёт возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приёмы сложение и вычитание многозначных чисел.
При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:
752 4752 54752 _837 _6837 _76837 _376837
+246 +3246+43246425242552425152425
После решения таких примеров учащиеся сами сделают вывод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же как и трёхзначных чисел.
Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание величин.
При изучении темы «Сложение и вычитание» проводиться повторение уже известных учащимся случаев сложения и вычитания с нулём: b+0=b, d – 0 = d, 0+с = с, b – b =0, которые включаются сразу же в примеры на письменные вычисления с многозначным числами.
При изучении названной темы перед учителем стоит задача распространить уже знакомые алгоритмы письменного сложения и вычитания на действия с числами больше тысячи, но в пределах миллиона. Эта задача не так сложна при изучении сложения. Уже на первом уроке можно рассмотреть сложение многозначных чисел, как без перехода, так и с переходом через разряд, предварительно повторив алгоритм письменного сложения чисел в пределах 1000, таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20.
Значительно усложняется задача рассмотрения письменных алгоритмов при переходе к вычитанию. Особое внимание следует обратить на новые для учащихся случаи вычитания, чтобы суметь предупредить часто возникающие ошибки. Как показывают наблюдения на уроках и анализ проверочных работ, общий алгоритм вычитания учащиеся усваивают неплохо, а вот его частные случаи, когда в записи уменьшаемого содержаться нули, усваиваются плохо и впоследствии допускают большое число ошибок. Причина таких ошибок в неумении заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда. Именно на этом необходимо обратить внимание при переходе к рассмотрению этого случая вычитания.
Прежде чем приступить к разъяснению алгоритма вычитания, когда в записи уменьшаемого имеется несколько нулей подряд, целесообразно вспомнить особенности десятичной системы счисления, соотношение между разрядными единицами, предложив учащимся, например, заполнить пропуски в следующих предложениях:
в 1 миллионе 10 сот. тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. и 10 дес.тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. и 10 тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. и 10 сот.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. 10 дес.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. … дес. и 10 ед.
Очень полезны в качестве подготовительных и примеры такого вида:
400 _ 300 _6000 _5000
8237 36
при решении которых необходимо подробно рассмотреть процесс занимания и замены взятой единицы высшего разряда 10 единицами среднего низшего разряда.
Объяснение нового для учащихся случая можно провести так:
Начинаем вычитание с единиц, но из 0 нельзя вычесть 2. в разряде десятков числа 4700 стоит нуль. Значит, придётся взять («развязать» - можно показать на счётных палочках, которые завязаны в пучки по 10 и 10 таких пучков завязаны в сотню) 1 сотню. Учитель показывает одну сотню палочек: «Сколько это десятков? (10 десятков.) Берём 1 десяток. Сколько же десятков из взятой нами сотни останется в разделе десятков? (9 десятков.) Запомним. Мы взяли одну сотню из 7. Чтобы не забыть об этом, поставим точку над цифрой 7 точку. Взятую сотню мы заменили десятками. В 1 сотне 10 десятков. Из этих 10 десятков (9+1) мы взяли один десяток и перенесли в разряд единиц. 1 десяток содержит 10 единиц. Тогда в разряде десятков останется 9 десятков. (При первом объяснении над нулём в разряде десятков можно записать цифру 9, а в дальнейшем делать это лишь тогда, когда ученик обнаружит непонимание этого момента.) Теперь из десятка, который мы взяли (10 единиц), вычтем число 2 (10-2 = 8), запишем 8 единиц под единицами; из 9 десятков вычтем 3 десятка, получим 6 десятков, записываем в разряде десятков. Точка над цифрой 7 показывает, что 1 сотня была взята, следовательно, осталось 6 сотен. Запишем 6 в разряд сотен и 4 в разряде тысяч ».
Дальнейшее расширение знаний письменных вычислений связано с рассмотрением приёмов письменного сложения трёх и большего числа слагаемых. Перед введением этих приёмов полезно вспомнить, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.
Учитель объясняет, что при письменном сложении нескольких слагаемых, подписывают каждое слагаемое одно под другим: единицы под единицами, десятке под десятками и т.д. и складывают числа поразрядно. Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких слагаемых, например: 3408+237.569+18.440 ? Пример записывается на доске. Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых:
и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое:
+ 18440
На вопрос учителя: «Как находили сумму двух слагаемых?» - дети объясняют: «Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д., и складывали сначала единицы, потом десятки, потом сотни и т.д. по разрядам». Здесь следует задать вопрос, почему этот способ можно использовать при сложении трёх и более слагаемых. Далее учитель спрашивает: «Какое из трёх слагаемых удобно записать первым? Вторым? Третьим?» На доске появляется запись:
Учитель обращает внимание детей на то, что при такой записи знак «+» пишется только один раз. Вызванный к доске ученик с подробным объяснением выполняет сложение. Полученный ответ полезно сравнить с результатом вычислений при решении примера первым способом и сделать вывод.
Чтобы убедиться, овладели учащиеся умениями письменно овладевать несколько слагаемых, можно предложить им самостоятельно сложить четыре слагаемых.
В процессе изучения темы повторяются и обобщаются знание детей о взаимности между компонентами и результатом каждого из действий: сложения и вычитания. Желательно, чтобы дети сами вспомнили, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое, и т.п.
Для закрепления, как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включать разнообразные упражнения. Следует, как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания связей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.
Составить тематическую проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел», подобрать (составить) задания на все приемы.
Похожая информация.
Способы устных вычислений
Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел изучаются в 4 классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:
1. Нумерационные случаи
а) Случаи вида:
99 999 + 1 345 000 - 1 560 999 + 1
560 000 - 1 399 999 + 1 40 000 - 1
При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: добавление к числу единицы дает число, следующее по счету; вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.
Например: 399 999 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 999 число 400 000, значит 399 999 + 1 =400 000.
б) Случаи вида:
30 000 + 1 000 650 999 - 900 600 000 + 5
60 345 - 5 345 000 - 45 000 800 700 + 1 000
При выполнении вычислений данного вида ребенок должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.
650 999 - 900 - 650 099
2. Сложение и вычитание целых тысяч
Сложение и вычитание вида 32 000 + 2 000, 690 000 - 50 000 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в объеме многозначных чисел.
Для освоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав многозначного числа. Рассматривая 32 000 как 32 тыс. и 2 000 как 2 тыс., прием 32 000 + 2 000 вычисляется, как 32 тыс. + 2 тыс. Ответ 34 тыс. затем рассматривается, как 34 000 и записывается результат вычислений. Таким образом, действия целыми тысячами рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10, 20 пли 100.
3. Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий
Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто используют их на устном счете.
К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99, 3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.
При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.
Например:
Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.
При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.
В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.
Способы письменных вычислений (в столбик)
Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.
Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.
При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:
1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.
2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).
Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.
Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.
Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:
600 - 25; 1 000 - 124; 30 007 - 648.
Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной пояснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.
Например:
30 007 Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. 648 Пробую занять единицу в соседнем разряде.
В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.
«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.
Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы. Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.
Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.
От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 - в разряде десятков тысяч.
При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.
Многие дети используют калькуляторы как при выполнении вычислений с многозначными числами, так и при проверке результатов. В старших классах не возбраняется использовать калькуляторы при необходимости выполнить громоздкие вычисления (на уроках физики, химии, геометрии).
Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.
Лекция 10. Умножение
1. Смысл действия умножения.
2. Табличное умножение.
3. Приемы запоминания таблицы умножения.
Смысл действия умножения
Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.
По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся по следующим правилам:
а b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1
b слагаемых
а 1 = а, при b = 1
а 0 = 0, при b = 0
Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых.
Запись вида 2-4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8».
Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.
С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.
Виды заданий, которые предлагаются детям до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):
1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).
2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.
3. Найди лишнюю запись:
Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.
4. Сделай запись выражения по рисунку:
Виды заданий, используемых для усвоения ребенком смысла умножения при знакомстве с этим действием:
а) На соотнесение рисунка и математической записи:
Рассмотри рисунок и объясни записи:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10и2.5 = 10 5 + 5= 10и5-2= 10
4 + 4 + 4 = 12 4-3=12
б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых: Рассмотри рисунки и закончи записи:
в) На замену сложения умножением:
Замени, где возможно сложение умножением и вычисли результаты:
5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3
42 + 42 0 + 0+0 + 0 + 0 4 + 6 + 8
г) На понимание смысла определения действия умножения:
Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6-4 = 24 9-3 = ...
6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 =...
Выражение вида 3 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями).
Запись вида 3 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.
Например:
Найдите произведение чисел 4 и 6. (Произведение чисел 4 и 6 - это 24.)
Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.
Например:
1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):
2-2 7-3 6-2 1.6 3-5 3-2 7-3 3-4 3-1
2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.
3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.
7-3 6-1 2-2 2-3 6-2 3-2 2-6
4. Как называют число 4 в выражении 5 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.
5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.
В третьем классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений:
Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.
Например:
Решите уравнение 6 * х = 24. (В уравнении неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. х= 24:6, х = 4.)
Однако, данное правило в учебнике математики 3 класса не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике намного позже - после знакомства с вне-табличным умножением и делением (знакомства с умножением и делением двузначных чисел на однозначные, не входящим в таблицу умножения и деления). Это объясняется тем, что правило взаимосвязи компонентов умножения является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается, что табличные случаи умножения ребенок к этому времени знает наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро восстанавливать (вспоминать) нужное третье число по двум данным.
Например:
9-2 = ... 5-4 = ... 1*7 = ...
18:2 = ... 20:4 = ... 7:7 = ...
При выполнении устного внетабличного умножения, требующего применения достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях.
Правило проверки действия умножения:
1) Произведение делят на множитель.
2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.
Например: 18 4 = 72. Проверка: 1) 72: 4 = 18; 2) 18 = 18.
Табличное умножение
Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.
К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).
Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.
Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения (см. предыдущий пункт). Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.
Например:
Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.
При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:
Вычисли и запомни: 2-6 = 2.5 + 2 = ... 2-7 = 2.6 + 2 =... 2-8 = 2.7 + 2 2.9 = 2-8 + 2 =...
В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2-7ит.п.
Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.
Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.
Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:
От перестановки множителей произведение не меняется.
Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.
Например:
Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.
На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.
Например:
Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:
2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =
На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:
3-4 = 12 3-7 = 21 4-3 = ... 7-3=...
3-5= 15 3-8 = 24 5-3 = ... 8-3 = ...
3-6 = 18 3-9 = 27 6-3=... 9-3 = ...
Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. На самом деле, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 2 или 8 3 дети снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3 + 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида □ + 4, □ - 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.
При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5-5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:
5-6 = 5- 5 + 5 = 30 5-7 = 5-6 + 5 = 35 5-8 = 5-7 + 5 = 40 5-9 = 5- 8 + 5 = 45
Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.
Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 6; 6 7; 6-8; 6-9.
Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 6; 8 6; 9 6.
Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 7; 7 8; 7 9.
Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 7; 9 7.
Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 8; 8 9.
Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 8.
Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 9.
Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения.
Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 9 , а 9 8 , 9 7 и т. п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).
Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки - все это делает тему изучения табличного умножения в начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.
Сложение и вычитание многозначных чисел
Цель:
совершенствовать умение выполнять письменное сложение и вычитание многозначных чисел;
умение учащихся решать задачи разных видов;
развивать внимание, память, воображение, смекалку;
воспитывать любознательность, желание узнать сведения о профессиях;
прививать трудолюбие, аккуратность.
Ход урока:
I. Организационная часть
Приветствие
Здравствуйте, ребята. Сейчас у нас урок математики
Свой урок мы начинаем,
Девиз и тему прочитаем.
II. Мотивация учебной деятельности.
Девиз нашего урока:
Что одному не под силу – легко коллективу.
Объясните,как вы понимаете это высказывание
III. Сообщение темы и цели урока
Сегодня у нас необычный урок на тему: «Сложение и вычитание многозначных чисел. Решение задач. Геометрический материал» , на котором мы закрепим умения :
Решать задачи разных видов;
Находить периметр треугольника
(Запись даты учащимися)
А урок наш посвящён профессии. Какой, вы угадаете, разгадав ребус.( Строитель)
Как вы считаете, чем занимаются люди, которые работают строителями?
И мы сегодня с вами будем осваивать эту профессию. А поможет нам в этом знание математики.
Прежде чем приступить к строительству дома, нужно подготовить площадку – убрать камни. Это мы сможем сделать выполнив:
Математический диктант , ответы которого вы будете записывать в тетрадь.
первый множитель – 420, второй множитель – 100. Чему равно произведение? (42000) -й
Какое число меньше 7200 на 100?(7100)- м
Увеличьте 920 на 80. (1000) - у
Найдите разность чисел 456 и 200. (256) -д
Запишите наибольшее четырёхзначное число. (9999) - а
Работа в парах. Взаимопроверка.
Обменяйтесь тетрадями и сверьте ответы с доской. Правильные ответы, отметив знаком «+», а неправильные – «-».
Ребята, поднимите руки, кто решил все задания правильно.
У кого одна ошибка?(две, три)
У кого больше ошибок?
Ребята, вам нужно больше тренироваться устно решать примеры!
Остался ещё один огромный камень . Чтобы его убрать, нужно расположить эти ответы в порядке возрастания и расшифровать слово. (думай)
Закладка фундамента
Пока мы убирали площадку для дома, бетонщики готовились к закладке фундамента. Для этого им пришлось потрудиться над решением задания № страница.
Откройте учебники и посмотрите на эти «кирпичи»– компоненты действий сложения и вычитания. А как они называются?
Как найти неизвестное слагаемое?
А неизвестное вычитаемое?
И сейчас мы выполним задание, применив эти правила.
Запишите слово примеры №121
1 вариант 2 вариант
4600+3300=7900 6200 + 3370 = 9570
8600 – 5100 = 3500 9740 – 2540 = 1200
29 135 – 1030 = 28 105 40 298 – 10 120 = 30 178
Ошибок нет. Молодцы! Фундамент заложен.
Подготовка раствора для кирпичей.
А теперь подготовим раствор для кирпичей! Для этого нужно разложить числа на сумму разрядных слагаемых.(5221, 80 665, 78 600)
Как правильно записать пример при письменном сложении и вычитании? (нужно подписывать разряд под разрядом )
С какого разряда мы начинаем выполнять действие?
( сложение чисел 5221 + 1532 )
Точно так выполняем вычитание!
Работа по учебнику(по рядам) с.54 №118
1 ряд 2 ряд 3 ряд
45 029 + 1231 =46 260 8765- 3514 = 5251 609 946 -1946 = 608000
Молодцы!
Подготовка кирпичей для строительства дома.
А теперь подготовим кирпичи для строительства дома. У вас на партах лежат листочки коричневого цвета прямоугольной формы – это «кирпичи». На них записаны примеры на сложение и вычитание. За 5 минут вам нужно решить как можно больше примеров.
1 вариант 2 вариант
3420 + 2130 = 5550 8405 + 1321 = 9726
33 007 + 3050 = 36 057 28 095+5104=33 199
9770 – 5450 = 4320 6000 – 4022 = 1978
38 502 – 2880 = 35 622 40 965 – 3651 = 37314
Самопроверка (сверить с доской, кто решил все примеры без единой ошибки и кто решил с ошибками тому перерешать эти примеры дома)
Задание выполнено.И стены дома возведены.
Пришло время немножко вам размяться. Ну – ка, проверим, как вы дружно умеете делать, то что я показываю.
Физминутка («Что манит птицу?»)
Строительство крыши
А теперь нужна крыша. Мы – кровельщики. Чтобы крыша не протекла, необходимо решить задачи. Возьмите, пожалуйста, листы, которые лежат у вас на партах и рассмотрите задачи, они разноуровневые: первая задача высокого уровня, вторая – достаточного, а третья – среднего уровня.
Составьте условие задачи по краткой записи. Начнём с третьего задания.
Высокий уровень – 11 баллов
Решить задачу:
I день – 400 кирпичей
II день - ?, на 108 кирпичей больше
III день - ?
Всего 1200 кирпичей.
Достаточный уровень – 9 баллов
Решить задачу уравнением:
Привезли -2340 кирпичей
Использовали - х кирпичей
Осталось - ?
Средний уровень – 6 баллов
Решить задачу выражением:
2010 год – 108 домов
2011 год – 94 дома
2012 год – 90 домов
Сколько всего?
( учащиеся составляют условие )
Работа над задачами
Что известно в задаче?
Что нужно узнать?
Сможем ли мы ответить сразу на вопрос задачи?(к первой )
Выберите такую задачу, которую вы решили бы легко и быстро. Определились?
Поднимите руку, кто выбрал первую задачу, (вторую, третью).
( Вызываю трёх учащихся к доске).
Проверка:
Сверьте свое решение задачи с решением ученика, отвечающего возле доски. Согласны ли вы с ним?
А что необычного вы заметили в этих задачах? (одинаковый ответ )
Молодцы, ребята! С заданием справились, крыша готова!
Постановка оконных рам и дверей
Теперь нам нужно поставить оконные рамы и двери. Мы – плотники. Для этого нужно преодолеть ещё одно препятствие – решить задание № страница.
Чтение задания.
Измерьте длины сторон треугольника.
Переведите их в миллиметры.
Найдите сумму длин сторон треугольника. Что мы сейчас с вами нашли? (периметр )
На сколько миллиметров длина сторон АВ меньше суммы сторон ВС и АС. Запишите выражением.
Молодцы, ребята! С заданием справились!
И вот какой у нас получился дом !
Резерв «Затопи печь»
А сейчас мы выполним занимательное задание и затопим печь. Я прочитаю условие задач, а вы должны быстро ответить.
1. Рабочий день у строителей закончился в 5 часов дня. Обеденный перерыв был 4 часа назад. В котором часу был перерыв?
2. Сколько времени длятся сутки?
3.Когда сутки короче: зимой или летом?
Мы затопили печь И теперь мы можем сделать вывод:
Мы строили, строили!
И, наконец, построили!
Подведение итогов урока
Много труда вложили строители, но не зря – дом получился красивый. А все это потому, что вы работали дружно. Но в строительстве дома принимали участие не только строители, а и бетонщики, кровельщики, плотники. Без их помощи мы бы не построили такой дом. Поэтому можем сделать вывод:
Все работы хороши,
Все работы так важны
А что мы закрепили на уроке?
Домашнее задание
А теперь можно заселять жильцов. Для этого нужно подобрать ключ к дому. В этом вам поможет ключевое задание, которое вы выполните дома: страница 54 №120 - решить примеры, страница
– решить задачу.
Спасибо, дети, за урок. С вами было приятно работать. Урок окончен. До свидания!
Тип урока: ОНЗ
Основные цели:
- сформировать способность к выполнению сложения и вычитания многозначных чисел в столбик;
- повторить устную и письменную нумерацию и сравнение многозначных чисел, соотношение между разрядными единицами;
- тренировать вычислительные навыки (сложение и вычитание), навык составления буквенных выражений по тексту задач. Мыслительные операции необходимые на этапе проектирования: анализ, сравнение, аналогия, обобщение.
Демонстрационный материал:
- нумерационная таблица с названиями разрядов и классов и «карманами» для цифр
- опорная схема для чтения многозначного числа
- Карточки-памятки о правилах нумерации многозначных чисел
- опорные схемы письменного сложения и вычитания трёхзначных чисел
- опорные схемы письменного сложения и вычитания многозначных чисел:
а) без перехода через разряд
б) с переходом через разряд - алгоритм для сравнения многозначных чисел (Д–5, урок 19);
- таблички для этапов 1 и 8
- эталон для самопроверки на этапе 6: опорная схема письменного сложения и вычитания многозначных чисел Д–5.
- таблицы с буквенными выражениями к этапу 7:
Раздаточный материал:
1) индивидуальные карточки к этапу 2:
2) опорные схемы письменного сложения и вычитания многозначных чисел (памятки) - (см. Д–5 (а, б));
3) сигналы обратной связи: веселая и задумчивая «рожицы»: .
Ход урока
1. Самоопределение к учебной деятельности.
Цель:
- мотивировать учащихся к деятельности на уроке через блицопрос, отражающий личный опыт детей;
- определить содержательные рамки урока: продолжить работу над многозначными числами.
Организация учебного процесса на этапе 1.
На одной из створок доски с обратной стороны - запись:
Школа – это детская страна, где много света и тепла, где много счастья и добра.
(На мониторинге меняются слайды).
Здесь же нарисован рисунок, изображающий восхождение к вершине знаний (можно мелом на доске). На листках написаны темы предыдущих уроков.
Вы согласны? (Да и нет. Бывает трудно и грустно. И т.д.)
Как вы думаете, что надо сделать, чтобы учение было не в тягость, а в радость? (...)
А чтобы на каждом уроке подниматься к вершине радости, надо помнить, какие трудности уже преодолели. Скажите, что мы уже знаем и умеем?
Дети читают на картинке темы предыдущих уроков.
Вспомните, закончили мы изучение многозначных чисел? Почему вы так считаете?
(Пока нет, еще не изучали действий с числами, ...) Сегодня мы продолжим работу над многозначными числами.
2. Актуализация знаний и затруднение в индивидуальной деятельности.
Цель:
- актуализировать знания устной и письменной нумерации многозначных чисел, разрядного состава числа, соотношения между соседними разрядными единицами;
- тренировать устные приёмы сложения и вычитания, мыслительные операции анализ, сравнение, обобщение, аналогия;
- зафиксировать индивидуальное затруднение, возникшее при сложении и вычитании многозначных чисел (трудно быстро и правильно выполнить сложение и вычитание многозначных чисел).
Организация учебного процесса на этапе 2:
1) Чтение и запись многозначных чисел.
Запишите числа (под диктовку):
а) 5 млн 6 тыс. 72;
б) 2 млрд 34 млн 1;
в) 7 млрд 409 тыс.
Дети работают на индивидуальных карточках Р–1. Один ученик в это время выкладывает числа в нумерационной таблице Д–1 с названием разрядов и классов.
Учитель выставляет на доске опорную схему Д–2 для чтения многозначного числа и карточки Д-3. Вопросы для организации фронтального опроса:
Сколько единиц в разряде сотен тысяч в I числе? Во II числе? В III числе? (В I числе 0 сотен тысяч; во II числе - 0 сотен тысяч; в III числе - 4 сотни тысяч.)
На что похожа запись каждого класса многозначного числа? (На запись трехзначного числа.)
А чем отличается? (В каждом классе многозначного числа, кроме старшего, записываются все три цифры, а в трехзначных числах 0 впереди не пишется – получается двузначное или однозначное число.
Что обозначает цифра 0 в записи числа? (Единицы разряда, в котором стоит цифра 0, отсутствуют.)
Назовите отсутствующие разрядные единицы I числа. (Единицы отсутствуют в разрядах: сотен тысяч, десятков тысяч, сотен класса единиц.)
Сколько сотен в одной тысяче? (10 сотен.) Почему? (Каждая единица содержит 10 единиц младшего разряда.)
Сколько десятков тысяч в 1 сотне тысяч? (10 десятков тысяч.) Почему? (10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда.)
2) Учитель помещает на доску алгоритм сравнения многозначных чисел Д–6.
Что общего в записях? (Это задания на сравнение многозначных чисел.
Сравните числа, пользуясь алгоритмом.
Задание записано так же на доске. Ученик у доски вставляет нужные знаки и объясняет свой выбор:
- В числе 4308 единиц тысяч столько же, сколько в числе 4083, а сотен - больше (3 > 0), поэтому: 4308 > 4083.
- В числе 94 809 пять разрядных единиц, а в числе 9999 только четыре. Поэтому: 94 809 > 9999.
- В одной тысяче содержится 10 сотен, поэтому: 1 тыс. = 10 с.
3) Индивидуальное задание.
Задание выполняется самостоятельно на время - 1–2 минуты. Стоп! Положите ручки. Назовите ваши ответы. Учитель записывает возможные варианты ответов на доске.
В случае несовпадения ответов в первых двух примерах, дети проговаривают соответствующий вычислительный прием. Учитель выставляет на доске эталоны сложения и вычитания трехзначных чисел Д–4. В последних двух примерах дети либо вообще не успеют выполнить действия, либо в ответах будут большие разногласия.
Каким правилом или алгоритмом воспользуетесь, чтобы определить, кто прав. (Такого правила у нас нет.)
3. Постановка проблемы.
Цель:
- выявить и зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: устные вычисления с многозначными числами затруднительны;
- согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
- Какое правило здесь нужно? (Правило сложения и вычитания натуральных чисел.)
- Так они же выставлены на доске! (Эти правила касаются только сложения и вычитания трехзначных чисел, а у нас - действия с многозначными числами.)
- Значит, какую цель нам надо поставить перед собой? (Научиться складывать и вычитать многозначные числа.)
- Назовите тему урока. (Сложение и вычитание многозначных чисел.)
- Учитель записывает (или открывает) тему урока: «Сложение и вычитание многозначных чисел».
4. Проектирование и фиксация нового знания.
Цель:
- вывести способ сложения и вычитания многозначных чисел в столбик на основе изученных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел;
- зафиксировать новый способ действий в речи и знаково.
Организация учебного процесса на этапе 4.
- В чем различия между трехзначными и многозначными числами? (Больше разрядных единиц.)
- Изменяется ли способ образования старшего разряда при увеличении количества разрядов? (Нет, 10 единиц любого разряда образуют 1 единицу следующего разряда.)
- Значит, как удобно записывать числа при письменном сложении и вычитании? (В столбик, разряд под разрядом.)
- Закончите опорные схемы сложения и вычитания в столбик для многозначных чисел:
- первый случай – общий, без перехода через разряд;
- второй – когда при сложении в некоторых разрядах получается число, большее 9 (на картинке эти разряды выделены цветом);
- третий – при вычитании не достает единиц какого-то разряда (данный разряд выделен точкой);
- четвертый – при вычитании в уменьшаемом единицы некоторых разрядов отсутствуют (в данных разрядах записаны нули). - Случаи сложения и вычитания можно обсудить с учащимися фронтально, а работу по составлению эталонов завершить в группах (каждой группе предлагается для обдумывания один из случаев, на работу отводится 1–2 мин). Затем варианты, предложенные группами, обсуждаются фронтально.
Варианты обоснований, представленные детьми, могут быть, например, такими:
- Вариант 1: При сложении и вычитании без перехода через разряд записываем числа одно под другим поразрядно и выполняем действия по порядку, начиная с низшего разряда.
- Вариант 2: Если при сложении в каком-либо разряде получается число большее 9, то в данном разряде суммы пишем количество единиц получившегося двузначного числа, а к следующему более крупному разряду прибавляем единицу.
- Вариант 3: При вычитании может не доставать единиц какого-то разряда. Тогда берем единицу более крупного разряда, дробим ее на 10 единиц низшего разряда и прибавляем их к имеющимся единицам. Не забываем, что у более крупного разряда единиц стало на 1 меньше.
- Вариант 4: Единицы некоторых разрядов отсутствуют. В этом случае тоже берем единицу более крупного разряда, дробим ее распределяем в низших разрядах – по 9, а в тот разряд, где выполняется вычитание – 10. При этом не забываем, что у более крупного разряда единиц стало на 1 меньше.
При необходимости задаются опорные вопросы, используется помощь класса. В ходе этого обсуждения учащиеся должны согласовать следующий вариант эталонов сложения и вычитания многозначных чисел:
В результате учащиеся должны сделать вывод о том, что приемы сложения и вычитания многозначных чисел аналогичны приемам сложения и вычитания трехзначных чисел: смысл действий остается тем же, но увеличивается количество разрядов.
В ходе всего урока опорные схемы сложения и вычитания многозначных чисел остаются на доске.
Теперь мы сможем решить те примеры, которые у нас не получились вначале?
Два ученика по вызову учителя комментируют решение примеров, вызвавших затруднение на этапе 2, используя опорные схемы. Проблема урока разрешена.
5. Первичное закрепление.
Цель: зафиксировать приемы письменного сложения и вычитания многозначных чисел во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5.
1) № 364 (1- верхнюю строчку), стр. 67– работа в парах.
Запишите ответы в примерах, комментируя свои действия в парах. Если встретятся ошибки в объяснении, сосед на них укажет. Каждый объясняет по одному примеру.
Проверим ответы: 634922, 298784
2) работа в парах.
Прочитайте задание. (Незнайка, Буратино и Винни-Пух решали пример 683 159 – 2304. Проверь их записи и решение, найди ошибки.)
Обсудите с соседом, как решали один и тот же пример сказочные персонажи. Кто из них решил правильно? Кто ошибся? В чем заключается ошибка? У себя в тетрадях запишите правильное решение. (2 мин.)
Расскажите о своих наблюдениях. (Правильного решения нет. Незнайка и Буратино ошиблись в записи чисел в столбик: Незнайка записал единицы под сотнями, а Буратино – под десятками. Правильного решения у них быть не может. Винни-Пух записал пример верно, но ошибся в вычислениях: он забыл, что из разряда единиц тысяч он перевел 1 тыс. в разряд сотен, и в разряде единиц тысяч осталось не 3 тыс., а 2 тыс. При вычислении получится: 2 тыс. – 2 тыс. = 0.)
Вы правильно указали ошибки сказочных героев. А какое решение записали вы?
Один ученик комментирует у доски:
6. Самоконтроль с самопроверкой по эталону.
Цель:
- тренировать способность к самоконтролю и самооценке;
- проверить свое умение использовать прием письменного сложения и вычитания многозначных чисел на основе сопоставления собственного решения и эталона.
Организация учебного процесса на этапе 6:
- Готовы теперь проверить свои силы? (Да.)
- Одна группа работает за компьютерами, другая на местах.
- Из первых двух столбиков выберите один пример на сложения и один – на вычитание. Обратите внимание на запись 1-го примера 2-го столбика.
- Какие правила записи в столбик надо помнить, чтобы избежать ошибок? (Числа записываются в столбик поразрядно, начиная с низшего разряда.)
- С какого разряда начинаем действие? (Тоже с низшего разряда.)
- На выполнение работы дается 2 минуты. Начинайте работу и пользуйтесь опорными схемами.
- Опорные схемы Д–5 учитель перемещает на отдельное место доски, все внимание учащихся фиксируется на них. Такие же схемы, но меньшего размера – у учащихся на партах (Р–2).
- Самопроверка - по эталону Д–8, расположенному на доске рядом с опорными схемами.
Обратите внимание на запись 1-го примера 2-го столбика. Что заметили? (Для удобства записи слагаемые поменяли местами.)
Рядом с каждым примером, где у вас получилось по-другому, поставьте знак «?». Выделите место расхождения красным карандашом. Где и в чем ошибка?
- Если пример решен правильно – поставьте знак «+». Кто выполнил правильно все действия? Молодцы!
- У кого возникли затруднения в записи столбиком? Над чем вам придется дополнительно поработать? (Над схемой и правилами решения примеров в столбик.)
- У кого вычислительные ошибки? На что надо обратить внимание? (На схему и правила решения примеров в столбик. Еще придется вспомнить таблицы сложения из
1-го класса.)
7. Включение нового содержания в систему знаний и повторение.
Цель:
- тренировать способность к использованию приемов письменного сложения и вычитания многозначных чисел при решении уравнений;
- тренировать навык составления буквенных выражений по тексту задач.
Организация учебного процесса на этапе 7.
1) Решение уравнений с использованием приемов сложения и вычитания многозначных чисел.
Мы неплохо справились с решением примеров на сложение и вычитание многозначных чисел. А где на практике можно встретиться с этими приемами? (При решении уравнений и задач.)
Попробуем применить наши знания при решении уравнений?
Один ученик работает на скрытой доске, остальные – в тетрадях. После выполнения работы сверяют записи, обсуждают работу у доски
Как убедиться в правильности решения? (Проверить.)
Выполните проверку, записывая решение в столбик.
2) – соревнование.(на выбор 3 задания: №365, №366, зад.на карточках)
Мы совсем не работали на уроке над задачами, а потренироваться надо. Как быть? (Учащиеся предлагают свои варианты выбора задач для решения.)
Давайте проведем игру-соревнование - «Блицтурнир». Я выставлю на доске таблички с выражениями. Тот, кто первый выполнит задание, выбирает нужную табличку и обосновывает решение. (Карточки Д-9)
Обоснование решения может быть, например, таким:
а) Известно, что банан стоит a руб., а ананас на b руб. дороже. Надо узнать, во сколько раз банан дешевле ананаса. Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше второй, надо значение большей величины надо разделить на значение меньшей величины.
Но значение большей величины неизвестно. Но его можно найти, так как по условию оно на b больше, чем a . Значит, оно равно.
Тогда для ответа на вопрос надо сумму a + b разделить на а : .
б) Известно, что c руб. можно купить 5 кг яблок. Требуется узнать, сколько рублей надо заплатить за 8 кг таких же яблок.
Задача на приведение к единице – прямая. Сначала узнаем цену 1 кг яблок: , а потом умножим ее на количество килограммов яблок: .
Обозначьте место ошибки, поработайте дополнительно над задачами такого типа.
8. Рефлексия учебной деятельности на уроке.
Цель:
- зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: сложение и вычитание многозначных чисел;
- оценить результативность собственной деятельности и деятельности класса;
- зафиксировать неразрешенные затруднения как направление будущей деятельности;
- обсудить и записать домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 8.
Домашнее задание:
Спасибо за урок!
