Множества а и в заданы числовыми. Понятие о множестве

Множество - одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Объекты, составляющие множество, называют его Элементами . Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A , B , C , X , …, их элементы - прописными буквами: A , B , C , X , … или буквами с индексами A 1, A 2, A 3, ... Множество, не содержащее ни одного элемента, называют Пустым и обозначают Æ.

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}; множество простых чисел, меньших 20, - B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; множество дней недели - С = {понедельник; вторник; среда; четверг; пятница; суббота; воскресенье}.

Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано с помощью Характеристического свойства , то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Задание множества с помощью характеристического свойства записывают следующим образом: А = {Х | P (Х )}, где P (X ) - характеристическое свойство.

Приведем несколько примеров:

1. Если , то .

2. Пусть B - множество остатков от деления натуральных чисел на 7. Тогда .

3. Если D - множество действительных чисел, не меньших двух и не больших семи, то D - отрезок .

Рассмотрим два множества A и B . Если каждый элемент множества B является элементом множества A , то говорят, что B - Подмножество множества A . Этот факт записывают так: В Ì А . Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество А имеет хотя бы два подмножества - само множество А и пустое множество.

Пусть даны два множества А и В .

Пересечением (Произведением ) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А , и множеству В . Обозначают пересечение множеств A Ç B :

A Ç B = { Х | Х Î A и Х Î B }.

Объединением (Суммой ) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В . Обозначают объединение множеств A È B :

A È B = { Х | Х Î A или Х Î B }.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А , не принадлежащих множеству В . Обозначают разность множеств A \ B :

A \ B = { Х | Х Î A и Х Ï B }.

Элементами множества могут быть различные объекты - числа, слова, геометрические фигуры, функции и т. д. В математике особую роль играют Числовые множества , то есть множества, элементами которых являются числа.

Например: ¥ - множество натуральных чисел, ¢ - множество целых чисел, ¤ - множество рациональных чисел, ¡ - множество действительных чисел.

Напомним, что натуральными называют числа, используемые при счете предметов, то есть . Целыми считают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Таким образом, . Рациональные числа - это обыкновенные дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: . Любое рациональное число может быть записано в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Все десятичные дроби (в том числе и бесконечные непериодические) образуют множество действительных чисел. Действительные числа изображают точками на координатной прямой (числовой оси). Точка О , соответствующая числу 0, разбивает координатную прямую на два луча: положительный и отрицательный. Число, изображением которого на координатной прямой является точка М , называется Координатой точки М . Если , то точка с координатой лежит левее точки с координатой .

Особое значение в математике имеют подмножества множества ¡, называемые числовыми промежутками: Отрезок [A ; B ] - множество точек Х , удовлетворяющих условию ; Интервал (A ; B ) - множество точек Х , удовлетворяющих условию ; Полуинтервалы [A ; B ) и (A ; B ] - множества точек Х , удовлетворяющих условиям и соответственно; бесконечные промежутки (A ; +¥), (- ¥; B ), [A ; +¥), (-¥; B ] - множества точек Х , удовлетворяющих условиям , , , соответственно.

После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.

Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.

Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Опр.2.3.1. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х |хÎА и хÎВ}. Обозначается, А∩В.

Примеры. 1) Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда A ∩ B = {2; 3}, A ∩ D = Æ.

2) А = {2n: n Î N } - множество чисел, делящихся на 2, B = {3n: n Î N} - множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n Î N} - множество чисел, делящихся на 6.

3) А - отрезок , В - отрезок , тогда A ∩ B - отрезок .

4) Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов. Пусть Аi – множество студентов, сдавших i -й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3,4), тогда:

I – множество студентов, получающих повышенную стипендию.

Опр. 2.3.2. Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х |хÎА или хÎВ}. Обозначается, А UВ.

Примеры. 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A U B == {1; 2; 3; 4; 5}.

2) A = (–∞, 2], B = (1, +∞), тогда C = A U B = R .

3) А = , В = , тогда A U B = .

3) Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то А U В – множество студентов – задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).

Опр.2.3.3. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х | х Î А и х Ï В}. Обозначается, А\В.

Примеры 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда А\В={1}, В\А={4, 5}.

2) R \ Q – множество иррациональных чисел.

3) Q \ R = Æ.

Опр.2.3.4 . Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству А: С={х | (х Î А и х Ï В) или (х Î В и х Ï А) }. Обозначается, А∆В.

Пример. А={1,2,3,4,5}, В={4,5,6,7}, А∆В= {1,2,3,6,7}

В каждом отдельном случае мы рассматриваем всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.

Опр.2.3.5. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, Е (или U в разной литературе).

При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

Опр.2.3.6. Дополнением множества А называется разность Е \А. Обозначается, А’ или и читается «не-А». Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Примеры. 1) Е ={ множество студентов в группе}, A ={ множество студентов, сдавших первый экзамен}, то А’ ={ множество студентов, не сдавших первый экзамен}.

2) Е={буквы русского алфавита}, А={множество гласных букв}, тогда

А’={множество согласных букв и букв ь и ъ}.

3) Пусть Е – множество сотрудников школы, A – множество сотрудников старше 30 лет, B – множество сотрудников мужского пола, C – множество сотрудников занимающих должности вспомогательного персонала.

Тогда В ’ – множество женщин; А’ÇВÇC – множество мужчин занимающих должности вспомогательного персонала младше 30 лет; А È(В ÇС ’) – множество сотрудников старше 30 лет или мужчин не занимающих должности вспомогательного персонала; B \C – множество мужчин, не являющихся вспомогательным персоналом; C \B – множество сотрудников вспомогательного персонала – женщин.

4) Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АUВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АUВUС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.

Решение : Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.

Получим АUВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16};

СUD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};

А\С={2, 3, 5, 8};

АUВUС={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};

А∩В∩С=Æ;

ВUD∩С={1, 3, 4, 8, 16};

А∩С\D={13, 15}.

5) Пусть Е={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через заданные множества A, B, C, D следующие множества: 1) К={1,2,3,4,5,7,8}, 2) L={4, 7 ,8}, 3) F={2, 5}, 4) G={5, 7, 9}.

Решение : 1) K={1,2,3,4,5,7,8}=AUD.

2) L={4, 7 ,8}=D\A.

б) A\(C\D)={2, 5}.

б) AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8},

в) (AUB)’={7, 9},

г) (A∩D)U((AUB)’)={5, 7, 9}.

Свойства операций над множествами:

Таблица 2.3.1.

Свойства операции пересечения: 1) А∩А=А; 2) А∩Ø=Ø; 3) А∩А’= Ø; 4) А∩Е =А; 5) А∩В=В∩А.	Свойства операции объединения: 1) АUА=А; 2) АU Ø =А; 3) АUА’=Е ; 4) АUЕ =Е ; 5) АUВ=ВUА.
Свойства операции разности:
1) А\А=Ø; 2) А\ Ø =А; 3) А\А’= А; 4) А\Е =Ø;	5) Е \А=А’; 6) Ø \А=Ø; 7) А\В ≠ В\А.

§ 2.4. Диаграммы Эйлера-Венна, таблицы вхождения элементов, координатная плоскость.

Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).

При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

Таблица 2.4.1.

Объединение АВ:

Пересечение А∩В:

Разность: А\В

Примеры: Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна

1) (АUВ)\(С∩А):

Таблица 2.4.2.

1)(АUВ)

2) (С∩А)

3) (АUВ)\(С∩А)

2) А∩В∩С;

а) А∩В

б) А∩В∩С

а) АUС

2. В∩С

3.(А∩В)U(В∩С)

Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества , в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B , A ∩ B , A \ B , заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).

Например, вторая строка в табл. 1 читается так: если элемент входит в A , но не входит в B , то он входит в А U В , не входит в А ∩ В , но входит в A \B .

Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (А UВ) ’ = А ’ ∩В ’

Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения элемента в множества А , В он входит или не входит в левую и правую части рассматриваемого равенства одновременно (см. четвертый и седьмой столбцы). Значит (А UВ) ’ = А ’ ∩В ’.

2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство (В UС ) \ В = С.

Второй и четвертый столбцы не совпадают, поэтому это равенство неверное.

На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x: − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:

Примеры : Даны множества: