Для решения многих задач динамики, особенно в динамике системы, вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики.
Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости между соответствующими динамическими характеристиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движения механических систем, широко применяемые в инженерной практике. Кроме того, применение общих теорем избавляет от необходимости проделывать для каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и навсегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения.
Перейдем к рассмотрению общих теорем динамики точки.
§ 83. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ИМПУЛЬС СИЛЫ
Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.
Единицей измерения количества движения является в СИ - а в системе МКГСС - .
Импульс силы. Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени
Элементарным импульсом силы называется векторная величина равная произведению силы F на элементарный промезкуток времени
Направлен элементарный импульс вдоль линии действия силы.
Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементраных импульсов, т. е.
Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до
Количеством, движения системы будем называть векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 288):
Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять величину Q, а также уяснить ее смысл. Из равенства (Г) следует, что
Беря от обеих частей производную по времени, получим
Отсюда находим, что
т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.
Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.
Из формулы (19) видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.
Если же движение тела является сложным, то величина Q не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С.
Таким образом, количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения системы (тела), а при сложном движении - как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс.
Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы
Для выяснения физического смысла (70) вычислим производную от (64)
.
(71)
Решая совместно (70) и (71), получим
.
(72)
Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс .
Вычислим производную от (72)
.
(73)
Решая совместно (73) и (67), получим
.
(74)
Уравнение (74) выражает следующую теорему.
Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.
При решении задач уравнение (74) необходимо спроектировать на координатные оси:
.
(75)
Из анализа (74) и (75) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы : Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.
Если
,
то
,Q
=
const
.
(76)
В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.
Если
,
то,Q
z
=
const
.
(77)
Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.
Теорема об изменении кинетического момента механической системы
Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).
Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра
.
(78)
Проектируя (22) на оси координат можно получить выражение кинетического момента относительно координатных осей
.
(79)
Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела
.
(80)
Из (80) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.
Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.
Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.
Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра
.
(81)
При решении инженерных задач (81) необходимо спроектировать на координатные оси
Их анализа (81) и (82) вытекает закон сохранения кинетического момента : Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (или оси) сохраняет свою величину и направление.
,
или
Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.
В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.
Формулировка теоремы
Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
( кг·м/с)
Теорема об изменении количества движения системы утверждает
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Закон сохранения количества движения системы
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме
:
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )
Теорема об изменении момента количества движения относительно центра
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Теорема об изменении момента количества движения относительно оси
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:
Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
Доказательство теоремы обь ихменении количества движения
Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:
Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
Учитывая,
что 
и
суммируя все уравнения второго закона
Ньютона, получаем:
Выражение представляет
собой сумму всех внутренних сил,
действующих в системе. По третьему
закону Ньютона в этой сумме каждой
силе соответствует
сила такая,
что и,
значит, выполняется 
Поскольку
вся сумма состоит из таких пар, то и сама
сумма равна нулю. Таким образом, можно
записать
Используя для количества движения системы обозначение , получим
Введя в
рассмотрение изменение импульса внешних
сил 
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме:
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется
Например:
1. Определить количество движения механической системы:
Т.к. (центр масс не движется).
б) Теорема об изменении количества движения (дифференциальный вид).
Выведем ее из теоремы о движении центра масс.
Для ν -той материальной точки по второму закону Ньютона:
Так как. масса постоянна, то ее можно внести под знак производной. Получим:
Просуммировав по всем материальным точкам, получим:
Учтем, что сумма всех внутренних сил механической системы - по третьему закону Ньютона.
Получим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальном виде:
Формулировка: первая производная по времени от количества движения механической системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему, т.е. равна главному вектору всех внешних сил механической системы.
Эти формулы математически показывают, что только внешние силы влияют на движение центра масс и изменение количества движения механической системы, внутренние силы изменить количество движения или движение центра масс не могут.
в) Теорема импульсов (интегральный вид) теоремы об изменении количества движения.
Определение:
1) элементарным импульсом силы называется произведение этой силы на дифференциал времени:
2) импульсом силы за какой-либо промежуток времени называется интеграл вида:
Теорема импульсов: выводится из теоремы об изменении количества движения.
Разделяя переменные, получим:
Интегрируем:
Учитывая, что правая часть уравнения представляет собой сумму импульсов всех внешних сил, получим:
Формулировка: Изменение количества движения за какой – либо промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, приложенных к системе в этот промежуток времени.
Эта формулаозначает, что импульс силы и количество движения измеряется в одних и тех же размерностях единиц.
; , поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом.
г) Закон сохранения количества движения:
1) Если, , то из теоремы следует, что: , .
Формулировка: если векторная сумма всех внешних сил системы равна нулю, то количество движения системы остается постоянным по величине и направлению.
2) Если, , то , .
Формулировка: если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил системы, на какую – либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось остается постоянной.
4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Рассматриваемые вопросы:
Общие теоремы динамики механической системы. Теорема об изменении кинетического момента. Момент количества движения материальной точки относительно полюса: алгебраическое значение, направление вектора. Момент количества движения материальной точки относительно оси. Момент количества движения относительно начала координат. Кинетический момент механической системы относительно точки и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента. Закон сохранения кинетического момента.
4.1 Момент количества движения материальной точки относительно центра (точки, полюса).
а) Определение: моментом количества движения материальной точки относительно какого-либо центра называется векторное произведение радиус – вектора этой точки на её количества движения.
б) Направление: момент количества движения материальной точки направлен перпендикулярно плоскости траектории движения точки таким образом, чтобы с конца векторного момента можно было видеть направление скорости по отношению к моментной точке против часовой стрелки.
в) Алгебраическое значение момента количества движения точки.
Модуль момента количества движения материальной точки:
Алгебраическое значение – это произведение количества движения материальной точки на плечо, взятое со знаком плюс или минус.
Значение момента положительное, если он направлен относительно моментной точки против часовой стрелки.
Значение момента отрицательное, если он направлен относительно моментной точки по часовой стрелке.
Значение момента равно нулю, если моментная точка лежит на линии скорости.
4.2 Момент количества движения относительно оси.
а) Определение: моментом количества движения точки относительно оси называется проекция на эту ось векторного момента количества движения, вычисленного относительно какой – либо точки, лежащей на этой оси.
Алгебраическое значение аналогично:
Значение момента количества движения положительное, если он направлен против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения отрицательное, если он направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси.
Значение момента количества движения равно нулю, если скорость направлена параллельно оси или пересекает эту ось.
Проекции на оси координат:
4.3 Кинетический момент механической системы относительно полюса и оси.
а) Кинетический момент механической системы относительно полюса.
Кинетическим моментом механической системы относительно центра (полюса, точки) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек системы относительно этого же центра:
б) Кинетический момент механической системы относительно оси:
Кинетическим моментом механической системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количества движения всех его точек относительно этой же оси:
Кинетический момент механической системы относительно оси Z:
Таким образом - кинетический момент механической системы это главный момент количества движения системы.
4.4 Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.
Рассмотрим тело вращения. Рассмотрим движение материальной точки, масса которой m ν , а линейная скорость .
По определению кинетического момента относительно полюса:
Кинетический момент направлен перпендикулярно радиус-вектору ().
Спроектировав кинетический момент на ось , получим:
Учитывая, что при вращательном движении линейная скорость определяется по формуле Эйлера, получим:
Модуль скорости точки при вращательном движении:
где , сos (90 0 - ) =sin
Подставив (98) в формулу (96), получим:
Кинетический момент относительно оси вращения определяется по формуле:
4.5 Вывод теоремы об изменении кинетического момента.
По второму закону Ньютона для ν -той точки:
Умножив обе части равенства почленно, векторно на , получим:
Преобразуем:
Суммируя по ν т.е. по всем материальным точкам механической системы получим:
Слева под знаком суммы получаем кинетический момент механической системы относительно полюса О:
Справа под знаком суммы получаем сумму моментов всех внешних и внутренних сил механической системы относительно полюса О:
По третьему закону Ньютона сумма моментов всех внутренних сил относительно полюса О равна нулю,
Тогда получим теорему в виде:
Формулировка: первая производная от кинетического момента по времени, относительно какого – либо центра равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно этого же центра.
Теорема об изменении кинетического момента относительно оси вращения:
Формулировка: первая производная по времени от кинетического момента, относительно какой – либо оси равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил системы относительно этой же оси.
Кинетический момент для твердого тела относительно оси вращения:
.2) Если , то .
Формулировка : если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил системы, относительно какой – либо оси равна нулю, то кинетический момент относительно этой оси остается постоянным.
Например:
При вращении фигуриста на льду все действующие силы параллельны оси Z , а это значит, что кинетический момент относительно оси Z равен нулю.
Для увеличения угловой скорости фигурист прижимает руки к туловищу, тем самым уменьшая момент инерции тела относительно оси вращения.
Для уменьшения угловой скорости фигурист расставляет руки в стороны, тем самым увеличивая момент инерции тела относительно оси вращения.
5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
