Введенные формулами (3.26), (3.27) величины оказываются существенно необходимыми при изучении динамики вращательных движений твердого тела или системы тел. Эти характеристики инерции зависят как от положения начала координат, так и от направлений выбранных коор­динатных осей. Однако в данной точке тела шесть величин вместе с суммарной массой М пол­ностью определяют его инерцию. Иначе говоря, зная эти ве­личины, можно найти момент инерции относительно оси про­извольного направления и центробежный момент инерции для пары новых (повернутых) осей, а также, при известной геометрии тела, перейти к инерционным характеристикам, определенным для другого начала координат. Пусть требуется найти момент инерции относительного заданного направления (оси ξ ), характеризуемого ортом . Моментом инерции системы материальных точек относи­тельно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси

Легко сообразить, что квадрат расстояния h, , можно подсчи­тать по формуле (рис. 53)

(3.28)

Запишем полученное выражение (3.29) иначе

Мы изменили порядок сомножителей во втором скалярном произведении и отбросили скобки; первое делать можно, а второе? При этом появилась новая величина , в которой два вектора перемножаются, но не скалярно и не векторно, а каким-то новым способом; такое умножение на­зываетсядиадным (или тензорным),а само произведение - диадой, которая представляет собой тензор второго ранга. Аналитическое определение тензора состоит в следующем: совокупность Зn величин (в трехмерном пространстве), преобразующихся при повороте координатной системы как произведения n координат, называется тензором n-го ранга. По этому определению диада будет тензором 2-го ранга, вектор -тензором 1-го ранга, а скалярная величина - тензором нулевого ранга. Очевидно, что диада не изменится при перестановке ее сомножителей - это симметричная диада. Более общий случай получим, перемножая два разных вектора, например и ; диада уже не будет симметричнойи переставлять сомножители у нее нельзя:

Так как векторы и можно представить в виде

то диада может быть записана в виде суммы девяти сла­гаемых

(3.30)

Здесь ….. элементарные диады, а коэффици­енты при них называются составляющими или компонентами тензора. Тензор второго ранга (диаду) можно записать также в виде квадратной матрицы. Так, для тензора (3.30)

(3.31)

Хотя развернутый вид (3.30) тензора и не имеет таблич­ного вида (3.31), однако положение каждой составляющей в таб­лице устанавливается сразу по ее множителю - элементар­ной диаде: левый орт указывает строку, а правый орт - стол­бец, орты соответствуют положению данной составляющей в матрице (3.31). Теперь легко понять неравенство ; пе­рестановка сомножителей в диаде означает замену строк столбцами (и наоборот) в матрице (3.31), а тензор будет транспонированным по отношению к первоначальному тен­зору .Из теории матриц известно, что квадратную матрицу (3.31) можно умножить справа на вектор-столбец или слева на вектор-строку. Запись тензора в форме (3.30) позволяет эти операции свести к скалярному умножению ортов. Тензор второго ранга можно умножить скалярно как справа, так и слева на вектор а ; при этом результат будет различным, так как при правом умножении тензора на вектор будут по­являться скалярные произведения правых ортов элементар­ных диад на орты вектора, а при левом умножении вектора на тензор в скалярных произведениях будут участвовать левые орты элементарных диад. В результате останутся орты элементарных диад, которые не участвовали в скаляр­ных произведениях, поэтому скалярное произведение тензора и вектора будет векторной величиной. Легко сообразить, что , где означает транспонированный тензор. В случае сим­метричного тензора транспонированный тензор равен перво­начальному и разница между правым и левым произведени­ями исчезает. В нашем случае симметричный тензор и его разверну­тое выражение типа (3.29) оказывается проще:

Если тензор (второго ранга) умножать скалярно на век­торы и слева, и справа, то участвовать в скалярных произве­дениях будут как левые, так и правые орты элементарных диад, и в результате получится скалярная величина. Именно это мы имеем в формуле (3.29). Записывая эту формулу в виде

где тензор представлен выше в виде (3.32), сразу понимаем, что в результате двойного скалярного перемножения в (3.33) исчезают те слагаемые, в которых встречаются произведе­ния (скалярные) разных ортов. Остающиеся слагаемые легко написать сразу; это будут те же компоненты тензора , что и представленные в формуле (3.32), только орты в этой фор­муле следует заменить на соответствующие проекции вектора . Тогда получим

Сравнивая результат (3.34) с формулой (3.38а), убеждаемся и законности опускания скобок в формуле (3.29). Простейшим тензором второго ранга будет единичный тензор:

(3.35)

Нетрудно сообразить, что диагональные элементы мат­рицы, соответствующей тензору (3.35), будут единицами, а остальные, недиагональные - нулями. Название «единич­ный тензор» совершенно оправдано, так как, умножая на него любой вектор (справа или слева - это безразлично), мы опять получим вектор :

Это свойство единичного тензора приводит к следую­щему интересному соотношению:

(3.36)

Соотношения (3.36) и (3.29) позволяют написать формулу (3.28) В ином виде

= (3.38)

Величина

= , (3.39)

вошедшая в выражение для (формула 3.38), представляет собой тензор инерции твердого тела в точке О . Вводя этот тензор, переписываем формулу (3.38) для момента инерции относи­тельно оси , заданной направлением орта , в очень про­стом виде

Найдем момент инерции тела относительно оси u , проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции .

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z . Из прямоугольного треугольника ОАМ i следует , где . И так как радиус-вектор точки , то, проектируя это равенство на ось u , получим ( , , - углы между осью u и осями x, y, z ).

Как известно из тригономет­рии

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

где I x , I y , I z – моменты инерции тела относительно осей координат; I xy , J yz , J xz - центробежные моменты инерции относительно осей отмеченных в индексах.

Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главной осью инерции . Например, если J yz = 0 и J xz = 0, то ось z – главная ось инерции.

Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О , от выбора начала координат, то обязательно надо указать для какой точки определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс С , то все главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Если в данной точке координатные оси являются главными осями инерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю), то формула (2) упрощается:

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно отыскать точку с координатами (-x i , -y i , -z i ) и поэтому центробежные моменты инерции и . Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

2. Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная ей будет главной осью инерции для всех точек этой плоскости.

Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой её точки О , назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно найти симметричную ей точку с координатами (x i , y i , - z i ). Поэтому центробежные моменты инерции I xz и I yz будут равны нулю. Значит ось z – главная ось инерции.

Пример 9. Определим момент инерции диска относительно оси u , расположенной под углом к оси симметрии диска z (рис.37).

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда , где - угол между осями u и z ; угол - угол между осями u и y , равный ; угол - угол между осями u и x , равный 90°. Поэтому

Дифференциальные уравнения движения системы.

Рас­смотрим систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой . Обозначим равнодейству­ющую всех приложенных к точке внешних сил (и активных и реак­ций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения являются дифференциальными, так как ; входящие в правые части уравнений силы будут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя на какие-нибудь координатные оси, мы можем получить дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы состояло бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответ­ствующие дифференциальные уравнения и определить таким путем закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь решения обычно не применяется по двум причинам. Во-первых, этот путь слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми математическими трудностями. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики бывает доста­точно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики системы, к изучению которых мы и перейдем.

Основная роль уравнений состоит в том, что они, или след­ствия из них, являются исходными для получения соответствующих общих теорем.

Общие теоремы динамики механической системы: теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии, -являются следствием основного уравнения динамики. Данные теоремы рассматривают не движение отдельных точек и тел, входящих в механическую систему, а некоторые интегральные характеристики, такие как движение центра масс механической системы, ее количество движения, кинетический момент и кинетическую энергию. В результате из рассмотрения исключаются неизвестные внутренние силы, а в ряде случаев и реакции связей, что существенно упрощает решения задачи.

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела m i , на квадраты их расстояний r i до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПЛОСКОСТЕЙ И НАЧАЛА ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Момент инерции относительно начала координат (полярный момент инерции):

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСЕВЫМИ, ПЛОСКОСТНЫМИ И ПОЛЯРНЫМ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ:

Значения осевых моментов инерции некоторых геометрических тел приведены в табл. 1.

Таблица 1. Момент инерции некоторых тел

Фигура или тело
	При с→0 получается прямоугольная пластина

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ОСЕЙ

Момент инерции I u 1 относительно оси u 1 , параллельной данной оси u (рис. 1):

где I u - момент инерции тела относительно оси u; l(l 1) - расстояние от оси u (от оси u 1) до параллельной им оси u с, проходящей через центр масс тела; а - расстояние между осями u и u 1 .

Рисунок 1.

Если ось u центральная (l=0), то

т. е. для любой группы параллельных осей момент инерции относительно центральной оси наименьший.

Момент инерции I u относительно оси u, составляющей углы α, β, γ с осями декартовых координат х, у, z (рис. 2):

Рисунок 2.

Оси х, у, z главные, если

Момент инерции относительно оси u, составляющей углы α, β, γ c главными осями инерции х, у, z:

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ:

где - центробежный момент инерции относительно центральных осей х с, y с, параллельных осям х, у; М - масса тела; x с, y с - координаты центра масс в системе осей х, у.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ x, y ВОКРУГ ОСИ z НА УГОЛ α В ПОЛОЖЕНИЕ x 1 y 1 (рис. 3):

Рисунок 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ. Ось материальной симметрии тела - главная ось инерции тела.

Если плоскость xОz является плоскостью материальной симметрии тела, то любая из осей y - главная ось инерции тела.

Если положение одной из главных осей z гл известно, то положение двух других осей x гл и y гл определяется поворотом осей х и у вокруг оси z гл на угол φ (рис. 3):

ЭЛЛИПСОИД И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИНЕРЦИИ. Эллипсоидом инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого совпадают с главными центральными осями тела x гл, y гл, z гл, а полуоси а х, а у, а z равны соответственно:

где r уО z , r х Oz , r xOy - радиусы инерции тела относительно главных плоскостей инерции.

Параллелепипедом инерции называется параллелепипед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий с ним общие оси симметрии (рис. 4).

Рисунок 4.

РЕДУЦИРОВАНИЕ (ЗАМЕНА С ЦЕЛЬЮ УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА) ТВЕРДОГО ТЕЛА СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . При вычислении осевых, плоскостных, центробежных и полярных моментов инерции тело массой М можно редуцировать восемью сосредоточенными массами М/8, расположенными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов вычисляются по координатам вершин параллелепипеда инерции x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) по формулам:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определение моментов инерции тел вращения с использованием дифференциального уравнения вращения - см. формулы ("Вращательное движение твердого тела") .

Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводится во вращение вокруг нее с помощью груза Р, прикрепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое тело (рис. 5), при этом замеряется время t опускания груза на высоту h. Для исключения влияния трения в точках закрепления тела на оси х опыт производится несколько раз при разных значениях веса груза Р.

Рисунок 5.

При двух опытах с грузами Р 1 и Р 2

2. Экспериментальное определение моментов инерции тел посредством изучения колебаний физического маятника (см. 2.8.3) .

Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной оси х (нецентральной) и замеряют, период малых колебаний около этой оси Т. Момент инерции относительно оси х определится по формуле

где Р - вес тела; l 0 - расстояние от оси вращения до центра масс С тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.

Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек () на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний () от них до оси вращения:

где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.

Для однородного тела выражение (2) можно представить как:

Момент инерции в международной системе единиц измеряется в:

Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.

В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:

где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m - масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:

где m - масса точки; r - расстояние от точки до оси вращения.

Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:

Тонкое кольцо, с массой вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:

где R - радиус кольца.

Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:

Для однородного шара

где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.

Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

где - координаты бесконечно малого элемента тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m.
Решение	Найдем момент инерции одного шарика () относительно оси, находящейся от него на расстоянии : Момент инерции второго шарика будет равен : Суммарный момент инерции системы равен сумме:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы . Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный
Решение	Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (), вращающегося вокруг той же оси:

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.