Момент количества движения точки относительно центра и оси. Что значит "момент количества движения"

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент, момент импульса, орбитальный момент, угловой момент) - одна из динамич. характеристик движения или механич. системы; играет особенно важную роль при изучении вращат. движения. Как и для , различают M. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

M. к. д. материальной точки относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора r точки, проведённого из центра О , на её кол-во движения mv , т. е. k 0 = [r m u ] или в др. обозначениях k 0 = r m u . M. к. д. k z материальной точки относительно оси z, проходящей через центр О , равен проекции вектора k 0 на эту ось. Для вычисления M. к. д. точки справедливы все ф-лы, приведённые для вычисления момента силы , если в них заменить вектор F (или его проекции) вектором m u (или его проекциями). Изменение M. к. д. точки происходит под действием момента m 0 (F ) приложенной силы. Характер этого изменения определяется ур-нием d k /dt = m 0 (F ), являющимся следствием осн. закона . Когда m 0 (F ) = 0, что, напр., имеет место для центр. сил, M. к. д. точки относительно центра О остаётся величиной постоянной; точка движется при этом по плоской кривой и её радиус-вектор в любые равные промежутки времени описывает равные площади. Этот результат важен для небесной механики (см. Кеплера законы ),а также для теории движения космич. летат. аппаратов, ИСЗ и др.

Для механич. системы вводится понятие о главном M. к. д. (или кинетич. моменте) системы относительно центра О , равном геом. сумме M. к. д. всех точек сис-темы относительно того же центра:

Вектор K 0 может быть определён его проекциями на взаимно перпендикулярные оси Oxyz . Величины K x , K y , К z , являются одновременно главным M. к. д. системы относительно соответствующих осей. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угл. скоростью w, эти величины равны: K x = -I xz w, К у = = -I yz w, K z = I z w, где I z - осевой, a I xz и I yz - центробежные . Если же тело движется около неподвижной точки О , то для него в проекциях на главные оси инерции, проведённые в точке О , будет K x =- I x w x , К у = 1 у w у, K z = I z w z , где I x , 1 у, I z - моменты инерции относительно гл. осей; w x , w y , w z - проекция мгновенной угл. скорости w на эти оси. Из ф-л видно, что направление вектора K 0 совпадает с направлением w лишь тогда, когда тело вращается вокруг одной из своих гл. (для точки О )осей инерции. В этом случае K 0 = I w , где I - момент инерции тела относительно этой гл. оси.

Изменение главного M. к. д. системы происходит только в результате внеш. воздействий и зависит от гл. момента M e 0 внеш. сил; эта зависимость определяется ур-нием dK 0 /dt = M e 0 (ур-ние моментов). В отличие от случая движения одной точки, ур-ние моментов для системы не является следствием ур-ния кол-в движения, и оба эти ур-ния могут применяться для изучения движения системы одновременно. С помощью одного только ур-ния моментов движение системы (тела) может быть полностью определено лишь в случае чисто вращат. движения (вокруг неподвижной оси или точки). Если гл. момент внеш. сил относительно к--н. центра или оси равен нулю, то главный M. к. д. системы относительно этого центра или оси остаётся величиной постоянной, т. е. имеет место закон сохранения M. к. д. (см.

1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический О -- скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m :
2. Векторный момент количества движения относительно центра.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

1. Кинетический момент относительно центра.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.

2. Кинетический момент относительно оси.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра;

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, = 0, тогда L z = const.

Работа и мощность сил

Работа силы -- скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

если то dA > 0;если, то dA = 0;если , то dA < 0.

2. Аналитическое выражение элементарной работы.

Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:

, . Получим (4.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,

4. Работа силы тяжести. Используем формулу:Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A 12 = -mgh (точка М 1 -- внизу, M 2 -- вверху).

Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M 2 совпадает с М 1 ) работа равна нулю.

5. Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х:

F y = F z = О, F x = = -сх;

где - величина деформации пружины.

При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда

Поэтому работа силы упругости

Работа сил на конечном перемещении; Если = const, то

где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.

Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:

Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

где Vkc -- скорость k- й точки системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении

Поступательное движение.

Вращение тела вокруг неподвижной оси . ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорема в интегральной {конечной) форме.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда

Хотя до сих пор. мы рассматривали только специальный случай твердого тела, свойства момента и его математическое выражение интересны даже тогда, когда тело не твердое. Можно доказать очень интересную теорему: подобно тому как внешняя сила равна скорости изменения величины р, которая называется полным импульсом системы частиц, так и момент силы равен скорости изменения некоторой величины L , называемой моментом количества движения, или угловым моментом группы частиц.
Чтобы доказать это, рассмотрим систему частиц, на которую действуют силы, и посмотрим, что произойдет с системой в результате действия вращающих моментов, созданных этими силами. Для начала давайте возьмем только одну частицу. Такая частица с массой m и осью О изображена на фиг. 18.3. Она не обязательно должна вращаться по окружности вокруг оси О, а может двигаться и по эллипсу, подобно планете вокруг Солнца, или по какой-нибудь другой кривой.

Главное то, что она движется, что на нее действует сила, которая ускоряет ее в соответствии с обычными законами: x -компонента силы равна массе, умноженной на х-компоненту ускорения, и т. д. Но посмотрим теперь, как действует момент силы. Он, как вы знаете, равен xF y - yF x , а х- и y -компоненты силы в свою очередь равны массе, умноженной соответственно на х- и y -компоненту ускорения, так что

Хотя сразу и не_видно, что это выражение является производной от какой-то простой величины, но на самом деле оно

равно производной от xm(dy/ dt)-ym(dx/ dt)\ Действительно,

Оказывается, таким образом, что момент силы равен скорости изменения со временем некоторой величины! Давайте обратим внимание на эту величину и прежде всего дадим ей имя. Она будет называться моментом количества движения, или угловым моментом, и обозначаться буквой L

Хотя во всех наших рассмотрениях мы не принимали в расчет теорию относительности, тем не менее второе выражение для L верно и при учете ее. Итак, мы нашли, что у обычного импульса также существует вращательный ана- лог - угловой момент, который связан с компонентами импульса точно так же, как и момент силы связан с компонентами силы! Так что если мы хотим вычислить момент количества движения относительно какой-то оси, то должны взять тангенциальную составляющую импульса и умножить ее на радиус. Другими словами, угловой момент показывает, насколько быстро движется частица вокруг какого-то центра, ведь он учитывает только тангенциальную часть импульса. Более того, чем дальше от центра удалена линия, по которой направлен импульс, тем больше будет угловой момент. Точно так же, поскольку геометрия в этом случае та же, что и в случае момента силы, существует плечо импульса (оно, разумеется, не совпадает с плечом силы, действующей на частицу), которое равно расстоянию линии импульса от оси. Таким образом, угловой момент равен просто величине импульса, умноженного на его плечо. Точно так же, как и для момента силы, для углового момента мы можем написать следующие три формулы:

Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.
Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной частицы, применим полученные выше результаты к движению планеты вокруг Солнца. В каком направления действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силы? Разумеется, все зависит от того, в каком месте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце. Поскольку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или компоненте силы, перпендикулярной к радиусу r , умноженной на r , то в этом случае нет никакой тангенциальной составляющей силы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмотрим, что это означает. Произведение тангенциальной компоненты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, характеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше. Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени ∆ t. Какое расстояние пройдет планета при своем движении из точки Р в толку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая планету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ’P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине произведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения момента количества движения, когда моменты внешних сил отсутствуют.

Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv . Т. о.,k o = [r · mυ ], где r - радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О , a k z равняется проекции вектора k o на ось z , проходящую через точку О . Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m o (F ) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk o /dt = m o (F ). Когда m о (F ) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется Площадей закону.

Главный М. к. д . (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K o = Σk oi , K z = Σk zi . Вектор K o может быть определён его проекциями K x , K y , K z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω, K x = - I xz ω, K y = -I yz ω, K z = I z ω, где l z - осевой, а I xz , l yz - центробежные моменты инерции.

Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K o = I z ω.

Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента M o e . Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dK o /dt = M o e . Аналогичным уравнением связаны моменты K z и M z e . Если M o e = 0 или M z e = 0, то соответственно K o или K z будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д.

Билет 20

Общее уравнение динамики.

Общее уравнение динамики – при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Потенциальная сила. Работа потенциальной силы на конечном перемещении.

Потенциальная сила - сила, работа которой зависит только от начального и конечного положения точки её приложения и не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения этой точки

Работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движущейся точки не зависит.

Основным свойством потенциального силового поля и является то, что работа сил поля при движении в нем материальной точки зависит только от начального и конечного положений этой точки и ни от вида ее траектории, ни от закона движения не зависит.

Билет 21

Принцип виртуальных (возможных) перемещений.

Существуют две различные формулировки принципа возможных перемещений. В одной формулировке утверждается, что для равновесия материальной системы необходимо, чтобы равнялась нулю сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к системе, на любом возможном перемещении.
В другой формулировке, наоборот, говорится, что система должна находиться в равновесии, чтобы сумма элементарных работ всех сил равнялась нулю. Такое определение этого принципа дается, например, в работе: “Виртуальная работа заданных сил, приложенных к системе с идеальными связями и находящейся в равновесии, равна нулю”.
Математически принцип возможных перемещений представляется в виде:
, (1)
где - скалярное произведение вектора силы и вектора виртуального перемещения.

Мощность пары сил

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.

Мощность пары сил:

где омега Z – проекция угловой скорости на ось вращения.

Билет 22

1.Прнцип виртуальных перемещений
Рассмотрим виртуальное перемещение точки системы с номером i. Виртуальным перемещением δr i называется мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связями без их разрушения в данное фиксированное мгновение времени.

Если связь одна и описывается уравнением (2), физически ясно, что связь не нарушится, когда вектор виртуального перемещения

где grad f - градиент функции (2) при фиксированном t , перпендикулярный поверхности связи в месте нахождения точки, равный

В вариационном исчислении бесконечно малые величины δr i , δx i , δy i , δz i называются вариациями функций r i , x i , y i , z i . Изменения координат точек или уравнений связи при неизменном времени находятся синхронным варьированием, которое осуществляется согласно левым частям формул (4) и (6).

То есть проекции δx i , δy i , δz i виртуального перемещения точки δr обращают в нуль первую вариацию уравнения связи при условии, что время не варьируется (синхронное варьирование):

(7)

Следовательно, виртуальное перемещение точки не характеризует ее движение, а определяет связь или, в общем случае, связи, наложенные на точку системы. Таким образом, виртуальные перемещения позволяют учесть эффект механических связей, не вводя реакции связей, как мы это делали раньше, и получать уравнения равновесия или движения системы в аналитическом виде, не содержащие неизвестных реакций связей.

2.Элементарная работа
Элементарная работа сил , действующих на абсолютно твердое тело, равна алгебраической сумме двух слагаемых: работы главного вектора этих сил на элементарном поступательном перемещении тела вместе с произвольно выбранным полюсом и работы главного момента сил, взятого относительно полюса, на элементарном вращательном перемещении тела вокруг полюса. [1 ]

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы. [2 ]

Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы. [3 ]

Элементарная работа силы при вращении тела, на которое сила действуе

Билет 23

1. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах.

Запишем принцип, выражая виртуальную работу активных сил системы в обобщенных координатах:

Так как на систему наложены голономные связи, вариации обобщенных координат не зависят между собой и не могут быть одновременно равны нулю. Поэтому последнее равенство выполнится только тогда, когда коэффициенты при δ j (j = 1 ÷ s) одновременно обращаются в нуль, то есть

2.Работа силы на конечном перемещении
Работа силы на конечном перемещении определяется как интегральная сумма элементарных Работа и при перемещении M 0 M 1 выражается криволинейным интегралом:

Билет 24

1.уравнение Лагранжа второго рода.

Для вывода уравнений запишем принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах в виде -Q j u = Q j (j = 1 ÷ s) .

Принимая во внимание, что Ф i = -m i a i = -m i dV i / dt , получаем:

(1)

(2)

Подставляя (2) в (1) получаем дифференциальное уравнение движения системы в обобщенных координатах, которое названо уравнением Лагранжа второго рода:

(3)

то есть, материальная система с голономными связями описывается уравнениями Лагранжа второго рода по всем s обобщенным координатам.

Отметим важные особенности полученных уравнений.

1. Уравнения (3) - это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно s неизвестных функций q j (t), полностью определяющих движение системы.

2. Число уравнений равно числу степеней свободы, то есть движение любой голономной системы описывается наименьшим числом уравнений.

3. В уравнения (3) не нужно включать реакции идеальных связей, что позволяет, находя закон движения несвободной системы, выбором обобщенных координат исключить задачу определения неизвестных реакций связей.

4. Уравнения Лагранжа второго рода позволяют указать единую последовательность действий для решения многих задач динамики, которую часто называют формализмом Лагранжа.

2. Условие относительного покоя материальной точки получают из динамического уравнения Кориолиса, подставив в это уравнение значения относительного ускорения и кориолисовой силы инерции равные нулю:

Момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О равен векторному произведению радиуса-вектора движущейся точки на количество движения , т. е.

Очевидно, что модуль момента количества движения равен

где - плечо вектора v относительно центра О (рис. 167).

Проектируя векторное равенство (153) на координатные оси, проходящие через центр О, получаем формулы для моментов количества движения материальной точки относительно этих осей:

В векторной форме теорема о моменте количества движения выражается так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра О равна моменту действующей силы относительно того же центра, т. е.

Проектируя векторное равенство (156) на какую-либо из координатных осей, проходящих через центр О, получаем уравнение, выражающее ту же теорему в скалярной форме:

т. е. производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.

Эта теорема имеет большое значение при решении задач в случае движения точки под действием центральной силы Центральной силой называется такая сила, линия действия которой все время проходит через одну и ту же точку, называемую центром этой силы. Если материальная точка движется под действием центральной силы F с центром в точке О, то

и, следовательно, . Таким образом, момент количества движения в данном случае остается постоянным по модулю и по направлению. Отсюда следует, что материальная точка под действием центральной силы описывает плоскую кривую, расположенную в плоскости, проходящей через центр силы.

Если известна траектория, которую описывает точка под действием центральной силы, то, пользуясь теоремой о моменте количества движения, можно найти эту силу как функцию расстояния от точки до центра силы.

Действительно, так как момент количества движения относительно центра силы остается постоянным, то, обозначая h плечо вектора относительно центра силы, имеем:

(158)

Для определения этой постоянной должна быть известна скорость точки в каком-либо месте траектории. С другой стороны, имеем (рис. 168):

где - радиус кривизны траектории, - угол между радиусом-вектором точки и касательной к траектории в этой точке.

Итак, имеем два уравнения (158) и (159) с двумя неизвестными v и F; остальные величины, входящие в эти уравнения, т. е. , являясь элементами заданной траектории, легко могут быть найдены. Таким образом, можно найти v и F как функции .

Пример 129. Точка М описывает эллипс под действием центральной силы F (рис. 169). Скорость в вершине А равна . Найти скорость в вершине В, если и .