Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m - мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю m . При этом в качестве множества элементов может рассматриваться любая приведенная система вычетов по модулю m .
Приведённая система вычетов
Приведённая система вычетов по модулю m - множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m , взаимно простых с m . В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до m - 1 .
Пример : приведенной системой вычетов по модулю 42 будет: { 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 }.
Свойства
Приведённая система вычетов с умножением по модулю m
образует группу , называемую мультипликативной группой
или группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю m
, которая обозначается texvc
или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}_m)
.
Если m
простое, то, как отмечалось выше, элементы 1, 2, ...,m
-1 входят в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{Z}_m^{\times}
. В этом случае Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{Z}_m^{\times}
является полем .
Формы записи
Кольцо вычетов по модулю n
обозначают Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{Z}_n
. Его мультипликативную группу, как и в общем случае групп обратимых элементов колец, обозначают Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times,
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): E(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{Z}_n^{\times},
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}_n)
.
Простейший случай
Чтобы понять структуру группы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
, можно рассмотреть частный случай
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): n=p^a
, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
- простое число, и обобщить его. Рассмотрим простейший случай, когда
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): a=1
, т.е. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): n=p
.
Теорема: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
- циклическая группа.
Пример
: Рассмотрим группу Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})
= {1,2,4,5,7,8}
Генератором группы является число 2.
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9
Как видим, любой элемент группы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})
может быть представлен в виде Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2^l
, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1\le\ell < \varphi(m)
. То есть группа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})
- циклическая.
Общий случай
Для рассмотрения общего случая необходимо определение примитивного корня .
Примитивный корень по простому модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p
– это число, которое вместе со своим классом вычетов порождает группу Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})
.
В случае целого модуля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): n
определение такое же.
Структуру группы определяет следующая теорема: Если p - нечётное простое число и l – целое положительное, то существуют примитивные корни по модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): p^{l}
, то есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/p^{l}\mathbb{Z})
- циклическая группа.
Подгруппа свидетелей простоты
Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
- нечётное число большее 1. Число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
однозначно представляется в виде Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m-1 = 2^s \cdot t
, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): t
нечётно. Целое число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): a
, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1 < a < m
, называется свидетелем простоты
числа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m
, если выполняется одно из условий:
- Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): a^t\equiv 1\pmod m
- существует целое число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): k , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0\leq k, такое, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): a^{2^kt}\equiv m-1\pmod m.
Если число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m
- составное, существует подгруппа мультипликативной группы кольца вычетов, называемая подгруппой свидетелей простоты. Её элементы, возведённые в степень Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m-1
, совпадают с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
по модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m
.
Пример
: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): m=9
. Есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 6
остатков, взаимно простых с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
, это Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1,2,4,5,7
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 8
эквивалентно Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): -1
по модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 9
, значит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 8^{8}
эквивалентно Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1
по модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 9
. Значит, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 8
- свидетели простоты числа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 9
. В данном случае {1, 8} - подгруппа свидетелей простоты.
Свойства
Экспонента группы
Порождающее множество
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
- циклическая группа тогда и только тогда, когда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varphi(n)=\lambda(n).
В случае циклической группы генератор называется первообразным корнем .
Пример
Приведённая система вычетов по модулю Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 10
состоит из Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): 4
классов вычетов: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): _{10}, _{10}, _{10}, _{10}
.
Относительно определённого для классов вычетов умножения они образуют группу, причём Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): _{10}
взаимно обратны (то есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): _{10}{\cdot}_{10} = _{10}
),
а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): _{10}
и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): _{10}
обратны сами себе.
Структура группы
Запись Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_n
означает «циклическая группа порядка n».
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
|
генератор | Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n\;
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varphi(n)
|
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \lambda(n)\;
|
генератор | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | C 1 | 1 | 1 | 1 | 33 | C 2 ×C 10 | 20 | 10 | 10, 2 | |
3 | C 2 | 2 | 2 | 2 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | |
4 | C 2 | 2 | 2 | 3 | 35 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 6, 2 | |
5 | C 4 | 4 | 4 | 2 | 36 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 19, 5 | |
6 | C 2 | 2 | 2 | 5 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | |
7 | C 6 | 6 | 6 | 3 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | |
8 | C 2 ×C 2 | 4 | 2 | 7, 3 | 39 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 38, 2 | |
9 | C 6 | 6 | 6 | 2 | 40 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 39, 11, 3 | |
10 | C 4 | 4 | 4 | 3 | 41 | C 40 | 40 | 40 | 6 | |
11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 42 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 13, 5 | |
12 | C 2 ×C 2 | 4 | 2 | 5, 7 | 43 | C 42 | 42 | 42 | 3 | |
13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 44 | C 2 ×C 10 | 20 | 10 | 43, 3 | |
14 | C 6 | 6 | 6 | 3 | 45 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 44, 2 | |
15 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 14, 2 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | |
16 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 15, 3 | 47 | C 46 | 46 | 46 | 5 | |
17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 48 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 47, 7, 5 | |
18 | C 6 | 6 | 6 | 5 | 49 | C 42 | 42 | 42 | 3 | |
19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | |
20 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 19, 3 | 51 | C 2 ×C 16 | 32 | 16 | 50, 5 | |
21 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 20, 2 | 52 | C 2 ×C 12 | 24 | 12 | 51, 7 | |
22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | |
23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | |
24 | C 2 ×C 2 ×C 2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 55 | C 2 ×C 20 | 40 | 20 | 21, 2 | |
25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 56 | C 2 ×C 2 ×C 6 | 24 | 6 | 13, 29, 3 | |
26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 57 | C 2 ×C 18 | 36 | 18 | 20, 2 | |
27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | |
28 | C 2 ×C 6 | 12 | 6 | 13, 3 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | |
29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 60 | C 2 ×C 2 ×C 4 | 16 | 4 | 11, 19, 7 | |
30 | C 2 ×C 4 | 8 | 4 | 11, 7 | 61 | C 60 | 60 | 60 | 2 | |
31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | |
32 | C 2 ×C 8 | 16 | 8 | 31, 3 | 63 | C 6 ×C 6 | 36 | 6 | 2, 5 |
Применение
История
Вклад в исследование структуры мультипликативной группы кольца вычетов внесли Артин , Билхарц, Брауэр , Вильсон, Гаусс , Лагранж , Лемер, Уоринг , Ферма, Хули, Эйлер .
Лагранж доказал лемму о том, что если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): f(x) \in k[x]
, и k - поле, то f имеет не более n различных корней, где n - степень f. Он же доказал важное следствие этой леммы, заключающееся в сравнении Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): x^{p-1}-1
≡ Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
не найден; См. math/README - справку по настройке.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)
. Эйлер доказал малую теорему Ферма . Уоринг сформулировал теорему Вильсона, а Лагранж её доказал. Эйлер предположил существование примитивных корней по модулю простого числа. Гаусс это доказал. Артин выдвинул свою гипотезу о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. Брауэр внес вклад в исследование проблемы существования наборов последовательных целых чисел, каждое из которых - k-ая степень по модулю p. Билхарц доказал аналог гипотезы Артина. Хули доказал гипотезу Артина с предположением справедливости расширенной гипотезы Римана в полях алгебраических чисел.
Напишите отзыв о статье "Мультипликативная группа кольца вычетов"
Примечания
Литература
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М .: Мир, 1987.
- Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С. Черемушкин А.В. Основы криптографии. - Москва: «Гелиос АРВ», 2002.
- Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б. Теоретическая криптография. - Санкт-Петербург: НПО «Профессионал», 2004.
Ссылки
- Бухштаб А. А. Теория чисел. - М .: Просвещение, 1966.
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Отрывок, характеризующий Мультипликативная группа кольца вычетов
– Я не странная – я просто живая. Но живу я среди двух миров – живого и мёртвого... И могу видеть то, что многие, к сожалению, не видят. Потому, наверное, мне никто и не верит... А ведь всё было бы настолько проще, если бы люди послушали, и хотя бы на минуту задумались, пусть даже и не веря... Но, думаю, что если это и случится когда-нибудь, то уж точно не будет сегодня... А мне именно сегодня приходится с этим жить...– Мне очень жаль, милая... – прошептал человек. – А ты знаешь, здесь очень много таких, как я. Их здесь целые тысячи... Тебе, наверное, было бы интересно с ними поговорить. Есть даже и настоящие герои, не то, что я. Их много здесь...
Мне вдруг дико захотелось помочь этому печальному, одинокому человеку. Правда, я совершенно не представляла, что я могла бы для него сделать.
– А хочешь, мы создадим тебе другой мир, пока ты здесь?.. – вдруг неожиданно спросила Стелла.
Это была великолепная мысль, и мне стало чуточку стыдно, что она мне первой не пришла в голову. Стелла была чудным человечком, и каким-то образом, всегда находила что-то приятное, что могло принести радость другим.
– Какой-такой «другой мир»?.. – удивился человек.
– А вот, смотри... – и в его тёмной, хмурой пещере вдруг засиял яркий, радостный свет!.. – Как тебе нравится такой дом?
У нашего «печального» знакомого счастливо засветились глаза. Он растерянно озирался вокруг, не понимая, что же такое тут произошло... А в его жуткой, тёмной пещере сейчас весело и ярко сияло солнце, благоухала буйная зелень, звенело пенье птиц, и пахло изумительными запахами распускающихся цветов... А в самом дальнем её углу весело журчал ручеек, расплёскивая капельки чистейшей, свежей, хрустальной воды...
– Ну, вот! Как тебе нравится? – весело спросила Стелла.
Человек, совершенно ошалевши от увиденного, не произносил ни слова, только смотрел на всю эту красоту расширившимися от удивления глазами, в которых чистыми бриллиантами блестели дрожащие капли «счастливых» слёз...
– Господи, как же давно я не видел солнца!.. – тихо прошептал он. – Кто ты, девочка?
– О, я просто человек. Такой же, как и ты – мёртвый. А вот она, ты уже знаешь – живая. Мы гуляем здесь вместе иногда. И помогаем, если можем, конечно.
Было видно, что малышка рада произведённым эффектом и буквально ёрзает от желания его продлить...
– Тебе правда нравится? А хочешь, чтобы так и осталось?
Человек только кивнул, не в состоянии произнести ни слова.
Я даже не пыталась представить, какое счастье он должен был испытать, после того чёрного ужаса, в котором он ежедневно, и уже так долго, находился!..
– Спасибо тебе, милая... – тихо прошептал мужчина. – Только скажи, как же это может остаться?..
– О, это просто! Твой мир будет только здесь, в этой пещере, и, кроме тебя, его никто не увидит. И если ты не будешь отсюда уходить – он навсегда останется с тобой. Ну, а я буду к тебе приходить, чтобы проверить... Меня зовут Стелла.
– Я не знаю, что и сказать за такое... Не заслужил я. Наверно неправильно это... Меня Светилом зовут. Да не очень-то много «света» пока принёс, как видите...
– Ой, ничего, принесёшь ещё! – было видно, что малышка очень горда содеянным и прямо лопается от удовольствия.
– Спасибо вам, милые... – Светило сидел, опустив свою гордую голову, и вдруг совершенно по-детски заплакал...
– Ну, а как же другие, такие же?.. – тихо прошептала я Стелле в ушко. – Их ведь наверное очень много? Что же с ними делать? Ведь это не честно – помочь одному. Да и кто дал нам право судить о том, кто из них такой помощи достоин?
Стеллино личико сразу нахмурилось...
– Не знаю... Но я точно знаю, что это правильно. Если бы это было неправильно – у нас бы не получилось. Здесь другие законы...
Вдруг меня осенило:
– Погоди-ка, а как же наш Гарольд?!.. Ведь он был рыцарем, значит, он тоже убивал? Как же он сумел остаться там, на «верхнем этаже»?..
– Он заплатил за всё, что творил... Я спрашивала его об этом – он очень дорого заплатил... – смешно сморщив лобик, серьёзно ответила Стелла.
– Чем – заплатил? – не поняла я.
– Сущностью... – печально прошептала малышка. – Он отдал часть своей сущности за то, что при жизни творил. Но сущность у него была очень высокой, поэтому, даже отдав её часть, он всё ещё смог остаться «на верху». Но очень мало кто это может, только по-настоящему очень высоко развитые сущности. Обычно люди слишком много теряют, и уходят намного ниже, чем были изначально. Как Светило...
Это было потрясающе... Значит, сотворив что-то плохое на Земле, люди теряли какую-то свою часть (вернее – часть своего эволюционного потенциала), и даже при этом, всё ещё должны были оставаться в том кошмарном ужасе, который звался – «нижний» Астрал... Да, за ошибки, и в правду, приходилось дорого платить...
– Ну вот, теперь мы можем идти, – довольно помахав ручкой, прощебетала малышка. – До свидания, Светило! Я буду к тебе приходить!
Мы двинулись дальше, а наш новый друг всё ещё сидел, застыв от неожиданного счастья, жадно впитывая в себя тепло и красоту созданного Стеллой мира, и окунаясь в него так глубоко, как делал бы умирающий, впитывающий вдруг вернувшуюся к нему жизнь, человек...
– Да, это правильно, ты была абсолютно права!.. – задумчиво сказала я.
Стелла сияла.
Пребывая в самом «радужном» настроении мы только-только повернули к горам, как из туч внезапно вынырнула громадная, шипасто-когтистая тварь и кинулась прямо на нас...
– Береги-и-сь! – взвизгнула Стела, а я только лишь успела увидеть два ряда острых, как бритва, зубов, и от сильного удара в спину, кубарем покатилась на землю...
От охватившего нас дикого ужаса мы пулями неслись по широкой долине, даже не подумав о том, что могли бы быстренько уйти на другой «этаж»... У нас просто не было времени об этом подумать – мы слишком сильно перепугались.
Тварь летела прямо над нами, громко щёлкая своим разинутым зубастым клювом, а мы мчались, насколько хватало сил, разбрызгивая в стороны мерзкие слизистые брызги, и мысленно моля, чтобы что-то другое вдруг заинтересовало эту жуткую «чудо-птицу»... Чувствовалось, что она намного быстрее и оторваться от неё у нас просто не было никаких шансов. Как на зло, поблизости не росло ни одно дерево, не было ни кустов, ни даже камней, за которыми можно было бы скрыться, только в дали виднелась зловещая чёрная скала.
– Туда! – показывая пальчиком на ту же скалу, закричала Стелла.
Но вдруг, неожиданно, прямо перед нами откуда-то появилось существо, от вида которого у нас буквально застыла в жилах кровь... Оно возникло как бы «прямо из воздуха» и было по-настоящему ужасающим... Огромную чёрную тушу сплошь покрывали длинные жёсткие волосы, делая его похожим на пузатого медведя, только этот «медведь» был ростом с трёхэтажный дом... Бугристая голова чудовища «венчалась» двумя огромными изогнутыми рогами, а жуткую пасть украшала пара невероятно длинных, острых как ножи клыков, только посмотрев на которые, с перепугу подкашивались ноги... И тут, несказанно нас удивив, монстр легко подпрыгнул вверх и....подцепил летящую «гадость» на один из своих огромных клыков... Мы ошарашено застыли.
– Бежим!!! – завизжала Стелла. – Бежим, пока он «занят»!..
И мы уже готовы были снова нестись без оглядки, как вдруг за нашими спинами прозвучал тоненький голосок:
– Девочки, постойте!!! Не надо убегать!.. Дин спас вас, он не враг!
Мы резко обернулись – сзади стояла крохотная, очень красивая черноглазая девочка... и спокойно гладила подошедшее к ней чудовище!.. У нас от удивления глаза полезли на лоб... Это было невероятно! Уж точно – это был день сюрпризов!.. Девочка, глядя на нас, приветливо улыбалась, совершенно не боясь рядом стоящего мохнатого чудища.
– Пожалуйста, не бойтесь его. Он очень добрый. Мы увидели, что за вами гналась Овара и решили помочь. Дин молодчина, успел вовремя. Правда, мой хороший?
«Хороший» заурчал, что прозвучало как лёгкое землетрясение и, нагнув голову, лизнул девочку в лицо.
– А кто такая Овара, и почему она на нас напала? – спросила я.
– Она нападает на всех, она – хищник. И очень опасна, – спокойно ответила девчушка. – А можно спросить, что вы здесь делаете? Вы ведь не отсюда, девочки?
– Нет, не отсюда. Мы просто гуляли. Но такой же вопрос к тебе – а, что ты здесь делаешь?
Я к маме хожу... – погрустнела малышка. – Мы умерли вместе, но почему-то она попала сюда. И вот теперь я живу здесь, но я ей этого не говорю, потому что она никогда с этим не согласится. Она думает, что я только прихожу...
– А не лучше ли и вправду только приходить? Здесь ведь так ужасно!.. – передёрнула плечиками Стелла.
– Я не могу её оставить здесь одну, я за ней смотрю, чтобы с ней ничего не случилось. И вот Дин со мной... Он мне помогает.
Я просто не могла этому поверить... Эта малюсенькая храбрая девчушка добровольно ушла со своего красивого и доброго «этажа», чтобы жить в этом холодном, ужасном и чужом мире, защищая свою, чем-то сильно «провинившуюся», мать! Не много, думаю, нашлось бы столь храбрых и самоотверженных (даже взрослых!) людей, которые решились бы на подобный подвиг... И я тут же подумала – может, она просто не понимала, на что собиралась себя обречь?!
– А как давно ты здесь, девочка, если не секрет?
– Недавно... – грустно ответила, теребя пальчиками чёрный локон своих кудрявых волос, черноглазая малышка. – Я попала в такой красивый мир, когда умерла!.. Он был таким добрым и светлым!.. А потом я увидела, что мамы со мной нет и кинулась её искать. Сначала было так страшно! Её почему-то нигде не было... И вот тогда я провалилась в этот ужасный мир... И тут её нашла. Мне было так жутко здесь... Так одиноко... Мама велела мне уходить, даже ругала. Но я не могу её оставить... Теперь у меня появился друг, мой добрый Дин, и я уже могу здесь как-то существовать.
Её «добрый друг» опять зарычал, от чего у нас со Стеллой поползли огромные «нижнеастральные» мурашки... Собравшись, я попыталась немного успокоиться, и начала присматриваться к этому мохнатому чуду... А он, сразу же почувствовав, что на него обратили внимание, жутко оскалил свою клыкастую пасть... Я отскочила.
– Ой, не бойтесь пожалуйста! Это он вам улыбается, – «успокоила» девчушка.
Да уж... От такой улыбки быстро бегать научишься... – про себя подумала я.
– А как же случилось, что ты с ним подружилась? – спросила Стелла.
– Когда я только сюда пришла, мне было очень страшно, особенно, когда нападали такие чудища, как на вас сегодня. И вот однажды, когда я уже чуть не погибла, Дин спас меня от целой кучи жутких летающих «птиц». Я его тоже испугалась вначале, но потом поняла, какое у него золотое сердце... Он самый лучший друг! У меня таких никогда не было, даже когда я жила на Земле.
– А как же ты к нему так быстро привыкла? У него внешность ведь не совсем, скажем так, привычная...
– А я поняла здесь одну очень простую истину, которую на Земле почему-то и не замечала – внешность не имеет значения, если у человека или существа доброе сердце... Моя мама была очень красивой, но временами и очень злой тоже. И тогда вся её красота куда-то пропадала... А Дин, хоть и страшный, но зато, всегда очень добрый, и всегда меня защищает, я чувствую его добро и не боюсь ничего. А к внешности можно привыкнуть...
В §1.1 было дано аксиоматическое определение поля, введены понятия и приведены примеры простого и расширенного поля.
Обобщением сказанного в §1.1 и §1.3 являются следующие определения:
1.Для простых полей:
2.Для расширенных полей:
К многочлену π (x),кроме требования неприводимости, предъявляется ещё одно принципиальное требование – ненулевые элементы поля являются степенями корня α многочлена π(x) .
Если ненулевые элементы поля GF(m ) могут быть представлены как степени некоторого элемента α, то α называют примитивным элементом этого поля.
В §1.1 было показано, что поле GF(2 2 ) в качестве ненулевых элементов имеет 1, α, 1+α, где α- корень π(x)=1+x+x 2 ,т.е.1+α+α 2 =0. Поскольку 1=α 0 , а 1+α=α 2 , то все ненулевые элементы GF(2 2 ) представляются степенями корня π(x) .Элемент α является примитивным элементом GF (2 2 ) , а π(х)=1+х+х 2 является примитивным неприводимым многочленом.
Рассмотрим поле GF(5). Поскольку 5- простое число, то кольцо классов вычетов по модулю 5 образует поле GF(5). Таблицы сложения и умножения по модулю 5 приведены в §1.3. Для этого поля также существует примитивный элемент, степени которого дают все ненулевые элементы поля. Например, 2 0 =1, 2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =8=3,2 4 =16=1,2 5 =32=2.
Эти примеры могут быть обобщены следующим образом. В любой конечной мультипликативной группе можно рассмотреть совокупность элементов, образованную некоторым элементом g и его степенями g 2 , g 3 и т.д. Так как группа имеет конечное число элементов,то неизбежно появится повторение, т.е. для некоторых i и j будет g i =g j .
Если наблюдается g i =g j , то g j - i =1. Следовательно, некоторая степень элемента g равна 1. Пусть e – наименьшее положительное число , при котором g e =1. Совокупность элементов 1, g, g 2 , ..., g e -1 образует подгруппу по операции умножения, т.к. налицо единичный элемент 1, замкнутость, наличие обратных элементов: для g i обратный элемент g e - i . Группа, состоящая из всех степеней одного из ее элементов получила, название циклической группы .
Число e называется порядком элемента g .
Обобщением изложенного выше является следующее:
Если мультипликативная группа порядка q содержит циклическую подгруппу из e элементов, порожденную некоторым элементом g, то число смежных классов в разложении группы по циклической подгруппе будет равно q/e и каждый смежный класс также будет содержатьe элементов. Значит справедливо следующее утверждение:
где φ (e ) – функция Эйлера , равная числу чисел взаимно простых с e и меньших e . Функция Эйлера может быть вычислена следующим образом:
если
e
– составное число вида e
=
,
гдеp
i
> 1 – простое, а l
i
– натуральное число и i
= 1,2,
...
t
,
то
φ(e
)
=
.
В частности, для простого р и целого а
φ(р а )= р а - р а-1 , φ(р ) = р – 1.
Кроме того,
φ(а 1 ×а 2) = φ(а 1)φ(а 2),
если а 1 и а 2 взаимно просты.
Например:
φ(1) = 1, φ(4) = 2,
φ(2) = 1, φ(5) = 4,
φ(3) = 2, φ(6) = 2.
Пример1.4.1 . Определить число элементов Ni поля GF(2 6) порядка i = 1, 3, 7, 9, 21, 63.
Решение: Ni = φ(i), где φ(i) – функция Эйлера, для вычисления которой необходимо знать каноническое разложение числа i:
1=1, 3=3, 7=7, 9=3 2 , 21=3×7, 63=3 2 ×7.
Теперь находим:
N9 = φ(9) = 9(1-1/3) = 9×2/3 = 6,
N21 = φ(21) = 21(1-1/3)(1-1/7) = 21×2/3×6/7 = 12,или φ(21)=φ(3)φ(7)=2×6=12,
N63 = φ(63) = 63(1-1/3)(1-1/7) = 63×2/3×6/7 = 36.
Рассмотренные числа 1, 3, 7, 9, 21, 63 являются делителями числа 63 и поэтому определяют все возможные порядки элементов мультипликативной группы поля GF(2 6). Полученный результат может быть обобщен следующим образом:
Важным
следствием из рассмотренного является
следующее.Пусть а
– примитивный элемент GF(p m)
Порядок а
равен p m -1,
т.е α
=1.Если
среди элементов поля GF(p m)
есть элемент β порядка p r -1 ,
где r
< m,
т.е. βα,то
последовательность элементов β 1 ,
β 2 ,
…,
=
,
образует циклическую подгруппу
мультипликативной группыGF(p m),
т.е. содержит все ненулевые элементы
нового поля GF(p r),являющегося
подполем GF(p m).Итак,
В § 2.1 будет показано, что p r -1 делит p m -1,если r делит m. Таким образом, окончательно
Пример 1.4.2 .В качестве примера рассмотрим подполя поля GF(2 12). Число 12 делится на числа 6,4,3 и 2, т.е. в составе поля GF(2 12) существуют в качестве подполей поля GF(2 6), GF(2 4), GF(2 3), GF(2 2). Так как любое расширенное поле содержит основное поле, то в каждом из указанных полей содержится поле GF(2). Найдем циклические группы рассматриваемых полей. Обозначим примитивные элементы полей:
GF(2 12)→α,GF(2 6)→β,GF(2 4)→γ,GF(2 3)→δ,GF(2 2)→ε,GF(2)→ζ.
Выразим ненулевые элементы полей через степени примитивных элементов:
GF(2 12): α 1 , α 2 ,α 3 ,… ,α 4095 =α -1 =1= α 0 и порядок α равен 4095;
GF(2 6) : β 1 , β 2 ,β 3 ,… ,β 63 =β -1 =1=β 0 и порядок β равен 63; GF(2 4) : γ 1 , γ 2 ,γ 3 ,… ,γ 15 =γ -1 = 1=γ 0 и порядок γ равен 15; GF(2 3) : δ 1 , δ 2 ,δ 3 ,… ,δ 7 =δ -1 = 1=δ 0 и порядок δ равен 7; GF(2 2) : ε 1 , ε 2 ,ε 3 =ε -1 = 1=ε 0 и порядок ε равен 3; GF(2) : ζ 1 = ζ -1 =1 = ζ 0 и порядок ζ равен 1.
Элементы полей GF(2 6), GF(2 4), GF(2 3), GF(2 2) и GF(2) входят в состав GF(2 12). При этом β = α 65 , т.к. β 63 = α 4095 = 1 = (α 65) 63 . Аналогично γ = α 273 ,δ = α 585 , ε = α 1365 , ζ = α 4095 . Связь между рассмотренными полями иллюстрирует рис.1.1.
Рис.1.1. Поле GF(2 12) и его подполя
Глава.2.Многочлен Х n -1, его корни и неприводимые сомножители
2.1 .Связь между корнями Х n -1 и элементами поля GF ( q )
Многочлен Х n -1, его неприводимые сомножители и их корни играют существенную роль в построении важнейшего класса групповых кодов -циклических кодов. Знание корней сомножителей Х n -1 позволяет решить задачу выбора требуемого кода для конкретного дискретного канала.
Рассмотрим общий случай:
Пусть Х n -1 задан над полем GF(q). Известно, что GF(q) имеет циклическую группу из q-1 своих ненулевых элементов.
Порядок каждого ненулевого элемента GF(q) не может быть выше q-1, а это означает, что α q -1 =1 для любого ненулевого элемента α из GF(q),т.е. любой ненулевой элемент GF(q) обращает Х q -1 -1 в нуль, а, значит, является его корнем. Поскольку Х q -1 -1 имеет ровно q-1 корней, то, следовательно, все ненулевые элементы GF(q) являются корнями Х q -1 -1.
Таким образом,
В случае двоичных циклических кодов нас интересуют многочлены с корнями из расширенных полей Галуа GF(2 m). В соответствии с полученным выше результатом справедливо утверждение:
Важно уметь сопоставлять совокупности элементов GF(q), в частном случае GF(2 m), с корнями неприводимых сомножителей Х q -1 -1 (в двоичном случае с корнями Х -1 -1), ровно как и с корнями Х n -1 при произвольном n.
При выявлении сомножителей Х n -1 полезны следующие свойства, характеризующие связи между элементами GF(q) и многочленами, являющимися делителями Х n -1.
Свойство
1
. Наличие в
двучлене Х n -1
сомножителей вида Х m -1,
где m Пусть
n=m×d,
где n,
m
и d-целые
положительные числа. Рассмотрим двучлен
У d -1.Очевидно,
что при У=1 он обращается в нуль, и 1
является корнем У d -1. Тогда
по теореме Безу У d -1
делится на У-1.Положим, что У = Х m .
Тогда, очевидно, Х md -1
делится на Х m -1.Таким
образом, справедливо следующее: Свойство
2.
Поля Галуа
GF(p m),
образованные классами вычетов многочленов
по модулю примитивного неприводимого
над полем GF(p)
многочлена π(x)
степени m,
называют полями характеристики
р при любомвыборе m.В
поле GF(p)
элемент p=0. В
поле характеристики p
для любых чисел a
и b
справедлива биноминальная теорема: (a+b) p
= a p
+
Ca p-1 b
+ Ca p-2 b 2
+…+ b p , где
C i p-биноминальные
коэффициенты, вычисляемые по формуле: Поэтому
справедливо: Свойство
3.
Пусть
многочлен f(x)=a0+a1x+...+amx m
степени m
неприводим в поле
GF(p).
Рассмотрим (f(x)) p . По
предыдущему свойству: (f(x)) p
= (а 0) p +(a1x 1)+...+(amx m) p = A0 p +a1 p (x p) ’ +...+am p (x p) m = A0+a1(x p) ’ +...+am(x p) m
= f(x p). Этот
результат получен в силу того, что для
любого элемента a i
из GF(p)
справедливо: ai p -1
= 1 и ai p
= ai. Пусть
β - корень f(x),
тогда f(β)
= 0. В
силу полученного результата (f(β)) p
= f(β p)
= 0, т.е. для любого корня β многочлена
f(x)
справедливо утверждение, что β p
также является корнем f
(x
).
Так как неприводимый многочлен f
(x
)
степени m
имеет всего m
корней
и один из его корней есть β, то m
степеней β от р 0 =1
до p m -1
являются
корнями f(x
),
т. е. справедливо: Если
f
(x
)
- многочлен степени m
с коэффициентами из поля GF
(p
),
неприводимый в этом поле, и β – корень
f(x
),
то β, β p ,…,
β р Свойство
4.
Прямым
следствием из свойства 3 является
следующее: Все корни
неприводимого многочлена имеют один и
тот же порядок. Для
доказательства этого свойства предположим,
что корнями некоторого неприводимого
многочлена f
(x
)
степени m
является β,
имеющий порядок e
и
β,
имеющий порядокl
.
Тогда (β) e
=
(β e
)=1,
и поэтомуe
делится
на l
.
Аналогично, β l
=
(β) l
=β Свойство
5.
Выше было
показано однозначное соответствие
между ненулевыми элементами GF
(p
m
)
и корнями двучлена Х х-
х
= 0. Данный
результат известен в литературе как
теорема
Ферма
: Любой
элемент α
поля
GF
(
p
m
)
удовлетворяет тождеству
α=α
или, эквивалентно, является корнем
уравнения
х-
х = 0
.
Следствием
теоремы Ферма является тот факт, что
двучлен х-
х
может
быть представлен в виде произведения
p
m
сомножителей
следующим образом: где
a
i
=
GF
(p
m
),
т. е. все элементы a
i
или GF
(p
m
)
являются корнями двучлена
х-
х
,
причём каждый корень встречается только
один раз. Выше
мы показывали, что элемент поля GF
(p
m
)
α
порядка
p
m
-1
называется
примитивным и любой ненулевой элемент
поля являются степенью α
,
т. е. для ненулевых элементов a
i
справедливо
a
i
=
α
i
,
где i принимает значение от 1
до p
m
-1. Свойство
6.
Свойство
3 устанавливает связь между
последовательностями корней неприводимого
многочлена f
(x
).
Естественно считать что корень f
(x
)
– элемент расширенного поля GF
(p
m
).
Какой может быть максимальная степень
неприводимого многочлена с корнями из
GF
(p
m
)
или что тоже самое – какова максимальная
степень неприводимого сомножителя х-
х
? Ответ
на этот вопрос даёт анализ возможной
максимальной степени в последовательности
корней: Удобно
рассматривать последовательность
степеней в выражении корня через
примитивный элемент поля
GF
(p
m
).
Тогда приведённая выше последовательность
корней однозначно соответствует
последовательности степеней примитивного
элемента: {s
,
p
2
s
,
p
3
s
,…,
p где
m
s
– наименьшее положительное число,
такое, что p×s
=s
по модулю
p
m
-1
.
Модуль p
m
-1
отражает порядок примитивного элемента
поля. В последовательности степеней
корней следующая степень β=β
,
т.е. Максимальная
степень неприводимого многочлена в
разложении - ,
равно как и в разложении многочлена
-
, равна m
. Последовательность,
взятая в фигурные скобки, получившая
название циклотомического класса, в
зависимости от значения s
может
содержать m
s
≤ m
элементов.
Число s, стоящее в начале циклотомического
класса, получило название образующего
или представителя циклотомического
класса. Ниже будет показано, что число
элементов в циклотомическом классе m s
должно быть
делителем числа m. Справедливо следующее: Множество
целых чисел, отображающих степени
примитивного элемента α
поля
GF
(p
m
)
в представлении ненулевых элементов
поля в виде циклической группы распадается
на подмножества, называемые циклотомическими
классами по модулю p
m
-1.
Каждый
циклотомический класс однозначно
соответствует одному из неприводимых
сомножителей
- . Понятно,
что: Полное
число циклотомических классов для поля
GF
(p
m
)
совпадает с числом неприводимых
сомножителей многочлена - ,
и множество
элементов, охватыаемых циклотомическими
классами, отображает все ненулевые
элементы поля GF
(p
m
). Например,
циклотомическими классами по модулю
15
для
p
=2
являются: С
0(15)
={0
}, C
1(15)
={1
,2
,4
,8
}, C
3(15)
={3
,6
,12
,9
}, C
5(15)
={5
,10
}, C
7(15)
={7
,14
,13
,11
}. Здесь
С
S
(15)
обозначает
циклотомический класс по модулю 15,
начинающийся с числа s
. Анализ
приведённых последовательностей
означает, что двучлен
x
15
+1
над полем GF
(2
)
состоит из 5
неприводимых сомножителей: одного
сомножителя 1-ой степени с корнем порядка
1, одного сомножителя 2-ой степени с
корнем порядка 3 и трёх сомножителей
степени 4, два из которых имеют порядок
корней 15, а один – имеет порядок корней
5. Результаты этого анализа показывают,
что последовательность C
0(15)
соответствует
многочлену x
+1;
последовательность C
5(15)
соответствует
многочлену 2-ой степени с корнями порядка
3 – это многочлен
x
2 +
x +1 –
неприводимый сомножитель двучлена
x
3 +1;
последовательность
C
3(15)
соответствует
неприводимому сомножителю 4-ой степени
двучлена
x
5 +1=
(x
+1)(
x
4 +
x
3 +
x
2 +
x
+1), отсюда и порядок корней равный пяти.
Многочлены, соответствующие
последовательностям C
1(15)
и
C
7(15)
могут
быть найдены на основе теоремы Безу: f
1
(x
)=
(x
+
α
))(x
+
α
2
))(x
+
α
4
))(x
+
α
8
), f
7
(x
)=
(x
+
α
7
)(x
+
α
11
)(x
+
α
13
))(x
+
α
14
). Анализ
многочленов f
1
(x
)
и
f
7
(x
)
будет выполнен ниже. Свойство
7.
Анализ
неприводимых многочленов, входящих в
разложение Х Пусть
f(х)-
неприводимый сомножитель степени d
≤ m
многочлена Х-Х
и пусть β элемент порядкаp d -1
поля GF(p m),
являющийся примитивным элементом
подполя GF(p d)
поля GF(p m),
принадлежит циклической группе GF(p m)
порядка p m -1.Следовательно
p d -1
делит p m -1,
а это возможно только в том случае, когда
d
делит m.
Значит справедливо: Свойство
8.
Аналогичные
рассуждения приводят к следующему
утверждению: Свойство
9.
Рассмотрим
подробнее многочлены над GF(2): f
1
(x
)
= (x
+
α
)(x
+
α
2
)(x
+
α
4
)(x
+
α
8
),
f
7
(x
)
= (x
+
α
7
)(x
+
α
11
)(x
+
α
13
)(x
+2
14
).
Корни
этих многочленов являются элементами
поля GF(2 4).С
учетом правил сложения и умножения в
этом поле простым умножением находим: f
1
(x
)
= 1+
x
+
x
4
,
f
7
(x
)
= 1+
x
3
+
x
4
.
Многочлены
f1(x)
и f7(х)
относятся к двойственным (взаимным)
многочленам. Многочлен
f * (x),
двойственный некоторому многочлену f
(x),
определяется как f * (x)
= х m f(1/х),
где m-степень
f(x). Для
двойственных многочленов f
* (x)
и f(x)
справедливо: 1.Корни
f * (x)
обратны корням f(x). 2.Многочлен
f * (x)
неприводим тогда и только тогда, когда
неприводим f(x). 3.Если
многочлен f(x)
неприводим, то f(x)
и f * (x)
принадлежат к одному и тому же показателю. Тела группа, элементами к рой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле. М. г. поля абелева группа. О. А. Иванова … Математическая энциклопедия
Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия
Теория групп … Википедия
Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия
Группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… … Математическая энциклопедия
Группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K модуля Vс… … Математическая энциклопедия
Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Пусть А? <А, ·> - мультипликативная группа, Н - подмножество множества А, Н?. Определение 1. <Н,·> - называется подгруппой мультипликативной группы
А, если выполняются следующие условия: 1. Н - замкнуто относительно бинарной операции "*" а, b Н, ab H; 2. Существует еН = еА - единственный элемент относительно "°"; 3. а Н существует а-1 Н. Определение 2. Если Н = А или Н = {е}, то <Н,·> - называется несобственной подгруппой группы А. Если Н А, Н - собственное подмножество множества А, то подгруппа называется собственной подгруппой группы А
. Н = А - сама группа А. Н = {е} - единичная подгруппа. циклическая подгруппа группа мультипликативная Пример. Является ли <А, ·>, где А = {1, - 1, i, - i}, i - мнимая единица, группой? 1) Проверим условия мультипликативной группы. "·" - бинарная ассоциативная операция на множестве А. Таблица Кэли для "·" на множестве А. <А, ·> - подгруппа. Важным примером мультипликативных подгрупп являются так называемые мультипликативные циклические подгруппы
. Пусть <А, ·> - группа. Элемент е А - единичный элемент. Элемент а? е, а А. (а) - множество целых степеней элемента а: (а) = {х = а n: n Z, a A, a ? e} Справедлива Теорема 1. < (а), ·> является подгруппой группы <А, ·>. Доказательство. Проверим условия мультипликативной подгруппы. 1) Н = (а) - замкнуто относительно "·": х = а n , y = a l , n,e Z, x, y Н, xy = a n a l = a n+l H, т.к. n + l Z; 2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x; 3) x = a H, x -1 = a -n Н: a n a -n = a -n a n = a 0 = 1. Из 1) - 3) по определению Н имеем < (а), ·> - подгруппа мультипликативной группы А. Определение 3. Пусть <А, ·> - некоторая мультипликативная группа и Порядком элемента а
называется наименьшее натуральное число n такое, что а n = е. Пример. Найти порядки элементов а = - 1, b = i, c = - i мультипликативной группы А = {1; - 1; i; - i} 1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Следовательно, n = 2 - порядок элемента - 1. i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Следовательно, n = 4 - порядок элемента i. i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Следовательно, n = 4 порядок элемента - i. Теорема 2. Пусть <А, ·> - группа, а А, а? е, а - элемент n-го порядка, тогда: 1) Подгруппа (а) группы А имеет вид: (а) = {а 0 = е, а, а 2 , …, а n-1 } - n - элементное множество неотрицательных степеней элемента а; 2) Любая целая степень элемента а k , k Z, принадлежит множеству (а) и a k = e <=> k = nq, n N, q Z. Доказательство. Покажем, что все элементы (а) различны. Предположим противное: a k = a l , k > l, тогда a k-l = e. k - l < n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны. Покажем, что а k , К Z, принадлежит множеству (а). Пусть k = n, k: n, a k = a nq + r = a k Ч a nq + r = (a n) q Ч a r = e q Ч a r = e Ч a r = a r , 0 ? r ? n ? 1 => a k (a). Если r = 0, то k = nq <=> a k = e. Определение 4. Подгруппа < (а), ·>, где (а) = {а 0 = е, а, а 2 , …, а n-1 }, группы А, а - элемент n-го порядка, называется циклической подгруппой группы А
(мультипликативной циклической подгруппой группы А). Определение 5. Группа, совпадающая со своей подгруппой <А, ·>, < (а), ·>, мультипликативной циклической подгруппой, называется циклической группой
. Теорема 3. Всякая мультипликативная циклическая группа является абелевой. Доказательство. А = (а), а? е, а - образующий элемент группы a k , a l A, a k Ч a l = a l Ч a k . Действительно, a k Ч a l = a k+l = a l+k = a l Ч a k , l,k Z.
– все корниf
(x
).
=((β) l
)
=1
=1,
так что l
делится
на e
.
.Поскольку
e
и
l
- целые положительные числа, то e
=
l
,
что и доказывает свойство 4.
-1
.
Определим вид многочлена, корнями
которого являются все элементы поля
GF
(p
m
).
Пусть α
–
произвольный элемент поля порядка p
m
-1
.
Тогда справедливо: α=α,
т.е.α
является корнем уравнения
s}
,
имеющих корни среди элементовGF(2 4)
показывает, что степени всех
неприводимых
многочленов: 1, 2, 4 является делителями
числа 4. Обобщим этот результат следующими
рассуждениями.
модулю n.
Несколько сложнее определяется
мультипликативная группа вычетов по
модулю n. Элементы этой группы образуют
множество Z*n , состоящее из элементов Zn ,
взаимно простых с n. Понятие взаимной
простоты имеет следующий смысл:
если k – целое число, то НОД(a,n) = 1
равносильно НОД(a+kn,n) =1. Теорема 7.
Система
является конечной абелевой группой. Доказательство.
Проверим, что любой элемент имеет
обратный в смысле групповой операции.
(Нейтральным элементом является класс С1).
Чтобы найти обратный к элементу а, рассмотрим
тройку (d,x,y), выдаваемую процедурой
Extended-Euclid(a,n). Поскольку
, числа a и n
взаимно просты и d= НОД(a,b) = 1, поэтому
ax + ny = 1 и
, таким образом,
элемент является обратным к
в группе
.Единственность обратного можно доказать
(как и для любой группы) следующим образом:
если х и х’ обратны к а, то
,
а переставив скобки по ассоциативности,
получим
, ч.т.д. В дальнейшем мы для простоты будем обозначать сложение и умножение по модулю обычными знаками + и ∙ (иногда опуская знак умножения), а аддит
В дальнейшем мы для простоты будем обозначать
сложение и умножение по модулю обычными
знаками + и ∙ (иногда опуская знак умножения), а
аддитивную и мультипликативную группы
вычетов по модулю n будем обозначать Zn и Z*n
(не упоминая групповую операцию). Элемент,
обратный (относительно операции умножения)
к а, мы будем обозначать а-1mod n. Как обычно,
частное a/b в Z*n определяется как
аb-1(mod n). Например, в
имеем
(mod 15),
поскольку
, откуда
. 5) Количество обратимых элементов в кольце вычетов.
Количество обратимых элементов в кольце
вычетов, т.е. число элементов в
,
обозначается
. Функция называется
- функцией Эйлера. Можно доказать такую формулу для функции Эйлера: (3) где p1,….,ps – список всех простых делителей числа n. Можно пояснить эту формулу так: случа
Можно доказать такую формулу для функции
Эйлера:
(3)
где p1,….,ps – список всех простых делителей
числа n. Можно пояснить эту формулу так:
случайное число t взаимно просто с n, если
оно не делится на p1 (вероятность чего есть
(1-1/p1)), не делится на p2 (вероятность (1-1/p2))
и т.д., а события эти независимы.Например,
,
поскольку простыми делителями числа 45
являются числа 3 и 5. Для простого числа
имеем
(4)
т.к. все числа 1,2,…, p -1 взаимно просты с p.
Если число n составное, то 6) Подгруппы.
Пусть
является группой, а
.
Если
тоже является группой, то
называют подгруппой группы
. Например,
четные числа образуют подгруппу целых чисел
(с операцией сложения).10. Если является подгруппой конечной группы, то делит.
Теорема 8 (Лагранж).
Если
является подгруппой конечной группы
то
делит.
,11. Доказательство.
Можно найти в учебниках алгебры (группа S
разбивается на непересекающиеся классы
вида
, каждый из которых содержит
элементов).
Подгруппа S’ группы S, не совпадающая со
всей группой, называется собственной
подгруппой.12. Следствие 8.1.
Если S’ является собственной подгруппой конечной
группы S, то
.
Это (очевидное) следствие теоремы Лагранжа
используется при анализе вероятностного
алгоритма Шиллера – Рабина
(проверка простоты).13. 7) Подгруппа, порожденная элементом группы.
Пусть а – некоторый элемент конечной
группы S. Рассмотрим последовательность
элементов
По аналогии со степенями (групповая операция
соответствует умножению) будем писать
и т.д.
Легко видеть, что
,
в частности
. Аналогичное
утверждение можно сформулировать и для
«отрицательных степеней»,
в частности
.14. Если группа S конечна, то последовательность будет периодической (следующий элемент определяется предыдущим, поэтому раз повторившись, эл
Если группа S конечна, то
последовательность
будет периодической (следующий элемент
определяется предыдущим, поэтому раз
повторившись, элементы будут повторяться по
циклу). Таким образом, последовательность
имеет вид
(дальше все повторяется) и содержит t
различных элементов, где t – наименьшее
положительное число, для которого
.
Это число называется порядком элемента а и
обозначается ord(a).15. Указанные t элементов образуют подгруппу, т.к. групповая операция соответствует сложению «показателей степени». Эта подгруппа называется
Указанные t элементов образуют
подгруппу, т.к. групповая операция соответствует
сложению «показателей степени». Эта подгруппа
называется порожденной элементом а и
обозначается или, если мы хотим явно указать
групповую операцию,(
). Элемент а
называют образующей подгруппы
; говорят,
что он порождает эту подгруппу.
Например, элемент а=2 группы Z6
порождает подгруппу, состоящую из элементов
0,2,4.16. Вот несколько подгрупп группы Z6 , порожденных различными элементами: . Аналогичный пример для мультипликативной группы: здесь Из сказанно
Вот несколько подгрупп группы Z6 ,
порожденных различными элементами:
. Аналогичный
пример для мультипликативной группы
:
здесь
Из сказанного вытекает Теорема 9.17. Пусть - конечная группа. Если, то число элементов в подгруппе, порождаемой а, совпадает с порядком а (т.е.).
Теорема 9.
Пусть
- конечная группа. Если
, то число
элементов в подгруппе, порождаемой а, совпадает с
порядком а (т.е.
).18. Следствие 9.1.
Последовательность
имеет период
t=ord(a);
иначе говоря
, тогда и только тогда,
когда
.
Периодичность позволяет продолжить
последовательность в обе стороны, определив
как
при всяком целом i, в том числе и
отрицательном.19. Следствие 9.2.
В конечной группе
с единицей e для всякого
выполняется равенство
.
Доказательство. По теореме Лагранжа ord(a)
делит, откуда
, где
, ч.т.д.20. 8) Решение линейных диофантовых уравнений.
Нас будут интересовать целочисленные
решения уравнения
(5)
(здесь а, b и n – целые числа; такие уравнения
называют «линейными диофантовыми
уравнениями»). Ясно, что здесь важен лишь
остаток от деления х на n, так что решением (5)
естественно называть не целое число, а элемент
группы Zn, (класс чисел, дающих один и тот же
остаток при делении на n). Таким образом, можно
сформулировать задачу так: есть элементы
,
мы ищем все
, для которых
.21. Напомним, что через обозначается порождённая элементом а подгруппа (в данном случае подгруппа группы Zn). По определению, поэтому уравнени
Напомним, что через
обозначается
порождённая элементом а подгруппа (в данном
случае подгруппа группы Zn). По определению
, поэтому уравнение (5)
имеет хотя бы одно решение тогда и только
тогда, когда
. Сколько элементов в
?
По теореме Лагранжа (T8) это число является
делителем n. В Zn групповая операция – это
сложение т.к. Zn - аддитивная группа, поэтому
.22. Пусть уравнение разрешимо и является его решением. Тогда уравнение имеет d =НОД(а,n) решений в Zn , задаваемых формулой, где i = 0,1,2,... , n - 1.
Теорема 10.
Пусть уравнение
разрешимо и
является его решением. Тогда уравнение имеет
d =НОД(а,n) решений в Zn , задаваемых формулой
, где i = 0,1,2,... , n - 1.23. Доказательство.
Начав с и двигаясь с шагом n/d, мы
сделаем d шагов, прежде чем замкнем круг, т.к.
. Все пройденные числа будут
решениями уравнения
, так как при
увеличении х на n/d произведение ах
увеличивается на n(a/d), т.е. на кратное n. Таким
образом, мы перечислили все d решений.
a =b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
ч.т.д.24. Пусть n > 1. Если НОД(а, n) = 1, то уравнение имеет единственное решение (в Zn). Случай b=1 особенно важен – при этом мы находим обратный к х элемент п
Следствие 10.1
Пусть n > 1. Если НОД(а, n) = 1, то уравнение
имеет единственное решение (в Zn).
Случай b=1 особенно важен – при этом мы
находим обратный к х элемент по модулю п, т.е.
обратный в группе элемент.25. Следствие 10.2
Пусть n > 1. Если НОД(а, n) = 1, то
уравнение ах ≡ 1 (mod n)
(6)
имеет единственное решение в Zn.
При НОД(а, п) > 1 это уравнение решений не
имеет.
Тем самым мы научились вычислять
обратный элемент в группе за O(log n)
арифметических операций.26. 9) Китайская теорема об остатках.
Около 100 г. до Р.X. китайский математик Сун
Цу решил такую задачу: найти число, дающее
при делении на 3, 5 и 7 остатки 2, 3 и 2
соответственно (общий вид решения 23+105k
при целых k). Поэтому утверждение об
эквивалентности системы сравнений по взаимно
простым модулям и сравнения по модулю
произведения называют «китайской теоремой об
остатках».27. Пусть некоторое число п представлено в виде произведения попарно взаимно простых чисел. Китайская теорема об остатках утверждает, что кол
Пусть некоторое число п представлено в виде
произведения попарно взаимно простых чисел
. Китайская теорема об остатках
утверждает, что кольцо вычетов Zn устроено как
произведение колец вычетов
(с покомпонентным сложением и умножением).
Это соответствие полезно и с алгоритмической
точки зрения, так как бывает проще выполнить
операции во всех множествах Zni , чем
непосредственно в Zn.28. 10) Степени элемента.
Рассмотрим в мультипликативной группе
вычетов
последовательность степеней
некоторого элемента а:
(7)
Мы начинаем счет с нуля, полагая
;
i-й член последовательности степеней числа 3 по
модулю 7 имеет вид:
а для степеней числа 2 по модулю 7 имеем:29. 11) Теорема 11 (Эйлер).
Если n>1 – целое число, то
для всякого
, где
(8)
- фи-функция Эйлера.
Без доказательства.
При простом n теорема превращается в «малую
теорему Ферма».30. 12) Теорема 12 (малая теорема Ферма).
Если р – простое число, то
(9)
для всякого
.
Доказательство. Поскольку число р – простое,
= р-1 , ч.т.д.31. Следствие 12.1. Пусть p – простое число Следствие 12.2. Пусть p – простое число, тогда теорема Ферма будет применима и к а=0.
32. 13) Теорема 13 (Усиление теоремы Эйлера).
Пусть n=pq, где p и q – разные простые числа.
Тогда для любого целого числа а и для любого
натурального k справедливо тождество
.33. ч.т.д.
Доказательство.
ч.т.д.34. 14) Вычисление степеней повторным возведением в квадрат.
Возведение в степень по модулю играет важную
роль при проверке чисел на простоту, а также в
криптосистеме RSA. Как и для обычных чисел,
повторное умножение – не самый быстрый
способ; лучше воспользоваться алгоритмом
повторного возведения в квадрат.35. Пусть мы хотим вычислить ab mod n, где а – вычет по модулю n, a b – целое неотрицательное число, имеющее в двоичной записи вид (bk,bk-1,... ,b1,b0) (число з
Пусть мы хотим вычислить ab mod n, где
а – вычет по модулю n, a b – целое
неотрицательное число, имеющее в двоичной
записи вид (bk,bk-1,... ,b1,b0) (число знаков
считаем равным k + 1; старшие разряды, как
обычно, слева). Мы вычисляем ас mod n для
некоторого с, которое возрастает и, в конце
концов, становится равным b.36. При умножении с на 2 число ас возводится в квадрат, при увеличении с на 1 число ас умножается на a. На каждом шаге двоичная запись с сдвигается
на 1 влево, после
чего, если надо(bi=1), последняя цифра
двоичной записи меняется с 0 на 1. (3аметим,
что переменная с фактически не используется и
может быть опущена.)37. Оценим время работы процедуры. Если три числа, являющиеся её исходными данными, имеют не более β битов, то число арифметических операций ес
Оценим время работы процедуры. Если
три числа, являющиеся её исходными
данными, имеют не более β битов, то число
арифметических операций есть О(β), а число
битовых – О (β 3).
Пример (а = 7, b = 560, n=561) показан на
рисунке.
Возведение в квадрат – это сдвиг на 1 влево
степени числа.38.
i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
bi
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
c
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
d
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Рис. Работа процедуры возведение в
степень по модулю n
при a = 7, b = 560 = (1000110000) и n = 561.
Показаны значения переменных после
очередного исполнения тела цикла for.
Процедура возвращает ответ 1.