В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.
Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.
При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении
Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности
В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .
где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.
Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.
Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.
Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.
В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности
Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:
Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Доверительные интервалы и этические проблемы
При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.
Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.
Следующая заметка
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462
Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.
Пусть случайая величина Х генеральной совокупности распределена нормально, учитывая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение s этого распределения известны. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней. В данном случае задача сводится к нахождению доверительного интервала для математического ожидания с надёжностью b. Если задаться значением доверительной вероятности (надёжности) b, то можно найти вероятность попадания в интервал для неизвестного математического ожидания, используя формулу (6.9а):
где Ф(t ) – функция Лапласа (5.17а).
В результате можно сформулировать алгоритм отыскания границ доверительного интервала для математического ожидания, если известна дисперсия D = s 2:
- Задать значение надёжности – b .
- Из (6.14) выразить Ф(t) = 0,5× b. Выбрать значение t из таблицы для функции Лапласа по значению Ф(t) (см. Приложение 1).
- Вычислить отклонение e по формуле (6.10).
- Записать доверительный интервал по формуле (6.12) такой, что с вероятностью b выполняется неравенство:
|
|
.Пример 5 .
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти доверительные интервалы для оценки с надежностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания а, если даны:
1) генеральное среднее квадратическое отклонение s = 5;
2) выборочная средняя ;
3) объём выборки n = 49.
В формуле (6.15) интервальной оценки математического ожидания а с надёжностью b все величины, кроме t, известны. Значение t можно найти, используя (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.
По таблице Приложения 1 для функции Лапласа Ф(t) = 0,48 находят соответствующее значение t = 2,06. Следовательно, 
. Подставив в формулу (6.12) вычисленное значение e, можно получить доверительный интервал: 30-1,47 < a < 30+1,47.
Искомый доверительный интервал для оценки с надёжностью b = 0,96 неизвестного математического ожидания равен: 28,53 < a < 31,47.
Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 (> 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x 1 , x 2 ,..., x n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как (подход, которому дано объяснение выше по тексту).
Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:
Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;
Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;
Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.
Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:
P(- a < d) = (1)
Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n = 2 /n, получаем:
P(- a < d) =P(a - d < < a + d) =
Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство
Для любого можно по таблице найти такое число t, что(t)= / 2. Это число t иногда называют квантилем .
Теперь из равенства
определим значение d:
Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:
Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью.
Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.
Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства (t) = / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 / 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).
статистический гипотеза генеральный вариационный
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть - случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s 2 по известным формулам.
Случайная величина
распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы.
Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности и по числу степеней свободы n - 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство
или эквивалентное равенство
Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности, а также от параметров выборки и s.
Чтобы определить значение t по величине, равенство (2) преобразуем к виду:
Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 - и числу степеней свободы n - 1 находим t. Формула (3) дает ответ поставленной задачи.
Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.
Решение. Величина 1 - в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (1943,4; 2056,6).
Доверительный интервал – предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε . На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 .Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:
- доверительный интервал для генерального среднего, доверительный интервал для дисперсии;
- доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, доверительный интервал для генеральной доли;
Пример №1
. В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Пример №2
. Из партии импортируемой продукции на посту Московской Северной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта «А». В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %.
Определите с вероятностью 0,683 пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.
Пример №3
. Опрос 36 студентов показал, что среднее количество учебников, прочитанных ими за учебный год, оказалось равным 6. Считая, что количество учебников, прочитанных студентом за семестр, имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением, равным 6, найти:
А) с надежностью 0,99 интервальную оценку для математического ожидания этой случайной величины;
Б) с какой вероятностью можно утверждать, что среднее количество учебников, прочитанных студентом за семестр, вычисленное по данной выборке, отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 2.
Классификация доверительных интервалов
По виду оцениваемого параметра:
По типу выборки:
- Доверительный интервал для бесконечной выборки;
- Доверительный интервал для конечной выборки;
Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе
Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности .Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности.
| Формулы средней ошибки выборки | |||
| повторный отбор | бесповторный отбор | ||
| для средней | для доли | для средней | для доли |
 |
|||
Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора
Для начала напомним следующее определение:
Будем рассматривать следующую ситуацию. Пусть варианты генеральной совокупности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и среднем квадратическим отклонением $\sigma $. Выборочное среднее в данном случае будет рассматриваться как случайная величина. Когда величина $X$ распределена нормально, выборочное среднее будет также иметь нормальное распределение с параметрами
Найдем доверительный интервал, который покрывает величину $a$ с надежностью $\gamma $.
Для этого нам необходимо, чтобы выполнялось равенство
Из нее получим
Отсюда мы можем легко найти $t$ по таблицы значений функции $Ф\left(t\right)$ и, как следствие, найти $\delta $.
Напомним таблицу значений функции $Ф\left(t\right)$:
Рисунок 1. Таблица значений функции $Ф\left(t\right).$
Доверительный интеграл для оценки математического ожидания при неизвестном ${\mathbf \sigma }$
В этом случае мы будем пользоваться значением исправленной дисперсии $S^2$. Заменяя в выше выведенной формуле $\sigma $ на $S$, получим:
Пример задач на нахождение доверительного интервала
Пример 1
Пусть величина $X$ имеет нормальное распределение с дисперсией $\sigma =4$. Пусть объем выборки $n=64$, а надежность равна $\gamma =0,95$. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания данного распределения.
Нам необходимо найти интервал ($\overline{x}-\delta ,\overline{x}+\delta)$.
Как мы видели выше
\[\delta =\frac{\sigma t}{\sqrt{n}}=\frac{4t}{\sqrt{64}}=\frac{\ t}{2}\]
Параметр $t$ найдем из формулы
\[Ф\left(t\right)=\frac{\gamma }{2}=\frac{0,95}{2}=0,475\]
Из таблицы 1 получаем, что $t=1,96$.
