Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2), компоненты которого удовлетворяют условию А α 1 + В α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках:
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример . Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Решение . Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой
Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.
Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Общее уравнение прямой:
Частные случаи общего уравнения прямой:
а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид
Ax + By = 0,
и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.
б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид
Ax + С = 0, или .
Уравнение не содержит переменной y , а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy .
в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид
By + С = 0, или ;
уравнение не содержит переменной x , а определяемая им прямая параллельна оси Ox .
Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.
г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.
Это уравнение оси Ox .
д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.
Это уравнение оси Oy .
Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Вектора S 1 и S 2 называются направляющими для своих прямых.
Угол между прямыми l 1 и l 2 определяется углом между направляющими векторами.
Теорема 1:
cos угла между l 1 и l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:
Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.
Общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
Частные случаи:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат
2. С=0 Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ
3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX
5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX
6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY
7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ
Взаимное расположение плоскостей и прямых линий в пространстве:
1. Углом между прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =
2. Углом между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =
3. Косинус угла между прямой и плоскостью можно найти через sin угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
4. 2 прямые || в пространстве, когда их || направляющие вектора
5. 2 плоскости || когда || нормальные вектора
6. Аналогично вводятся понятия перпендикулярности прямых и плоскостей.
Вопрос №14
Различные виды уравнения прямой линии на плоскости(уравнение прямой в отрезках, с угловым коэффициентом и др.)
Уравнение прямой в отрезках:
Допустим, что в общем уравнении прямой:
1. С = 0 Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.
2. а = 0 Ву + С = 0 у =
3. в = 0 Ах + С = 0 х =
4. в=С=0 Ах = 0 х = 0
5. а=С=0 Ву = 0 у = 0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Любая прямая, не равная оси ОУ (В не=0), может быть записана в след. виде:
k = tgα α – угол между прямой и положительно направленной линией ОХ
b – точка пересечения прямой с осью ОУ
Док-во:
Ах+Ву+С = 0
Ву= -Ах-С |:В
Уравнение прямой по двум точкам:
Вопрос №16
Конечный предел функции в точке и при x→∞
Конечный предел в точке х 0:
Число А называется пределом функции y = f(x) при x→х 0 , если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что при х ≠x 0 , удовлетворяющее неравенству |х – х 0 | < б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Предел обозначается: = A
Конечный предел в точке +∞:
Число А называется пределом функции y = f(x) при x→ + ∞ , если для любого Е > 0 существует С > 0, такое что при x > C выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
Предел обозначается: = A
Конечный предел в точке -∞:
Число А называется пределом функции y = f(x) при x→-∞, если для любого Е < 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,
y - y 1 = k (x - x 1). (1)
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.
2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле
3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y = k 1 x + B 1 ,
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.
Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , находящиеся в декартовой системе координат.
В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) .
Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) .
Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и координатами лежащих на них точках M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.
Пример 1
Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Решение
Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Ответ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.
Пример 2
Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 (1 , 1) и M 2 (4 , 2) в системе координат О х у.
Решение
Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Ответ: x - 3 y + 2 = 0 .
Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у, которая проходит через точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x - x 1 = 0 .
Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .
Для этого найдем k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .
С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .
Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.
Пример 3
Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 (2 , 1) и y = k x + b .
Решение
Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .
Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.
При подстановке получаем, что
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Теперь значения k = 2 3 и b = - 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x - 1 3 .
Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 (2 , 1) и M 1 (- 7 , - 5) , имеющее вид x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Ответ: y = 2 3 x - 1 3 .
Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.
Имеем, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты (x 1 , y 1 , z 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y , a z) .
Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , где прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.
Пример 4
Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 (2 , - 3 , 0) и M 2 (1 , - 3 , - 5) .
Решение
Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = - 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = - 3 , z 2 = - 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Ответ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter