ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
ПОВЕРХНОСТИ
Пусть Г – линия и - ненулевой вектор, не параллельный плоскости линии Г (если Г плоская линия.
Определение 10. Цилиндрической поверхностью с направляющей Г и образующими, параллельными вектору , принято называть множество точек всех возможных прямых, параллельных вектору и пересекающих линию Г.
Основная задача, которую нужно решить: как найти уравнение цилиндрической поверхности, в случае если даны уравнения линии Г и координаты вектора .
(28)
Остаётся из этих уравнений исключить параметр t.
Получили следующие правила для составления уравнения цилиндрической поверхности:
В случае если направляющая цилиндрической поверхности задаётся уравнениями (27) и образующие параллельны вектору , то для составления уравнения поверхности достаточно в уравнениях (27) заменить х на х - mt, у на у - nt, z на z - рt и из полученных уравнений исключит параметр.
Пример 1.
Составьте уравнение цилиндрической поверхности, в случае если образующие параллельны вектору = {3, 2, -1} и направляющая Г имеет уравнения 
Пример 2 . Составьте уравнение цилиндрической поверхности, в случае если направляющей является линия лежащая в плоскости (ХОУ), а образующие параллельны оси (ОZ).
Решение . Вектор, параллельный образующим, есть вектор . Заменяем в уравнениях направляющей х на х - 0‣‣‣t, ᴛ.ᴇ. х заменяем на х. Аналогично, у заменяем на у. Но z заменяем на z - t. Получим Из второго уравнения z = t. Это значит, что z может независимо от х и у принимать все возможные действительные значения, а х и у связаны тем же уравнением f(х, у) = 0, что и в уравнении направляющей. Уравнение цилиндрической поверхности в данном случае будет f(х, у) = 0.
Следствие . Уравнения , , у 2 = 2рх задают цилиндрические поверхности с направляющими эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Их образующие параллельны оси (ОZ).
В случае если направляющая цилиндрической поверхности есть линия второго порядка, то поверхность принято называть цилиндром второго порядка.
Замечание. Обратите внимание на то, что уравнения f(х, у) = 0, f(х, z) = 0, f(у, z) = 0, задают на плоскостях (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ) соответственно некоторые линии. Но в аффинной системе координат в пространстве они задают цилиндры с образующими, параллельными оси (ОZ), (ОУ) и (ОХ) соответственно.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ" 2017, 2018.
Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей .
Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой
поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:
Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M 1 (х 1 ,у 1 ,0). Так как точки M и М 1 лежат на образующей, то х 1 =х, у 1 =у. А так как точка М 1 лежит на направляющей, то координаты точки М 1 , а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.
Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки
цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение
– искомое уравнение цилиндрической поверхности .
Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:
х 2 +y 2 =z 2 - прямой круговой цилиндр ;
2)
-
эллиптический цилиндр
;
3)
-гиперболический
цилиндр
;
4) у 2 =2рх - параболический цилиндр .
Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.
Конические поверхности
Определение . Конической поверхностью называется множество прямых (образующих ), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую) .
Коническая ПВП - коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.
Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:
То уравнение конической поверхности имеет вид:
– уравнение конической поверхности
Поверхности вращения
Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении .
Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия l уравнением вида
Тогда уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой l вокруг оси OZ имеет вид:
Эллипсоид
Гиперболоид.
Однополостный гиперболоид:
Каноническое
уравнение двухполо
c
ного
гиперболоида
имеет вид:
Параболоид
Эллиптический параболоид.
z=ах 2 +by 2 (а,b>0).
Гиперболический параболоид.
z=-ax 2 +by 2 (a,b>0)
Литература:
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979.
2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.
3. Бузланов А.В., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел». – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1991.
4. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Кармазин А.П. Лабораторные работы по курсу «Алгебра и теория чисел» (раздел «Линейная алгебра») для студентов математического факультета. Часть I, II, III. – Гомель: Ротапринт ГГУ им. Ф. Скорины, 1990, 1991.
5. Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Толкачёв М.М., Феденко А.О. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Мн.: Университетское, 1989.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1982.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
9. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I, II. – Мн.: Вышэйшая школа, 1984, 1987.
10. Рублёв А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Вышэйшая школа, 1972.
Учебное издание
ХОДАЛЕВИЧ АЛЕКСАНДР ДМИТРИЕВИЧ
БОРОДИЧ РУСЛАН ВИКТОРОВИЧ
РЫЖИК ВАЛЕНТИНА НИКОЛАЕВНА
Занятие № 10.
Тема:
Поверхности
вращения.
Цилиндрические поверхности
Теоретические сведения.
1. Поверхности вращения.
Пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.
Пусть
,
тогда ее можно задать уравнениями
Уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси Oz будет иметь вид:
(1)
2. Цилиндрические поверхности .
Пусть в пространстве дана
некоторая плоская линия
и вектор
,
не параллельный плоскости этой линии.
Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .
Иния называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.
Рассмотрим частный случай:
направляющая линия
лежит в плоскости xOy
:
и задается уравнениями:
а направляющий вектор образующих имеет
координаты
,
.
В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид
. (2)
Получите уравнение поверхности вращения (1).
Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).
Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.
Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.
Упражнения.
Основные типовые задачи.
Примеры решения задач.
Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .
Ешение.
Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид
(3)
При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .
Обозначим координаты точки M
(x
,
y
,
z
),
тогда P
(0,
0, z
),
а N(0,
,
z
).
Так как точки M
и N
лежат на окружности с центром в точке
P
,
то
,
.
Последнее равенство запишем в координатах
. (4)
Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)
,
,
.
Возведем последнее равенство в квадрат.
и подставим выражение для
из равенства (4), получим
Уравнение (5) – искомое.
Задача 2.
Составить
уравнение цилиндрической поверхности,
если направляющая лежит в плоскости
xOy
и имеет уравнение
,
а образующие параллельны вектору {1; 2;
–1}.
Пусть точка M
(x
,
y
,
z
)
– произвольная точка цилиндрической
поверхности. Проведем через точку М
образующую l
,
она пересекает направляющую в точке
.
Так как направляющая лежит в плоскости
xOy
,
то
.
Составим канонические уравнения прямой
l
.
Приравняем первую и вторую дроби к последней
(6)
Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:
.
Подставляя выражения для
и
из системы (6), получим
. (7)
(7) – искомое уравнение.
а) эллипса
;
б) гиперболы
;
в) параболы
.
а) Направляющая лежит в плоскости
и имеет уравнение
,
а образующие параллельны вектору {1; 0;
1};
б) направляющая лежит в плоскости
yOz
и имеет уравнение
,
а образующие параллельны оси Ox
;
в) направляющая лежит в плоскости
xOz
и является окружностью
,
а образующие параллельны оси Oy.
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:
а) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна вектору
;
б) направляющая задана уравнениями
а образующая параллельна прямой x
=
y
=
z
.
а)
,
,
,
М
(2; 0; 1);
б) l
:
,
М
(2; –1; 1).
Занятие № 11.
Тема: Конические поверхности.
Теоретические сведения.
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.
Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .
Линия называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.
Ассмотрим частный случай: вершина
S
совпадает с началом координат, направляющая
линия
лежит в плоскости, параллельной плоскости
xOy
:
z
=
c
,
и задается уравнением:
.
В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид
. (1)
Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,
то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:
. (2)
Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.
Сечения конуса второго порядка:
Пусть плоскость не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость пересекает конус:
а) по эллипсу, если пересекает все образующие конуса;
б) по гиперболе, если параллельна двум образующим конуса;
в) по параболе, если параллельна одной образующей конуса.
Упражнения.
Получите уравнение конической поверхности (1).
Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).
Основные типовые задачи.
Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.
Примеры решения задач.
Задача 1.
Написать
уравнение конической поверхности,
вершина которой находится в начале
координат, а направляющая задана
уравнениями
Пусть точка M
(x
,
y
,
z
)
– произвольная точка конической
поверхности. Проведем через эту точку
образующую l
,
она пересечет направляющую в точке
.
Запишем канонические уравнения прямой
l
,
как уравнения прямой, проходящей через
точку N
и вершину конуса О(0, 0, 0)
,
.
Выразим из последней системы
и
:
,
.
Т.к. точка N
лежит на направляющей конической
поверхности, то ее координаты должны
удовлетворять уравнениям направляющей:
(3)
Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)
,
,
,
. (4)
,
. (5)
Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)
,
.
Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.;Линейная зависимость векторов . Система координат. Ортонормированный базис. Линейные операции над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов . Векторное произведение векторов ...
Рабочая программа дисциплины Математика (2)
Рабочая программа... » 4 2 Векторы . Линейные операции над векторами . Базис пространства и линейно независимые системы векторов . Проекции вектора и его координаты. Длина и направляющие косинусы. 4 2 Скалярное произведение векторов ...
Рабочая программа дисциплины (модуля) Высшая математика
Рабочая программаРешений). Примеры. 9. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами (три операции ), их свойства. Единичный вектор a0. 10 ...
Рабочая программа предназначена для работы в 9 классе общеобразовательной школы. Сцелью реализации принципа
Рабочая программа... теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника». 1 91 Угол между векторами . Скалярное произведение векторов . Скалярное произведение векторов в координатах. 1 определение скалярного произведения векторов ...
Тема 2. Поверхности второго порядка.
§1. Цилиндрические и конические поверхности.
Определение
. Конической поверхностью (конусом)
с вершиной в точке называется поверхность, которая с каждой своей точкой М 
содержит всю прямую 
.
Коническую поверхность будем получать следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию 
и точку , 
. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и всеми прямыми, каждая и которых проходит через точку и пересекает линию , является конической поверхностью. Линия называется направляющей
, прямые – образующими
.
Задачи.
Решение. Заметим, что направляющая конуса задана как пересечение двух множеств: поверхности 
и плоскости 
. Пусть произвольная точка 
, то есть прямая 
должна пересекать направляющую . Тогда 
, то есть прямолинейная образующая конической поверхности К пересекает плоскость 
(нарисуйте картинку). Запишем эти условия в виде уравнений.
. Найдем координаты 
точки пересечения прямой с плоскостью .
. Найденные координаты должны удовлетворять уравнению поверхности . Получим
Переобозначив переменные, получим
Решение. Пусть 
. Это уравнение искомой конической поверхности.
Определение.
Поверхность, содержащая с каждой своей точкой всю прямую, проходящую через эту точку параллельно некоторому фиксированному вектору 
, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. Линия называется направляющей
, прямые – образующими
.
Решение. Заметим, что направляющая цилиндра задана как пересечение двух множеств: поверхности
и плоскости 
. Образующие цилиндра параллельны вектору 
. Пусть 
Ц. Проведем прямую 
параллельно вектору через точку М. Эта прямая должна пересекать направляющую цилиндра, то есть 
, где 
, то есть прямая , проходящая через точку М параллельно вектору пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности . Запишем эти условия в виде уравнений.
Параметрические уравнения прямой : 
. Пересечем эту прямую с плоскостью и найдем координаты точки пересечения: 
. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению поверхности , то есть 
. Переобозначив переменные, получим уравнение искомой цилиндрической поверхности: 
.
Решение. Пусть 
Ц 
. Вычислим 
, где 
. Тогда 
.
Аналогично находим 
. Итак, получим . Это уравнение искомой цилиндрической поверхности.
Решение. Пусть
. Это уравнение искомой конической поверхности.
Задачи к проверочной работе.
20 * . Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, зная уравнения трех ее образующих , , (ПДСК).
21 * . Написать уравнение кругового конуса, если ост координат являются его прямолинейными образующими, ось лежит в 1 и 7 октантах (АСК).
22 * . Написать уравнение конуса, описанного около сфер 
и 
(ПДСК).
§2. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Определение . Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.
Задачи.
Решение. Запишем параметрические уравнения прямой
, проходящей через точку 
параллельно некоторому вектору 
. Координаты этого вектора нам нужно найти или доказать, что он не существует, используя то, что прямая является прямолинейной образующей. Запишем параметрические уравнения прямой : 
. Рассмотрим систему уравнений 
. Эта система уравнений задает общие точки прямой и поверхности . Чтобы прямая была прямолинейной образующей, она должна содержаться в поверхности, то есть рассматриваемая система должна иметь бесконечно много решений, то есть четвертое уравнение системы должно выполняться при любом 
. Рассмотрим его подробнее: Чтобы это уравнение выполнялось при любом надо, чтобы 
. Итак, мы получили два направляющих вектора, для которых прямая содержится в поверхности: 
и 
. Непосредственная проверка показывает, что эти векторы задают прямолинейные образующие. Тогда через данную точку проходят две прямолинейные образующие данной поверхности.
Рассмотрим каноническое уравнение однополостного гиперболоида 
и представим его в виде 
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:
; 
, где 
Где .
Нам нужно найти такие числа 
, чтобы прямолинейные образующие были перпендикулярны оси . Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.
. Тогда 
Тогда . Потребуем, чтобы 
, то есть 
. Подставим в уравнения 
. Получим
и 
.
Семейство 
рассматривается аналогично.
Решение. Запишем уравнение однополостного гиперболоида в виде и запишем уравнения двух семейств прямолинейных образующих
Где .
Нам нужно найти такие числа , чтобы прямолинейные образующие проходили через точку (1,0,0). Рассмотрим прямые семейства 
. Так как точка (1,0,0) должна принадлежать таким прямым, то ее координаты удовлетворяют этой системе уравнений, то есть 
. Подставим это в уравнения и сократим на 
. Тогда 
- уравнения искомой прямолинейной образующей. Второе семейство прямолинейных образующих рассматривается аналогично.
Рассмотрим каноническое уравнение гиперболического параболоида 
и представим его в виде 
. Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид: 
; 
, где и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля.
и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих
, где , чтобы прямолинейные образующие были параллельны плоскости 
. Имеем 
, то есть 
. Так как 
параллелен плоскости , по критерию параллельности вектора и плоскости получим 
. Подставим в уравнения .
. Это противоречит требованию, чтобы хотя бы одно число пары 
было отлично от нуля. Решения в этом случае нет.
- искомое решение. Аналогично рассматривается случай .
Решение. Запишем уравнения гиперболического параболоида в виде 
и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих 
, где и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля. Нам нужно найти такие числа , чтобы прямолинейные образующие лежали в плоскости 
. Найдем направляющий вектор прямых семейства .
, то есть 
не содержится в плоскости (а параллельна ей).
Рассмотрим второе семейство 
и проведем аналогичные вычисления.
, то есть 
. Чтобы прямая содержалась в плоскости, ее направляющий вектор должен быть параллелен этой плоскости, то есть 
. В первом случае получаем противоречивую систему (аналогично предыдущей задаче), а во втором случае имеем 
. Чтобы убедиться, что эта прямая лежит в плоскости , нам достаточно взять любую точку на плоскости, например, (-1,0,0) и проверить, принадлежит ли эта точка прямой 
. Подставляя координаты (-1,0,0) в уравнения , видим, что точка не принадлежит прямой, то есть прямая не содержится в плоскости (а параллельна ей). Итак, мы получили, что не существует прямолинейных образующих, принадлежащих плоскости .
Задачи к проверочной работе.
§3. Метод сечений. Изображение поверхностей второго порядка 1 .
Задачи.
Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид 
. Найдем его сечение плоскостью 
. В этой плоскости есть "плоская" система координат 
. Точка 
в 
и та же точка 
в . Если М принадлежит эллипсоиду, то ее "пространственные" координаты удовлетворяют уравнению эллипсоида, то есть верно равенство 
или 
. На это равенство можно посмотреть как на соотношение координат в , то есть мы получили уравнение линии пересечения эллипсоида и плоскости 
в системе координат . Сравним полученное равенство с данным в условии задачи. Получим 
. Тогда каноническое уравнение эллипсоида принимает вид: 
. Нам осталось найти только значение 
. Для этого используем то, что точка принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют его уравнению: 
. Итак, каноническое уравнение эллипсоида 
.
Решение. Рассмотрим поверхность 
, и будем исследовать ее методом сечений, то есть пересекать эту поверхность координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными.
Рассмотрим плоскость 
. Тогда уравнение линии пересечения поверхности с этой плоскостью в "плоской" системе координат 
имеет вид 
(см. задачу 1). Это уравнение задает гиперболу с вещественной осью . Рисуем ее на картинке. получаем положительное число. Разделив на это число обе части уравнения, получим.
