Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ
, заданную уравнением z = f(x,y) , где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) – фиксированная точка на поверхности σ , т.е. z 0 = f(x 0 ,y 0).
Назначение
. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
. Решение оформляется в формате Word
. Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис .
Правила ввода функций :
Правила ввода функций :
Касательной плоскостью к поверхности
σ
в её точке М
0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ
через точку М
0 .
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид:
z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)
Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М 0 . Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М 0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), где z 0 = f(x 0 ,y 0), имеют вид:
Пример №1
. Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (0;1).
Решение
. Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 0 , y 0 = 1 , тогда z 0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
В точке М 0 (0,1) значения частных производных:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0
Пример №2
. Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (1;0;1).
Решение
. Находим частные производные функции . Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М 0 (1,0,1) значения частных производных:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0
Пример
. Поверхность σ
задана уравнением z
= y/x + xy
– 5x
3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ
в точке М
0 (x
0 , y
0 , z
0), принадлежащей ей, если x
0 = –1, y
0 = 2.
Найдем частные производные функции z
= f
(x
, y
) = y/x + xy
– 5x
3:
f x ’(x
, y
) = (y/x + xy
– 5x
3)’ x = – y/x 2 + y
– 15x
2 ;
f y ’ (x
, y
) = (y/x + xy
– 5x
3)’ y = 1/x + x
.
Точка М
0 (x
0 , y
0 , z
0) принадлежит поверхности σ
, поэтому можно вычислить z
0 , подставив заданные x
0 = –1 и y
0 = 2 в уравнение поверхности:
z = y/x + xy – 5x 3
z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.В точке М 0 (–1, 2, 1) значения частных производных:
f x ’(М 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y ’(М 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М 0: .
Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: .
Пример №1
. Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х 0 , y 0) и В(х 1 ,y 1). Требуется: 1) вычислить значение z 1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z 1 функции в точке В исходя из значения z 0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 1, y 0 = 2, тогда z 0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
В точке М 0 (1,2) значения частных производных:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Определение 1 : Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x 0 , y 0 , z 0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.
Пусть поверхность s задана уравнением F (х , у , z ) = 0 и точка P (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L , проходящую через точку Р .
Пусть х = х (t ), у = у (t ), z = z (t ) - параметрические уравнения линии L .
Предположим, что: 1) функция F (х , у , z ) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х (t ), у (t ), z (t ) также дифференцируемы.
Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x (t ), у (t ), z (t )]= 0.
Продифференцировав это тождество по переменной t , используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x 0 , y 0 , z 0):
Пусть точке Р соответствует значение параметра t 0 , то есть x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р , примет вид
Данная формула представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них - постоянный вектор
не зависящий от выбора кривой на поверхности.
Второй вектор - касательный в точке Р к линии L , а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.
При введённых обозначениях равенство:
перепишем как.
Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые, проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.
Определение 2: Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.
Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:
Уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x0, y0, z0) к поверхности s, заданной уравнением F(х, у, z) = 0;
Уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s.
Пример: Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы:
z 2 = 2p (y +2)
вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.
Решение. Используя правило записи поверхности вращения, получим:
z 2 + x 2 = 2p (y +2) .
Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М:
z 2 + x 2 = 6 (y +2).
Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам, для чего вычислим сначала частные производные функции:
F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (y +2):
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид 6(х - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 или x - y - z - 5 = 0;
Уравнение нормальной плоскости
1.
4.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности,
(рис. 1).Ненулевой вектор
→ |
n |
|
Точка поверхности F (x , y , z) = 0 называется обыкновенной , если в этой точке
- частные производные F " x , F " y , F " z непрерывны;
- (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .
При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности .
Теорема 1. Если M (x 0 , y 0 , z 0 ) — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) = 0 , то вектор
|
(1) |
является нормальным к этой поверхности в точке M (x 0 , y 0 , z 0 ) .
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова ``Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МЭИ, 2002 (стр. 128).
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.
Канонические уравнения нормали можно представить в виде
|
(2) |
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:
Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
Пусть функция z = f (x , y) дифференцируема в точке a (x 0 , y 0 ) . Ее графиком является поверхность
f (x , y) − z = 0.
Положим z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Тогда точка A (x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит поверхности.
Частные производные функции F (x , y , z) = f (x , y) − z суть
F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1
и в точке A (x 0 , y 0 , z 0 )
- они непрерывны;
- F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .
Следовательно, A — обыкновенная точка поверхности F (x , y , z) и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (3), уравнение касательной плоскости имеет вид:
f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.
Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки a (x 0 , y 0 ) в произвольную точку p (x , y) есть B Q (рис. 2). Соответствующее приращение аппликаты есть
(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
Здесь в правой части стоит дифференциалd
z функции z = f (x , y) в точке a (x 0
, x 0
). Следовательно,
d
f (x 0
, y 0
). есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции f (x , y) в точке (x 0
, y 0
, z 0
= f (x 0
, y 0
)).
Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой P на графике функции и точкой Q на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки p до точки a .
1°1°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f (x ; y ) дифференцируема в точке (x 0 ; у 0) некоторой области D Î R 2 . Рассечем поверхность S , изображающую функцию z, плоскостями х = х 0 и у = у 0 (рис. 11).
Плоскость х = x 0 пересекает поверхность S по некоторой линии z 0 (y ), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = =f (x ; y ) вместо х числа x 0 . Точка M 0 (x 0 ; y 0, f (x 0 ; y 0)) принадлежит кривой z 0 (y ). В силу дифференцируемой функции z в точке М 0 функция z 0 (y ) также является дифференцируемой в точке у =у 0 . Следовательно, в этой точке в плоскости х = х 0 к кривой z 0 (y ) может быть проведена касательная l 1 .
Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у 0 , построим касательную l 2 к кривой z 0 (x ) в точке х = x 0 - Прямые 1 1 и 1 2 определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М 0 .
Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку Mo (x 0 ; y 0 ; z 0), то ее уравнение может быть записано в виде
А(х - хо) + В(у - уо) + C (z - zo ) = 0,
которое можно переписать так:
z -z 0 = A 1 (x – х 0) + B 1 (y – у 0) (1)
(разделив уравнение на -С и обозначив ).
Найдем A 1 и B 1 .
Уравнения касательных 1 1 и 1 2 имеют вид
соответственно.
Касательная l 1 лежит в плоскости a , следовательно, координаты всех точек l 1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы
Разрешая эту систему относительно B 1 , получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l 3 , легко установить, что .
Подставив значения А 1 и B 1 в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:
Прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется еенормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М 0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в ее точке М(2; -1; 1).
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М
Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 - уравнение касательной плоскости и - уравнения нормали.
2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.
Если поверхность S задана уравнением F (x ; у; z ) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции.
Скачать с Depositfiles
4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:
1) неявно: F ( x , y , z ) =0 (4.1)
2) явно: z = f ( x , y ) (4.2)
3) параметрически: (4.3)
или:
(4.3’)
где скалярные аргументы
иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу
удобно задавать в сферических координатах:
.
4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.
Если линия лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:
Дифференцируя это тождество, получим:
(4.4)
или
(4.4
’
)
в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и
) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М
0
(x
0
,
y
0
,
z
0
) поверхности
(4.6)
и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:
(4.7)
В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:
(4.8)
и
(4.9)
При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы
лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:
(4.10)
а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:
и уравнение нормали может быть записано в виде:
(4.11)
где
— значения параметров соответствующие точке М
0
.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы
не равны нулю и не параллельны.
Пример 4.1
Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М
0
(1,1,2) к поверхности параболоида вращения
.
Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти
в точке М
0
:
, а в точке М
0
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке М
0
примет вид:
2(x
-1)+2(y
-1)-(z
-2)=0 или 2
x
+2
y
–
z
‑ 2=0, а уравнение нормали
.
Пример 4.2
Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида
, .
Решение. Здесь ,
Уравнение касательной плоскости:
или
Уравнения нормали:
.
4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.
Если поверхность задается уравнением
то кривая
на ней может быть задана уравнением
(4.12)
Дифференциал радиус-вектора
вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М
0
в близлежащую точку М, равен
(4.13)
Так как
— дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то
(4.14)
где .
Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.
Интегрирую дифференциал ds в пределах от t 0 (соответствует точке М 0 ) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой
(4.15)
Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.
Если
du
,
dv
— дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а
— по другой, то с учетом (4.13):
(4.16)
С помощью формулы
(4.17)
первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области
поверхности.
Пример 4.3
На геликоиде , найти длину винтовой линии
между двумя точками .
Решение. Поскольку на винтовой линии
, то . Найдём в точке
первую квадратичную форму. Обозначив и
v
=
t
,
получим уравнение данной винтовой линии в виде . Квадратичная форма:
= ‑ первая квадратичная форма.
Здесь . В формуле (4.15) в данном случае
и длина дуги:
=
4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.
Обозначим
‑ единичный вектор нормали к поверхности
:
(4.18) . (4.23)
Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.
4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.
Определение 4.1 . Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности.
Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.
Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.
Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.