Пример 1. Разностная схема для уравнения Пуассона, относящегося к эллиптическому типу.

Рассмотрим построение разностной схемы для первой краевой задачи для уравнения А и = f(x,y) в области, представляющей собой прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Пусть с этим прямоугольником связана равномерная сетка с шагами h x и h y .

Краевую задачу

можно записать в операторной форме:

Отметим, что в эту запись включены и граничные условия.

Заменив дифференциальные операторы разностными, получим уравнения

которые аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение со вторым порядком 0(h 2 + h 2) точности и действуют во всех внутренних точках области.

Разностные аналоги краевых условий будут иметь вид

Разностная аппроксимация дифференциального уравнения совместно с разностными аналогами краевых условий образуют разностную схему для уравнения Пуассона.

Разностную схему можно по аналогии с краевой задачей записать в операторном виде:

где в L/, включены как разностное уравнение, так и разностное краевое условие:

Разностное уравнение связывает значения сеточной функции в пяти точках, образующих разностный шаблон для этого уравнения. Для данного случая этот шаблон называют крест. Можно представить и другие шаблоны для этого уравнения.

Мы получим приближенное решение дифференциальной краевой задачи, если определим значения сеточной функции во всех внутренних узлах области. Для этого необходимо решить совместно систему алгебраических линейных уравнений, размерность которой равна количеству внутренних узлов области. В этом случае говорят о неявной разностной схеме. Любое интересующее нас значение Uij можно определить лишь из решения всей разностной задачи.

Относительно системы уравнений отметим два обстоятельства.

• 1. Система имеет очень высокую размерность (М - 1) х (N - 1), а традиционные методы точного решения (например, метод Гаусса) требуют для решения число алгебраических операций, пропорциональное третьей степени размерности системы.
• 2. В матрице системы много нулевых элементов (неплотная матрица). Это обстоятельства позволяет разработать экономичные методы приближенного решения.

Рассмотренная постановка разностной задачи характерна для эллиптических уравнений. В газовой динамике такой вид имеет уравнение для функции тока или для потенциала скорости. В других разделах мы рассмотрим эффективные методы разрешения таких разностных схем.

Рис. 2.8.

П р и м с р 2. Разностная схема для простейшего параболического уравнения (нестационарная теплопроводность в стержне единичной длины).

Рассмотрим следующую задачу:

Отмстим, что в случае параболического уравнения имеем открытую область. При построении разностной схемы возникают несколько вариантов связи между разностными производными по пространству и по времени.

Проинтегрируем уравнение в пределах одного временного шага:

В зависимости от того, какую квадратурную формулу мы примем для вычисления интеграла в правой части, получим разные разностные схемы (рис. 2.9).

Связывая разностную производную по времени с пространственной производной, определенной на п -м временном слое, получим

явную ’разностную схему

Это эквивалентно приближенному вычислению интеграла, стоящего в правой части (2.12), но способу левых прямоугольников.

Рис. 2.9. Сетка и шаблоны для уравнения теплопроводности: а - область и сетка; б - шаблон явной схемы; в - шаблон неявной схемы; г - шаблон семейства шеститочечных схем; д - шаблон схемы

«чехарда»

В приведенной формуле заключен и метод решения сеточных уравнений:

Значение сеточной функции на следующем временном слое

определяется через известные значения гф на предыдущем. Перемещаясь последовательно слоями от начального условия и(х , 0) = у(х), можно найти решение во всей расчетной области. Разностный шаблон для этой схемы приведен на рис. 2.9, б .

Оценивая интеграл через значение подынтегральной функции па слое п + 1, используем разностный шаблон вида рис. 2.9, б, а разностный аналог дифференциального уравнения примет вид

Для того чтобы найти значения сеточной функции на следующем временном слое, при использовании этой разностной схемы необходимо решить совместно столько уравнений вида (2.14), сколько внутренних узлов расположено на п - 1-1 -м временном слое. С учетом краевых условий = / п+1 , Мд Г +1 = m n+1 система позволяет построить решение на следующем временном слое при известных значениях сеточной функции на предыдущем. Передвигаясь от начальных значений слоями, на каждом из которых необходимо решать систему уравнений, можно построить приближенное решение во всей области.

Рассмотренная разностная схема представляет собой пример неявной разностной схемы, ее называют схемой с опережением или чисто неявной схемой.

Шеститочечный разностный шаблон порождает семейство разностных схем, частными случаями которого являются две предыдущие:

При а = 0 имеем явную схему, при а = I - неявную с опережением, при а > 0 - неявную. При а - 0,5 получаем широко известную в вычислительной практике симметричную схему Кранка Николсона.

Приведенные схемы, разумеется, не исчерпывают всего многообразия разностных схем, основанных на разностной аппроксимации дифференциальных операторов. Вот пример явной разностной схемы, основанной на центрировании временной производной, схемы, использующей сеточную функцию на трех временных слоях:

Разностный шаблон захватывает три временных слоя. Схема имеет второй порядок аппроксимации как по времени, так и по пространственной переменной и является явной. Эта схема обладает рядом существенных недостатков, от большей части которых можно избавиться, заменив и ” в аппроксимации пространственной производной средним значением по двум временным слоям:

Полученная таким образом явная трехслойная схема

называется схемой Дюфортпа - Франкела , а отсутствие в ней значения сеточной функции в центральном узле объясняет название «чехарда», которое иногда применяется для схем такого рода.

На примерах было показано, что для одной и той же краевой задачи можно записать несколько разных разностных схем, т.е. в распоряжении исследователя имеется достаточно большой их выбор. Каким же условиям должна удовлетворять разностная схема, чтобы разностное решение соответствовало решению исходной дифференциальной задачи? Этот вопрос будет рассмотрен в следующем разделе.

Раздел ¹ 10. Численное решение уравнений в частных производных

Разностные схемы для уравнений эллиптического типа
Различные краевые задачи и аппроксимация граничных условий
Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Метод матричной прогонки
Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле
Уравнение параболического типа. Явные и неявные конечноразностные методы
Методы прогонки для уравнения параболического типа
Предметный указатель

Разностные схемы. Основные понятия

Пусть Д - некоторая область изменения независимых переменных x, y, ограниченная контуром. Говорят, что в области Д задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(x, y), если для любой точки из области Д имеет место соотношение

			∂2 U				∂2 U		∂2 U
			∂x2						∂x2
						G(x, y)U = f(x, y),

где a(x, y), b(x, y), . . . - коэффициенты, f(x, y) - свободный член уравнения. Эти функции известны и их обычно считают определенными в замкнутой области Д = Д + .

График решения представляет собой поверхность в пространстве Oxyz.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Обозначим δ(x, y) = b2 − ac. Уравнение L(U) = f называется эллиптическим, параболическим или

гиперболическим в Д, если соответственно выполняются условия δ(x, y) < 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) > 0 для

всех (x, y) Д.

В зависимости от типа дифференциального уравнения по-разному ставятся граничные начальные

(10.1):

Уравнение Пуассона (уравнение эллиптического типа)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Уравнение теплопроводности (уравнение параболическго типа)

∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2

Волновое уравнение (уравнение гиперболического типа)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем

Пусть U есть решение дифференциального уравнения

заданного в Д. Рассмотрим некоторое множество Дh = {Mh } состоящее из изолированных точек Mh , принадлежащих замкнутой области Д = Д + . Число точек в Дh , будем характеризовать величиной h; чем меньше h, тем большим будет число точек в Дh . Множество Дh называется сеткой, а точки Mh Дh - узлами сетки. Функция, определенная в узлах, называется сеточной функцией. Обозначим через U пространство непрерывных в D функций V (x, y). Через Uh обозначим пространство, образованное совокупностью сеточных функций Vh (x, y), определенных на Дh . В методе сеток осуществляется замена пространства U на пространство Uh .

Пусть U(x, y) - точное решение уравнения ((10.2 )) и U(x, y) принадлежит U. Поставим задачу отыскания значений Uh (x, y). Эти значения в совокупности образуют таблицу, в которой число значений

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

равно числу точек в Дh . Точно поставленную задачу удается решить редко. Как правило, можно вычислить некоторые сеточные значения U(h) , относительно которых можно предполагать, что

U(h) ≈ Uh (x, y).

Величины U(h) называются приближенными сеточными значениями решения U(x, y). Для их вычисления строят систему численных уравнений, которую мы будем записывать в виде

Lh (U(h) ) = fh ,

есть разностный оператор,

соответствующий оператору

зуется по F аналогично тому, как U

образовывалось по U. Формулу (10.3 ) будем называть разностной

схемой. Пусть в линейных пространствах Uh и Fh введены соответственно нормы k · kU h и k · kF h , которые являются сеточными аналогами норм k · kU и k · kF в исходных пространствах. Будем говорить, что разностная схема (10.3 ) является сходящейся, если при h → 0 выполняется условие

kUh (x, y) − Uh kU h → 0.

Если выполняется условие

kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,

где c - постоянная, не зависящая от h и s > 0, то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s относительно h.

Говорят, что разностная схема (10.3 ) аппроксимирует задачу (10.2 ) на решении U(x, y), если

Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) и	δf(h) F h → 0 приh → 0.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Величина δf(h) называется погрешностью аппроксимации или невязкой разностной схемы. Если

δf (h) F h 6 Mh σ, где M - константа, не зависящая от h и σ > 0, то говорят, что задана разностная схема (10.3 ) на решении U(x, y) с погрешностью порядка σ относительно h.

Разностная схема (3) называется устойчивой, если существует такое h0 > 0, что для всех h < h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

	Разностная схема (10.3 ) имеет единственное решение;
	U (h) U h			f(h) F h , где M - постоянная, не зависящая от h и f(h) .

Иначе говоря, разностная схема является устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных. Устойчивость характеризует чувствительность схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей, в отличие от сходимости и аппроксимации. Между понятиями сходимости, аппроксимации и устойчивости существует связь. Она состоит в том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Теорема 1 Пусть разностная схема L h (U h (x, y)) = f (h) аппроксимирует задачу L(U) = f на решении U(x, y) с порядком s относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходиться, и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т.е. будет справедлива оценка

Uh (x, y) − Uh U h 6 khs ,

где k - постоянная, не зависящая от h .

Доказательство . По определению аппроксимации имеем

(h) F h 6 M(Chs ) = Khs ,

где K = MC. Таким образом, оценка (10.4 ) установлена и теорема доказана. Обычно применение метода сеток заключается в следующем:

1. Вначале указывается правило выбора сетки, т.е. указывается метод замены области Д и контура Г некоторой сеточной областью. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2. Затем указывается и строится конкретно одна или несколько разностных схем. Проверяется условие аппроксимации и устанавливается ее порядок.

3. Доказывается устойчивость построенных разностных схем. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если разностная схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости судят по доказанной теореме.

4. Рассматривается вопрос численного решения разностных схем.

В случае линейных разностных схем это будет система линейных алгебраических уравнений. Порядок таких систем может быть большим.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Математика и математический анализ

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.

8 вопрос: Разностные схемы: явная и неявная схемы:

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение ). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина ).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Характеристика неявной разностной схемы

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с :

(4.5)

Запишем для уравнения (4.5) неявную разностную схему :

(4.6)

Запишем :

(4.7)

Аппроксимация граничных условий (4.7) записана на (n метода и алгоритма решения неявной разностной схемы (4.6).
В разделе " " было отмечено, что разностная схема (4.6) имеет такой же порядок аппроксимации , как и соответствующая ей явная разностная схема (4.2) , а именно:

В разделе " Доказательство абсолютной устойчивости неявной разностной схемы " было доказано, что неявная разностная схема (4.6) абсолютно устойчива, т.е. вне зависимости от выбора интервала деления на разностной сетке (или, иначе говоря, выбора расчётного шага по независимым переменным) погрешность решения неявной разностной схемы в процессе вычислений возрастать не будет. Отметим, что это, безусловно, является достоинством неявной разностной схемы (4.6) по сравнению с явной разностной схемой (4.2) , которая устойчива только при выполнения условия (3.12) . В то же время явная разностная схема имеет достаточно простой метод решения , а метод решения неявной разностной схемы (4.6), называемый методом прогонки , более сложен. Прежде чем перейти к изложению метода прогонки , необходимо вывести ряд соотношений , используемых этим методом.

Характеристика явной разностной схемы.

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями :

(4.1)

Запишем для уравнения (4.1) явную разностную схему :

(4.2)

Запишем аппроксимацию начального и граничных условий :

(4.3)

Аппроксимация граничных условий (4.3) записана на (n + 1)-ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения явной разностной схемы (4.2).
В разделе " Порядок аппроксимации разностной схемы " было доказано, что разностная схема (4.2) имеет порядок аппроксимации :

В разделе " Доказательство условной устойчивости явной разностной схемы " было получено условие устойчивости данной разностной схемы, накладывающее ограничение на выбор интервала деления при создании разностной сетки (или, иначе говоря, ограничение на выбор расчётного шага по одной из независимых переменных):

Отметим, что это, безусловно, является недостатком явной разностной схемы (4.2). В то же время она имеет достаточно простой метод решения .

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
6399.		Сознание как проблема философии	58 KB
	Сознание как проблема философии Основные философские позиции по проблеме сознания Теория отражения. Основные философские позиции по проблеме сознания. Представители объективного идеализма (Платон, Гегель) трактуют сознание, дух как вечное п...
6400.		Диалектика как теоретическая система и метод познания	98.5 KB
	Диалектика как теоретическая система и метод познания Исторические типы метафизики и диалектики Системность Детерминизм Развитие Исторические типы метафизики и диалектики Еще с древности люди заметили, что всем предметам и явлениям ми...
6401.		Проблема человека в философии	71 KB
	Проблема человека в философии Проблема человека в истории философии Проблема антропосоциогенеза Природа человека Проблема человека является центральной для всей духовной культуры общества, т.к. только через себя мы понимаем окружающий мир, о...
6402.		Человеческая деятельность и ее содержание	116 KB
	Человеческая деятельность и ее содержание Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Основные способы освоения мира человеком. Познание. Практически-духовное освоение мира Освоение и отчуждение. Проблема свободы. Центральной проблемой...
6403.		Общество как предмет философского анализа	71 KB
	Общество как предмет философского анализа. Социальная философия и ее задачи. Основные философские подходы к пониманию общества. Структура общества Социальная философия и ее задачи. В обыденном сознании существует иллюзия непосредственного во...
6404.		Философия истории. Движущие силы и субъекты исторического процесса	66 KB
	Философия истории Предмет и задачи философии истории Периодизация истории общества Движущие силы и субъекты исторического процесса Предмет и задачи философии истории Для историка прошлое - это данность, которая находится вне...
6405.		Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні	44.27 KB
	Стилі сучасної української літературної мови у професійному спілкуванні План Функціональні стилі української мови та сфера їх застосування. Основні ознаки функціональних стилів. Текст як форма реалізації мовнопрофесійної діяльності (комунікати...
6406.		Основні поняття соціолінгвістики	121 KB
	Основні поняття соціолінгвістики Мовна спільнота. Мовний код, субкод.. Перемикання і змішування кодів. Інтерференція Мовна варіативність. Мовна норма. Соціолект. Сфера використання мови. Білінгвізм. Ди...
6407.		Правовідносин, що регулюються нормами трудового права	101 KB
	Правовідносин, що регулюються нормами трудового права Поняття трудових правовідносин Правові відносини в суспільстві формуються і розвиваються внаслідок наявності правових норм, які приймаються державою для регулювання суспільних відносин. Всту...

Сетка и шаблон. Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении некоторых прямых линий (в многомерных задачах – гиперплоскостей), проведенных либо в естественной системе координат, либо в специально подобранной по форме области G .

Если одна из переменных имеет физический смысл времени t , то сетку обычно строят так, чтобы среди ее линий (или гиперплоскостей) были линии t = t m . Совокупность узлов сетки, лежащих на такой линии или гиперплоскости, называют слоем.

На каждом слое выделяют направления, вдоль которых меняется только одна пространственная координата. Например, для переменных x , y , t есть направления x (t = const , y = const ) и направление y (t = const , х = const ).

Составляя разностные схемы (26.2) и (26.4), мы использовали во всех внутренних узлах области однотипную разностную аппроксимацию производных. Иными словами, при написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки бралось одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию, которую мы назвали шаблоном данной разностной схемы (см. рис. 26.2).

Определение. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а остальные – нерегулярными.

Нерегулярными являются обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области).

Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Шаблон не всегда определяет разностную схему однозначно, но существенно влияет на ее свойства; например, далее мы увидим, что на шаблоне рис. 26.2b нельзя составить хорошей разностной схемы для задачи теплопроводности (26.1). Для каждого типа уравнений и краевых задач требуется свой шаблон.

Явные и неявные разностные схемы

Обсудим вопрос о фактическом вычислении разностного решения. Большая часть физических проблем приводит к уравнениям, содержащим время в качестве одной из переменных. Для таких уравнений ставится обычно смешанная краевая задача, типичным случаем которой является задача теплопроводности (26.1).

К подобным задачам применяют послойный алгоритм вычислений. Рассмотрим его на примере схем (26.2) и (26.4).

В схеме (26.4) на исходном слоеm = 0 решение известно в силу начального условия. Положим m = 0 в уравнениях (26.4). Тогда при каждом значении индекса n уравнение содержит одно неизвестное ; отсюда можно определитьпри
Значенияиопределяются по краевым условиям (26.3). Таким образом, значения на первом слое вычислены. По ним аналогичным образом вычисляется решение на втором слое и т.д.

Схема (26.4) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на исходном слое, поэтому такие схемы называются явными.

Схема (26.2) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для фактического вычисления решения перепишем схему (26.2) с учетом краевого условия (26.3) в следующей форме

(26.5)

На каждом слое схема (26.5) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин
; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональная, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой.

Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен. Он используется во многих неявных разностных схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса m часто применять сокращенные обозначения

В этих обозначениях явная и неявная разностные схемы принимают соответственно следующий вид

Невязка. Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение общего вида (не обязательно линейное)

Au = f , или Au – f = 0.

Заменяя оператор А разностным оператором A h , правую часть f – некоторой сеточной функцией , а точное решениеu – разностным решением y , запишем разностную схему

или
. (26.6)

Если подставить точное решение u в соотношение (26.6), то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению
. Величину

называют невязкой.

Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (26.4) для уравнения теплопроводности (26.1а). Запишем это уравнение в каноническом виде

Поскольку в данном случае
то

Разложим решение по формуле Тейлора около узла (x n , t m ), предполагая существование непрерывных четвертых производных по х и вторых по t

(26.7)

где

Подставляя эти разложения в выражение невязки и пренебрегая, в силу непрерывности производных, отличием величин
от (x n , t m ) найдем

(26.8)

Таким образом, невязка (26.8) стремится к нулю при
и
Близость разностной схемы к исходной задаче определяется по величине невязки. Если невязка стремится к нулю приh и стремящихся к нулю, то говорят что такая разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу. Аппроксимация имеетр -й порядок, если
.

Выражение (26.8) дает невязку только в регулярных узлах сетки. Сравнивая (26.3) и (26.1б), легко найдем невязку в нерегулярных узлах

Замечание 1. Решение задачи теплопроводности с постоянным коэффициентом (26.1) в области непрерывно дифференцируемо бесконечное число раз. Однако учет пятых и более производных в разложении в ряд Тейлора (26.7) прибавит к невязке (26.8) только члены более высокого порядка малости поиh , т.е. по существу, не изменит вида невязки.

Замечание 2. Пусть по каким-либо причинам решение исходной задачи дифференцируемо небольшое число раз; например, в задачах с переменным коэффициентом теплопроводности, гладким, но не имеющим второй производной, решение имеет лишь третьи непрерывные производные. Тогда в разложении в ряд Тейлора (26.7) последними будут члены
не точно компенсирующие друг друга. Это приведет к появлению в невязке (26.8) члена типа
т.е. невязка будет иметь меньший порядок малости, чем для четырежды непрерывно дифференцируемых решений.

Замечание 3. Преобразовав выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция u (x ,t ) есть точное решение исходного уравнения и для нее выполняются соотношения

Подставляя это выражение в (26.8), получим

Если выбрать шаги по пространству и времени так, чтобы
то главный член невязки обратится в нуль и останутся только члены более высокого порядка малости поиh (которые мы опускали). Этим приемом пользуются при построении разностных схем повышенной точности.

Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят общий характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории.

§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

1. Порядок точности разностной схемы.

Этот параграф посвящен вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи

Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения

Разобьем отрезок на шаги длины h. Удобно выбрать где N - целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что . Значение и, полученное по разностной схеме в точке будем обозначать Зададим начальное значение. Положим . Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение

откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии :

Точное же решение задачи (1) имеет вид . Оно принимает в точке значение

Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке будет

Нас интересует, как убывает при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим в виде

Таким образом, равенство (3) примет вид

т. е. погрешность (5) стремится к нулю при и величина погрешности имеет порядок первой степени шага.

На этом основании говорят, что разностная схема имеет первый порядок точности (не путать с порядком разностного уравнения, определенным в § 1).

Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения

Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только . Естественно и в разностной схеме положить .

Не ясно, как задавать их. Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. § 3 формулы ):

Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для Проведем подробно вывод такого представления -

Так как , то

Не будем проводить совершенно аналогичной выкладки для , а выпишем сразу результат:

Подставив приближенные выражения для в формулу (8), получим

Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследования этой формулы.

Заметим, что если коэффициент стремится при к конечному пределу b, то первое слагаемое правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).