Случайная величина называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с параметрами аи () , если плотность распределения вероятностей имеет вид
Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому ее удобно изображать графически, с помощью графика плотности распределения. Согласно формуле
вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала равна площади под графиком функции на этом интервале (геометрический смысл определенного интеграла). Рассматриваемая функция неотрицательна и непрерывна. График функции имеет вид колокола и называется кривой Гаусса или нормальной кривой.
На рисунке изображено несколько кривых плотности распределения случайной величины, заданной по нормальному закону.
Все кривые имеют одну точку максимума, при удалении от которой вправо и влево кривые убывают. Максимум достигается при и равен .
Кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Площадь подграфика каждой кривой равна 1.
Различие отдельных кривых распределения состоит лишь в том, что суммарная площадь подграфика, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками. Основная часть площади подграфика любой кривой сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения , а это значение у всех трех кривых разное. При различных значениях и а получаются различные нормальные законы и различные графики плотности функции распределения.
Теоретические исследования показали, что большинство встречающихся на практике случайных величин имеет нормальный закон распределения. По этому закону распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных, размер одежды и обуви населения страны и много других случайных событий физической и биологической природы. Впервые эту закономерность заметил и теоретически обосновал А. Муавр.
При , функция совпадает с функцией , о которой уже шла речь в локальной предельной теореме Муавра–Лапласа. Плотность вероятности нормального распределения легко выражаетсячерез :
При таких значениях параметров нормальный закон называется основным .
Функция распределения для нормированной плотности называется функцией Лапласа и обозначается Φ(х) . Мы также уже встречались с этой функцией.
Функция Лапласа не зависит от конкретных параметров а и σ. Для функции Лапласа, с помощью методов приближенного интегрирования составлены таблицы значений на промежутке с разной степенью точности. Очевидно, что функция Лапласа является нечетной, следовательно, нет необходимости помещать в таблицу ее значения при отрицательных .
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами а и , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам: , .Среднее квадратическое отклонение равно .
Вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение из интервала , равна
где есть функция Лапласа, введенная в интегральной предельной теореме.
Часто в задачах требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит некоторого значения , т.е. вычислить вероятность . Применяя формулу (19.2), имеем:
В заключение приведем одно важное следствие из формулы (19.3). Положим в этой формуле . Тогда , т.е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от своего математического ожидания не превысит , равна 99,73%. Практически такое событие можно считать достоверным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.
Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания практически не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Подставив φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)
D[π /4]=( /720) ).
№319 Ребро куба x измерено приближенно, причем a . Рассматривая ребро куба как случайную величину X,распределенную равномерно в интервале (a,b),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.
1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)= - по формуле
M[φ(X)]=
Поставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим
M( )=
.
2.Найдём дисперсию площади круга по формуле
D [φ(X)]=
-
.
Подставив φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим
D
=
.
№320 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X-в интервале (a,b),Y-в интервале (c,d).Найти математическое ожидание произведения XY.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
M(XY)=
№321 Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X- в интервале (a,b), Y – в интервале (c,d). Найти дисперсию произведения XY.
Воспользуемся формулой
D(XY)=M[
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому
Найдем M по формуле
M[φ(X)]=
Подставляя φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) и выполняя интегрирование,получим
M (**)
Аналогично найдем
M (***)
Подставив M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2 ,а так же (***) и (**) в (*),окончательно получим
D(XY)=
-[
.
№322 Математическое ожидание нормально распределённой случайной величины X равно a=3 и среднее квадратическое отклонение σ=2.Написать плотность вероятности X.
Воспользуемся формулой:
f(x)=
.
Подставляя имеющиеся значения получим:
f(x)=
= f(x)=
.
№323 Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X)=3, D(X)=16.
Воспользуемся формулой:
f(x)=
.
Для того, чтобы найти значение σ воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно σ=4, M(X)=a=3. Подставляя в формулу получим
f(x)=
=
.
№324 Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью
f(x)=
.
Найти математическое ожидание и дисперсию X.
Воспользуемся формулой
f(x)=
,
где a -математическое ожидание, σ -среднее квадратическое отклонение X. Из этой формулы следует, что a=M(X)=1 . Для нахождения дисперсии воспользуемся свойством, что среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии. Следовательно D(X)= =
Ответ: математическое ожидание равно 1; дисперсия равна 25.
Бондарчук Родион
Дана функция распределения нормированного нормального закона 
. Найти плотность распределения f(x).
Зная, что 
, находим f(x).
Ответ: 
Доказать, что функция Лапласа 
. нечетна: 
.
Произведем замену
Делаем обратную замену и получаем:
= 
=
Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .
Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из теории вероятностей.
Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет :
Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) - является , и σ (сигма) - является (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ - разброс относительно центра (среднего).
Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.
Нормальное распределение в MS EXCEL
В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:
Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.
Стандартное нормальное распределение
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).
Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.
Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =(x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .
Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.
В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.
Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).
Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.
Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).
Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .
Примечание
: В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному
нормальному закону,
закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле
=НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА)
. Вычисления производятся по формуле
В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).
Обратные функции
Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .
В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .
Графики функций
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:
=НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)
которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).
В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f (x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:
=2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1
Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:
2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1
Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .
Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.
Генерация случайных чисел
Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:
Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание (Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .
В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ. Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .
Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).
Задачи
Задача1
. Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их.
Решение1
: =1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)
Задача2
. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ?
Решение2
: = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25)
На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.
Решение приведено в файле примера лист Задачи .
Задача3
. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий?
Решение3
: =НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25)
=20,6899 или
=НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2
(произведена «дестандартизация», см. выше)
Задача 4
. Нахождение параметров нормального распределения
по значениям 2-х (или ).
Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля
(например, 0,5-процентиль
, т.е. медиана и 0,95-я процентиль
). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать .
Решение приведено в файле примера лист Задачи
.
Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.
Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин
Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x (i ) с параметрами μ(i ) и σ(i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ(1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.
Определение 3. Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:
где m = M (X ), σ 2 = D (X ), σ > 0 .
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 6.7).
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m , имеет максимум в точке х = m , равный .
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х ) по формуле:
Ф(x ) – функция Лапласа.
Замечание. Функция Ф(х ) является нечетной (Ф(-х ) = -Ф(х )), кроме того, при х > 5 можно считать Ф(х ) ≈ 1/2.
Таблица значений функции Ф(х ) приведена в приложении (табл. П 2.2).
График функции распределения F (x ) изображен на рис. 6.8.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b ) вычисляются по формуле:
Р (a < Х < b ) = .
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:
P (| X - m| .
В частности, при m =0 справедливо равенство:
P (| X| .
"Правило трех сигм"
Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (m 3σ; m + 3σ), так как P (| X - m| = 0,9973.
Задача 6.3. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а) плотность распределения вероятностей f (x ); Х примет значение из интервала (28;38).
Решение: По условию m = 32, σ 2 = 16, следовательно, σ= 4, тогда
а)
б) Воспользуемся формулой:
Р (a< Х)= .
Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ= 4, получим
Р (28< Х< 38)= Ф(1,5) Ф(1)
По таблице значений функции Ф(х ) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.
Итак, искомая вероятность:
P
(28 Задачи
6.1.
Случайная величина Х
равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите: а) плотность распределения f
(x
);
б) функции распределения F
(x
);
в) числовые характеристики; г) вероятность Р
(4<х
<6). 6.2.
Случайная величина Х
равномерно распределена на отрезке . Найдите: а) плотность распределения f
(x
);
б) функцию распределения F
(x
);
в) числовые характеристики; г) вероятность Р
(3≤х
≤6). 6.3.
На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды - желтый и 30 секунд - красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь. 6.4.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х
- время ожидания поезда. 6.5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: 6.6.
Непрерывная случайная величина Х
задана плотностью распределения вероятностей: а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины. б) Найдите функцию распределения F
(x
) и числовые характеристики случайной величины Х
. 6.7.
Случайная величина Х
распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей: Х
примет значение из интервала (2,5;5). 6.8.
Непрерывная случайная величина Х
распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение из отрезка . 6.9.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите: а) плотность распределения f
(x
); б) вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение из интервала (10;14). 6.10.
Случайная величина Х
распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите: а) плотность распределения f
(x
); б) вероятность того, что в результате испытания Х
примет значение из отрезка . 6.11.
Случайная величина Х
распределена нормально с M
(X
) =
0 и D
(X
)=
1. Какое из событий: |Х
|≤0,6 или |Х
|≥0,6 имеет большую вероятность? 6.12.
Случайная величина Х
распределена нормально с M
(X
) =
0 и D
(X
)=
1.Из какого интервала (-0,5; -0,1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью? 6.13.
Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M
(X
)=
10 ден. ед. и σ(Х
) = 0,3 ден. ед. Найти: а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.; б) с помощью "правила трех сигм" найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции. 6.14.
Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ= 5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не превзойдет по абсолютной величине 3 г. 6.15.
Случайная величина Х
распределена нормально с M
(X)=
12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4; 13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ. 6.16.
Случайная величина Х
распределена нормально с M
(X
) = 12 и D
(X
) = 36. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х
. 6.17.
Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х
ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х
распределена нормально с M
(X
) = 0 и σ(Х
) = 0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат? 3.18.
Параметр Х
детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х
от номинала по модулю не превысит 1 % номинала. Ответы
в) M
(X
)=1, D
(X
)=16/3, σ(Х
)= 4/ , г)1/8. в) M
(X
)=4,5, D
(X
) =2 , σ (Х
)= , г)3/5. 6.3.
40/51. 6.4.
7/12, M
(X
)=1. 6.5.
D
(X
) = 1/64, σ (Х
)=1/8 6.6.
M
(X
)=1 , D
(X
) =2 , σ (Х
)= 1 . 6.7.
Р(2,5<Х
<5)=е
-1 е
-2 ≈0,2325 6.8.
Р(2≤Х
≤5)=0,252. б) Р
(10 < Х
< 14) ≈ 0,1574. б) Р
(3,1 ≤ Х
≤ 3,7) ≈ 0,8185. 6.11.
|x
|≥0,6. 6.12.
(-0,5; -0,1). 6.13.
а) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14.
0,111. б) (9,1; 10,9). 6.15.
σ = 1,2. 6.16.
(-6; 30). 6.17.
0,4 %. Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях. Им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами. К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов и др. Нормальным
называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией
a - математическое ожидание случайной величины; Среднее квадратичное отклонение нормального распределения. График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.7). Рис. 7 Кривая Гаусса Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):
1. кривая симметрична относительно прямой x = a; 2. нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна; 3. ось ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к. 4. при x = a функция f(x) имеет максимум равный в точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны. При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826. в точках E и G, при и , значение функции f(x) равно а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544. Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при и , очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм
". Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает. При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат. Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной". При этом, при любых значениях и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1). Нормальное распределение с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией называется общим нормальным распределением
. Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным распределением
(рис. 8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна: Рис. 8 Нормированная кривая Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид: Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна Пример.
Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и . Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50). По условию: . Тогда Пользуясь готовыми таблицами Лапласа (см. приложение 3), имеем.
,
