Рациональные числа – это числа вида , где
– целое число, а– натуральное. Множество рациональных чисел обозначают буквой. При этом выполняется соотношение
, так как любое целое число
можно представить в виде. Таким образом, можно сказать, что рациональные числа – это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Десятичные дроби – это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель – единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и т.д. Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишется целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых, вторая – сотых, третья – тысячных и т.д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической , если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, .

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Перечислим некоторые сведения о периодических дробях.

1. Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто-периодической , если не сразу после запятой – смешанно-периодической .

Например, 1,(58) – чисто-периодическая дробь, а 2,4(67) – смешанно-периодическая.

2. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5, то запись числав виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная периодическая дробь.

3. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители не содержатся числа 2 и 5, то запись числав виде десятичной дроби представляет собой чисто-периодическую десятичную дробь; если в указанном разложении, наряду с другими простыми множителями, есть 2 или 5, то получится смешанно-периодическая десятичная дробь.

4. У периодической дроби период может быть любой длины, то есть содержать любое количество цифр.

1.3. Иррациональные числа

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Примерами иррациональных чисел служат корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел. Например,
,
. Иррациональными являются числа
;
. Множество иррациональных чисел обозначают буквой.

Пример 1.10. Доказать, что
– иррационально число.

Решение. Предположим, что
– рациональное число. Очевидно, оно не является целым, а поэтому
, где
и– несократимая дробь; значит, числа
ивзаимно простые. Так как
, то
, то есть
.

Старшие школьники и студенты математических специальностей, вероятно, с легкостью ответят на этот вопрос. А вот тем, кто по профессии далек от этого, будет сложнее. Что же это на самом деле такое?

Сущность и обозначение

Под рациональными числами подразумевают такие, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби. Положительные, отрицательные, а также ноль тоже входят в это множество. Числитель дроби при этом должен быть целым, а знаменатель - представлять собой

Это множество в математике обозначается как Q и называется "полем рациональных чисел". Туда входят все целые и натуральные, обозначающиеся соответственно как Z и N. Само же множество Q входит в множество R. Именно этой буквой обозначают так называемые вещественные или

Представление

Как уже было сказано, рациональные числа - это множество, в которое входят все целые и дробные значения. Они могут быть представлены в разных формах. Во-первых, в виде обыкновенной дроби: 5/7, 1/5, 11/15 и т. д. Разумеется, целые числа также могут быть записаны в подобном виде: 6/2, 15/5, 0/1, -10/2 и т. д. Во-вторых, еще один вид представления - десятичная дробь с конечной дробной частью: 0,01, -15,001006 и т. д. Это, пожалуй, одна из наиболее часто встречающихся форм.

Но есть еще и третья - периодическая дробь. Такой вид встречается не очень часто, но все же используется. Например, дробь 10/3 может быть записана как 3,33333... или 3,(3). При этом различные представления будут считаться аналогичными числами. Так же будут называться и равные между собой дроби, например 3/5 и 6/10. Похоже, что стало ясно, что такое рациональные числа. Но почему для их обозначения используют именно этот термин?

Происхождение названия

Слово "рациональный" в современном русском языке в общем случае несет немного другое значение. Это скорее "разумный", "обдуманный". Но математические термины близки к прямому смыслу этого В латыни "ratio" - это "отношение", "дробь" или "деление". Таким образом, название отражает сущность того, что такое рациональные числа. Впрочем, и второе значение

недалеко ушло от истины.

Действия с ними

При решении математических задач мы постоянно сталкиваемся с рациональными числами, сами не зная этого. И они обладают рядом интересных свойств. Все они следуют либо из определения множества, либо из действий.

Во-первых, рациональные числа обладают свойством отношения порядка. Это означает, что между двумя числами может существовать только одно соотношение - они либо равны друг другу, либо одно больше или меньше другого. Т. е.:

либо a = b ; либо a > b, либо a < b.

Кроме того, из этого свойства также вытекает транзитивность соотношения. То есть если a больше b , b больше c , то a больше c . На языке математики это выглядит следующим образом:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Во-вторых, существуют арифметические действия с рациональными числами, то есть сложение, вычитание, деление и, разумеется, умножение. При этом в процессе преобразований можно также выделить ряд свойств.

• a + b = b + a (перемена мест слагаемых, коммутативность);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (дистрибутивность);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (при этом a не равно 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Когда же речь идет об обыкновенных, а не или целых числах, действия с ними могут вызывать определенные трудности. Так, сложение и вычитание возможны только при равенстве знаменателей. Если они изначально различны, следует найти общий, используя умножение всей дроби на те или иные числа. Сравнение также чаще всего возможно только при соблюдении этого условия.

Деление и перемножение обыкновенных дробей производятся в соответствии с достаточно простыми правилами. Приведение к общему знаменателю не нужно. Отдельно перемножаются числители и знаменатели, при этом в процессе выполнения действия по возможности дробь нужно максимально сократить и упростить.

Что касается деления, то это действие аналогично первому с небольшой разницей. Для второй дроби следует найти обратную, то есть

"перевернуть" ее. Таким образом, числитель первой дроби нужно будет перемножить со знаменателем второй и наоборот.

Наконец, еще одно свойство, присущее рациональным числам, называют аксиомой Архимеда. Часто в литературе также встречается название "принцип". Он действителен для всего множества действительных чисел, однако не везде. Так, этот принцип не действует для некоторых совокупностей рациональных функций. По сути же, эта аксиома означает, что при существовании двух величин a и b всегда можно взять достаточное количество a, чтобы превзойти b.

Область применения

Итак, тем, кто узнал или вспомнил, что такое рациональные числа, становится ясно, что они используются повсеместно: в бухгалтерии, экономике, статистике, физике, химии и других науках. Естественно, также место им есть в математике. Не всегда зная, что имеем дело с ними, мы постоянно используем рациональные числа. Еще маленькие дети, учась считать предметы, разрезая на части яблоко или выполняя другие простые действия, сталкиваются с ними. Они буквально нас окружают. И все же для решения некоторых задач их недостаточно, в частности, на примере теоремы Пифагора можно понять необходимость введения понятия

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

На этом уроке мы познакомимся с множеством рациональных чисел. Разберем основные свойства рациональных чисел, научимся переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.

Мы уже говорили про множества натуральных и целых чисел. Множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел .

Теперь мы узнали, что такое дроби, научились с ними работать. Дробь , например, не является целым числом. Значит, нужно описать новое множество чисел, куда будут входить все дроби, и этому множеству нужно название, четкое определение и обозначение.

Начнем с названия. Латинское слово ratio переводится на русский язык как отношение, дробь. Название нового множества «рациональные числа» и происходит от этого слова. То есть «рациональные числа» можно перевести как «дробные числа».

Разберемся, из каких чисел состоит это множество. Можно предположить, что оно состоит из всех дробей. Например, таких - . Но такое определение было бы не совсем корректным. Дробь - это не само число, а форма записи числа. В примере, представленном ниже, две разные дроби обозначают одно и то же число:

Тогда точнее будет сказать, что рациональные числа - это те числа, которые можно представить в виде дроби. И это в самом деле уже почти то самое определение, которое и используют в математике.

Обозначили это множество буквой . А как связаны множества натуральных и целых чисел с новым множеством рациональных чисел? Натуральное число можно записать в виде дроби, причем бесконечным числом способов . А раз его можно представить в виде дроби, то оно тоже является рациональным.

С отрицательными целыми числами аналогичная ситуация. Любое целое отрицательное число можно представить в виде дроби . А можно ли число ноль представить в виде дроби? Конечно, можно, тоже бесконечным числом способов .

Таким образом, все натуральные и все целые числа тоже являются рациональными числами. Множества натуральных и целых чисел являются подмножествами множества рациональных чисел ().

Замкнутость множеств относительно арифметических операций

Необходимость введения новых чисел - целых, затем рациональных - м ожно объяснять не только задачами из реальной жизни. Сами арифметические операции подсказывают нам это. Сложим два натуральных числа: . Получим снова натуральное число.

Говорят, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения ( замкнуто относительно сложения). Самостоятельно подумайте, замкнуто ли множество натуральных чисел относительно умножения.

Как только мы пытаемся вычесть из числа равное ему или большее, то натуральных чисел нам не хватает. Введение нуля и отрицательных целых чисел исправляет ситуацию:

Множество целых чисел замкнуто относительно вычитания. Мы можем складывать и вычитать любые целые числа, не опасаясь, что у нас не будет числа, чтобы записать результат ( замкнуто относительно сложения и вычитания).

Замкнуто ли множество целых чисел относительно умножения? Да, произведение любых двух целых чисел дает в результате целое число ( замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения).

Осталось еще одно действие - деление. Замкнуто ли множество целых чисел относительно деления? Ответ очевиден: нет. Поделим на . Среди целых чисел нет такого, чтобы записать ответ: .

Но с помощью дробного числа мы почти всегда можем записать результат деления одного целого числа на другое. Почему почти? Вспомним, что, по определению, делить на ноль нельзя.

Таким образом, множество рациональных чисел (которое возникает при введении дробей) претендует на роль множества, замкнутого относительно всех четырех арифметических операций.

Давайте проверим.

То есть множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления, исключая деление на ноль. В этом смысле можно говорить, что множество рациональных чисел устроено «лучше», чем предшествующие множества натуральных и целых чисел. Означает ли это, что рациональные числа - последнее числовое множество, которое мы изучаем? Нет. Впоследствии у нас появятся другие числа, которые нельзя записать в виде дробей, например иррациональных.

Числа как инструмент

Числа - это инструмент, которые человек создавал по мере необходимости.

Рис. 1. Использование натуральных чисел

Дальше, когда понадобилось вести денежные расчеты, перед числом стали ставить знаки плюс или минус, показывая, нужно увеличить или уменьшить исходную величину. Так появились отрицательные и положительные числа. Новое множество назвали множеством целых чисел ().

Рис. 2. Использование дробных чисел

Поэтому появляется новый инструмент, новые числа - дроби. Мы их записываем разными эквивалентными способами: обыкновенными и десятичными дробями ().

Все числа - «старые» (целые) и «новые» (дробные) - объединили в одно множество и назвали его множеством рациональных чисел ( - рациональные числа )

Итак, рациональное число - это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Но это определение в математике еще немного уточняют. Любое рациональное число можно представить в виде дроби с положительным знаменателем, то есть отношением целого числа к натуральному: .

Тогда получаем определение: число называется рациональным, если его можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем ().

Кроме обыкновенных дробей, мы используем и десятичные. Посмотрим, как они связаны с множеством рациональных чисел.

Десятичные дроби бывают трех видов: конечные, периодические и непериодические.

Бесконечные непериодические дроби: у таких дробей тоже бесконечное количество цифр после запятой, но периода нет. Примером является десятичная запись числа ПИ:

Любая конечная десятичная дробь по определению - это обыкновенная дробь со знаменателем и т.д.

Прочитаем десятичную дробь вслух и запишем в виде обыкновенной: , .

При обратном переходе от записи в виде обыкновенной дроби к десятичной могут получаться конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.

Переход от обыкновенной дроби к десятичной

Самый простой случай, когда знаменатель дроби - это степень десятки: и т.д. Тогда мы пользуемся определением десятичной дроби:

Есть дроби, у которых знаменатель легко приводится к такому виду: . Перейти к такой записи возможно, если в разложение знаменателя входят только двойки и пятерки.

Знаменатель состоит из трех двоек и одной пятерки. Каждая и образуют десятку. Значит, нам не хватает двух . Домножим на и числитель, и знаменатель:

Можно было поступить по-другому. Поделить столбиком на (см. рис. 1).

Рис. 2. Деление в столбик

В случае с знаменатель не удастся превратить в или другое разрядное число, так как в его разложение входит тройка. Остается один способ - делить в столбик (см. рис. 2).

Такое деление на каждом шаге будет давать в остатке и в частном. Этот процесс бесконечен. То есть получили бесконечную периодическую дробь с периодом

Давайте потренируемся. Переведем обыкновенные дроби в десятичные.

Во всех этих примерах мы получили конечную десятичную дробь, так как в разложении знаменателя были только двойки и пятерки.

(проверим себя делением в столик - см. рис. 3).

Рис. 3. Деление в столбик

Рис. 4. Деление в столбик

(см. рис. 4)

В разложение знаменателя входит тройка, значит, привести знаменатель к виду , и т.д. не получится. Делим на в столбик. Ситуация будет повторяться. В записи результата будет бесконечное число троек. Таким образом, .

(см. рис. 5)

Рис. 5. Деление в столбик

Итак, любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби. Это его определение.

А любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Виды записи дробей:

запись десятичной дроби в виде обыкновенной: ; ;

запись обыкновенной дроби в виде десятичной: (конечная дробь); (бесконечная периодическая).

То есть любое рациональное число можно записать конечной или периодической десятичной дробью. При этом конечную дробь тоже можно считать периодической с периодом ноль.

Иногда рациональному числу дают именно такое определение: рациональное число - это число, которое можно записать периодической десятичной дробью.

Преобразование периодической дроби

Рассмотрим сначала дробь, у которой период состоит из одной цифры и нет предпериода. Обозначим это число буквой . Метод заключается в том, чтобы получить еще одно число с таким же периодом:

Это можно сделать, умножив исходное число на . Итак, число имеет такой же период. Вычтем из само число :

Чтобы убедиться, что мы правильно все сделали, давайте теперь сделаем переход в обратную сторону, уже известным нам способом - делением в столбик на (см. рис. 1).

В самом деле получаем число в исходной форме с периодом .

Рассмотрим число с предпериодом и более длинным периодом: . Метод остается точно таким же, как и в предыдущем примере. Надо получить новое число с таким же периодом и предпериодом такой же длины. Для этого нужно, чтобы запятая сдвинулась вправо на длину периода, т.е. на два знака. Умножим исходное число на :

Вычтем из полученного выражения исходное:

Итак, каков алгоритм перевода. Периодическую дробь нужно умножить на число вида и т.д., в котором столько нулей, сколько цифр в периоде десятичной дроби. Получим новую периодическую. Например:

Вычтем из одной периодической дроби другую, получим конечную десятичную дробь:

Остается выразить исходную периодическую дробь в виде обыкновенной.

Для тренировки самостоятельно запишите несколько периодических дробей. По данному алгоритму приведите их к виду обыкновенной дроби. Для проверки на калькуляторе поделите числитель на знаменатель. Если все верно, то получится исходная периодическая дробь

Итак, любую конечную или бесконечную периодическую дробь мы можем записать как обыкновенную дробь, как отношение натурального и целого чисел. Т.е. все такие дроби являются рациональными числами.

А как обстоит дело с непериодическими дробями? Оказывается, непериодические дроби невозможно представить в виде обыкновенных (этот факт мы примем без доказательства). А значит, они не являются рациональными числами. Их называют иррациональными.

Бесконечные непериодические дроби

Как мы уже сказали, рациональное число в десятичной записи - это или конечная, или периодическая дробь. Значит, если мы сможем построить бесконечную непериодическую дробь, то мы получим нерациональное, то есть иррациональное число.

Вот один из способов такого построения: Дробная часть этого числа состоит только из нулей и единиц. Количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на . Здесь невозможно выделить повторяющуюся часть. То есть дробь не является периодической.

Потренируйтесь самостоятельно конструировать непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа

Известный нам пример иррационального числа - это число пи (). Периода в этой записи нет. Но, кроме числа пи, существует бесконечно много других иррациональных чисел. Подробнее об иррациональными числами мы поговорим позже.

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Домашнее задание

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Содержание урока

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

• целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)

• десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)

• бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа .

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество точек. Выглядит следующим образом:

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и равна 0,5

А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Значение дроби равно 1,5

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Значение дроби равно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

Это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь

Значение дроби равно 2,5

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

(−6) : 2 = −3

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6: (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями и и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

Мы получили дробь , а должны были получить дробь .

Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так