Определение числовой функции и способы её задания

Что такое функция.

Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного
множества сопоставляется единственный элемент другого
множества называются функциями.
Пишут: у = f(x), x Є X.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Множество всех допустимых значений независимой переменной
является областью определения функции и обозначается D(y).
Переменную у – зависимой переменной.
Множество всех значений зависимой переменной является областью
значений функции и обозначается Е(у).

Способы задания функции

Существуют 4 способа задания функции.
1.Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции
имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.
Х
2
3
4
5
У
4
6
8
10
2.Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот
способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств.
У=2х+5, у= х² -5х+1, у= |х+5|.
3. Графический способ. Функция задается своей геометрической
моделью на координатной плоскости.
4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими
способами затруднительно.

§3

четность
нечетность
непрерывность
выпуклость
Монотонность:
Возрастание;
убывание
Свойства
функции
Наибольшее и
наименьшее
значения
функции
Промежутки
знакопостоянства
(промежутки, в которых функция
принимает только положительные
или только отрицательные значения)
нули функции
(значения аргумента,
в которых значение
Функции равно нулю)
периодичность
Экстремумы:
точка максимума,
точка минимума

Линейная функция.

О. Функция вида y=kx+b называется линейной.
Т. Графиком линейной функции y=kx+b, при k≠0 является
прямая, пересекающая
ось ординат в точке (0; b), ось абсцисс в точке (-b/ k; 0)
k<0
D(f) = R
E(f) = R
k>0
k=0

k
Функция y
x
О. Функция вида у=к/х, где к≠0, называется
обратной пропорциональностью.
График обратной пропорциональности (гипербола) получается из
графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к <0 симметрии
относительно оси абсцисс)
D(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
E(f) = (-∞;0) U (0;+∞)

Степенная функция с целым показателем.

О. Функция вида у=хⁿ , где n- натуральное число,
называется степенной.
О. График степенной функции с показателем n
называется параболой степени n.
n- четное число
D(f) = (-∞;∞)
E(f) =
возрастает при х Є
Ответ:
X Є [-1;8]

14. Множество значений функции

1.
у= 2sin²x-cos2x
Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1
0 ≤ Sin²x ≤ 1, -1 ≤ 4sin²x-1 ≤ 3
Ответ: -1 ≤ у ≤ 3
2.
у = 1 - 2 |cosx|
Решение: -1 ≤ cosx ≤ 1 , 0 ≤ |cosx| ≤ 1 , -1 ≤ 1 - 2 |cosx| ≤ 1 ≤ 1
Ответ: -1 ≤ у ≤ 1
3.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой
функции.
E(f)=(-2;2]
E(f)= [-3;1]
E(f)= (-∞;4]

15. Решение неравенств

На рисунке изображены графики функций y= f (x) и y= g (x),
заданных на промежутке. Укажите те значения х, для
которых выполняется неравенство f(x)≤ g(x)
Ответ:
f(x)≤ g(x) на отрезке [-3;2] 09.07.2015 11259 0

Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение материала 9 класса

Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.

Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).

Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).

Пример 1

Рассмотрим функцию Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения и, наконец, прибавить число 3 Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).

Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).

Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим Так как по определению арифметического корня то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим: или 3 ≤ у < +∞. Находим

В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).

Пример 2

Рациональная функция определена при х - 2 ≠ 0, т. е. x ≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).

Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .

Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому

Пример 3

Найдем область определения дробно-рациональной функции

Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции

Пример 4

Зависимость уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению x (x = 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.

Пример 5

Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.

На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).

Рассмотрим теперь основные способы задания функций.

1) Аналитический (с помощью формулы или формул).

Пример 6

Рассмотрим функции:

Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем: Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.

в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.

2) Табличный

Пример 7

Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.

		2,25		6,25

Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.

3) Графический

В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.

Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.

В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.

Пример 8

Дана функция Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.

2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.

По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).

Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.

Пример 9

Дана функция у = 2х2 - 3х +1.

Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).

Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:

Пример 10

Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).

а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;

б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно, что Найдем х(у).

Обозначим буквой z = x - 2, тогда х = z + 2, и запишем условие задачи: или To же условие запишем для аргумента (- z ): Для удобства введем новые переменные a = y (z ) и b = y (- z ). Для таких переменных получим систему линейных уравнений

Нас интересует неизвестная a .

Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:

Сложим эти уравнения: откуда Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:

В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:

а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);

б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);

в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции

г) степенной функции у = ха (в частности, функции

д) функции у = |х|.

Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.

1. Дайте определение числовой функции.

2. Расскажите о способах задания функции.

3. Что называется объединением множеств А и B ?

4. Какие функции называются целыми рациональными?

5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?

6. Что называют графиком функции f (х)?

7. Приведите свойства и графики основных функций.

IV. Задание на уроках

§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.

V. Задание на дом

§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.

VI. Творческие задания

1. Найдите функцию у = f (х), если:

Ответы:

2. Найдите функцию у = f (x ) если:

Ответы:

VII. Подведение итогов уроков

6.1. Определение числовой функции 70

7.1. Сужение функции 72

7.2. Способы задания функции 73

7.3. Явно или неявно заданные функции 73

7.4. Параметрически заданные функции 75

7.5. График функции 77

7.6. Примеры построения графиков функций 78

7.7. Упражнения для самостоятельной работы 83

Вопросы для самопроверки 85

Глоссарий 85

1. Определение числовой функции

Обозначения: или
или
или
или
.

где x - это независимая переменная, или аргумент;y - это зависимая переменная, или функция.

Если обозначить через

X – множество числовых значений, которые может принимать переменнаяx ,

Y – множество числовых значений, которые принимает переменнаяy ,

то функциональная зависимость между переменными x иy здесь задает отображение числового множестваX на числовое множествоY , при котором каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент множестваY (рис. 40).

Рис. 40

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X , элементами которого являются числа, на множествоY , элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множествоY - это есть множество значений функции, так что отображение
является сюръекцией.

МножествоX задания функции и множествоY значений функции для числовых функций традиционно называютобластью определения функции (ООФ) иобластью значений функции (ОЗФ) .

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией
, то элементы множествX иY называются точками. Символом
обозначается при этом как сама функция, так и элемент
, соответствующий элементуx при этой функциональной зависимости.

Если x 0 - это фиксированное значение аргументаx , то значение функции в точкеx 0 обозначается следующими символами:

или
или
или
.

Например,

;

,
.

1. Сужение функции

Если есть функция
и рассматривается некоторое подмножествоЕ множестваХ , то отображение
называетсясужением функции f на множество Е .

Пример 1 (сужение функций)

1)
,
- это есть сужение функции
,
на множество
;

2) любая последовательность
есть сужение функции
на множество натуральных чисел; например,
– это есть сужение функции
,
на множество.

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширения функции.

Пример 2 (расширение функций)

1)
; от этой функции можно перейти к её расширению на множество
:
;

2) от функции
можно перейти к её расширению на множество
, если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.

1. Способы задания функции

1.Аналитический способ задания функции - функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию. По этой формуле для каждого возможного значения аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. При этом нужно различать:

явное задание функции,

неявное задание функции,

параметрическое задание функции.

2.Табличный способ задания функции - используется для функций, заданных на дискретном конечном множестве значений аргумента; записывается обычно в виде следующей таблицы:

3.Графический способ задания функции - задается множество точек координатной плоскости, координаты которых являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции.

4.Описательный способ задания функции – функциональная зависимость описывается словами. Например,
, где- этоцелая часть x , которая определяется как наибольшее целое число, не превышающееx .

Что такое функция. Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями. Пишут: у = f(x), x Є X. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y). Переменную у – зависимой переменной. Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у).

Способы задания функции Существуют 4 способа задания функции. 1. Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений. Х2345 У Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств. У=2 х+5, у= х² -5 х+1, у= |х+5|. 3. Графический способ. Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости. 4. Описательный способ. Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.

§3 Свойства функции Монотонность: Возрастание; убывание нули функции (значения аргумента, в которых значение Функции равно нулю) непрерывность периодичность четность нечетность Экстремумы: точка максимума, точка минимума выпуклость Наибольшее и наименьшее значения функции Промежутки знакопостоянства (промежутки, в которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения)

О. Функция вида у=к/х, где к 0, называется обратной пропорциональностью. График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к

Функция у = |х| у=|х |= х, если х 0 -х, если х

0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." class="link_thumb"> 11 Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> 0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига." title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига."> title="Дробно-линейная функция О. Функция вида называется дробно- линейной, где с>0. О. График дробно-линейной функции- гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.">

Нахождение области определения функции

Множество значений функции 1.у= 2sin²x-cos2x Решение: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Ответ: -1 у 3 2. у = |cosx| Решение: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, |cosx| 1 1 Ответ: -1 у 1 3. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]