Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.

Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

В дальнейшем при определении кратности корней нам будет полезно следующее предложение.

Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с. В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.

Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.

А сейчас вернемся к понятию кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:

Таблица 4

Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Итак, f (x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) 3.

Для этого проверим, делится ли h (x) =x3-x2-5x+6 на х-2:

Таблица 6

Находим, что остаток при делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) 4.

Таким образом, f (x) делится на (х-2) 3, но не делится на (х-2) 4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).

Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид:

Таблица 8

Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3. Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?

Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:

Таблица 9

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2.

РЕФЕРАТ

Корни многочлена. Теорема Безу

Выполнили:

Студенты 1 курса группы ИМ-11

Очного отделения

Шабунин Дмитрий Олегович

Зорин Александр Сергеевич

Проверила:

Бобылева Оксана Владимировна

подпись___________________

Введение……………………………………………………………………………...3

1.Многочлены………………………………………………………………………..3

1.1.Определение многочлена………………………………………………………3

1.2.Определение корня многочлена……………………………………………….4

1.3.Схема Горнера………………………………………………………………….5

1.4.Нахождение корней по схеме Горнера. Виды корней……………………….7

2. Этьен Безу. Биография. Теорема Безу. Следствия из теоремы……………….13

2.1. Этьен Безу. Биогафия………………………………………………………...13

2.2. Теорема Безу………………………………………………………………….13

2.3 Следствия из теоремы Безу…………………………………………………..14

2.4. Примеры использования теоремы…………………………………………..14

Заключение………………………………………………………………………….16

Список используемых источников………………………………………………..17

ВВЕДЕНИЕ

Тема данного реферата: «Корни многочлена. Теорема Безу».

В нем мы хотим рассмотреть, что такое многочлен, что является корнем многочлена, а также рассказать про схему Горнера и теорему Безу.

В первой части мы разберем понятие многочлена, его корней и их виды и про схему Горнера. Во второй про теорему Безу.

Данная тема довольно актуальна, поскольку теорема Безу является одной из базовых теорем алгебры.

Многочлены

Понятие многочлена

Многочлен (полином) от одной переменной x – это выражение вида

где x – переменная, – коэффициенты из некоторого числового поля, n – целое неотрицательное число, а нулевое- свободный член. Отдельные слагаемые вида ……, k=0,1, …,n называются членами многочлена.

Также многочлен называют «полиномом», этот термин происходит от греческих слов «πολι» - много и «νομχ» - член.

2 члена называются подобными , если их степени равны. При этом подобные между собой члены можно преобразовать в один, т.е. привести подобные члены.

Степенью многочлена называют наибольшую среди степеней многочлена, при этом многочлен f(x)- не тождественный нуль. Обозначается эта степень deg(f).

Например:

Многочлен четвертой степени (старшая степень равна четырем);

- многочлен второй степени или квадратный (старшая степень равна двум).

При этом тождественный нуль степени не имеет.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат определенному полю (полю действительных, рациональных, комплексных чисел). Так, если выполнять над многочленом операции сложения, умножения или вычитания при помощи сочетательного, переместительного и распределительных законов, мы получаем снова многочлен.

Из вышесказанного следует, что совокупность всех многочленов с коэффициентами из данного поля Р образует кольцо Р - кольцо многочленов над данным полем, это кольцо не имеет делителей нуля, т.е. произведение многочленов, не равных нулю, не может дать нуль.

Определение корня многочлена

Элемент кольца Р называется корнем многочлена f(x) ∈ Р , если f( )= 0. Другими словами, число является корнем многочлена f( x), если в выражение

мы подставим , тогда получим

Таким образом, при подстановке вместо число получается верное выражение. Это означает, что число является корнем равенства f(x)=0.

Поэтому корень многочлена f(x) и корень соответствующего уравнения f(x)=0 по сути одно и то же.

К примеру, найдём корень многочлена f(x)=3 -10+3

Данное выражение является квадратным поэтому для нахождения корня многочлена нам необходимо решить следующее уравнение

3 -10х+3=0.

Для этого необходимо рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений.

Кратный корень

многочлена

f (x ) = a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n ,

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Кратный корень" в других словарях:

Алгебраического уравнения f(х) = а0хn + a1xn 1 + ... + an = 0, такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b. * * * КРАТНЫЙ КОРЕНЬ КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического… … Энциклопедический словарь

Алгебр. ур ния f(x) = а0хn + + а1хn 1 + ... + ап = 0, такое число b, что f(x) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень т двучлена (х b); число т кратность корня b … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2 ю или более высокую степень m двучлена (х b); число m кратность корня b … Большой Энциклопедический словарь

Утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… … Википедия

Правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. Для любого многочлена f(x) без… … Большая советская энциклопедия

Раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия

Неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… … Математическая энциклопедия

Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

Число корней алгеб раич. уравнения заключенных в интервале равно или на четное число меньше, чем где число перемен знака в ряду производных многочлена в точке а, т. е. в ряду а число перемен знака в этом ряду в точке 6. При этом каждый кратный … Математическая энциклопедия

Алгебраическое уравнение 2 й степени. Общий вид К. у. В поле комплексных чисел К. у. имеет два решения, выражающиеся в радикалах через коэффициенты этого уравнения: При b2>4ас оба решения К. у. действительные и различные, при b2<4ас решения … Математическая энциклопедия