Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике . Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (). Данные функции часто появляются при решении и функциональных уравнений.
К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция .
Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left({x,y} \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left({x,y} \right)\).
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
ординаты \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется отношение
абсциссы \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)
Секанс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)
Косеканс
угла \(\alpha\) − это отношение
радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)
В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left({x,y} \right)\) и радиус \(r\) образуют
прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой.
Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику
формулируются таким образом:
Синусом
угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом
угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом
угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом
угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс
угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.
График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)
График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb{R}\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)
Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x 0 и отсчитать от оси Ox угол x 0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1) а ее проекцией на ось Ох будет точка М . Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A . Данному значению аргумента x 0 сопоставлено значение функции y = cos x 0 как абсциссы точки А . Соответственно точка В (x 0 ; у 0) принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2). Если точка А находится правее оси Оу , токосинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:
–1 = cos x = 1.
Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p , возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x p :
cos (x + 2p ) = cos x.
Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x , найти на окружности соответствующие точки A x и А -x . Как видно на рис. 3 их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М . Поэтому
cos (–x ) = cos (x ),
т.е. косинус – четная функция, f (–x ) = f (x ).
Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке , а затем учесть ее четность и периодичность.
При х = 0 точка А лежит на оси Ох , ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p /2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p . Таким образом, на отрезке функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).
Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p , 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = –p /2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).
Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p /2 + kp , где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp , т.е. с шагом 2p , а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp .
Функция y = sin х.
На единичной окружности углу x 0 соответствует точка А (рис. 7), а ее проекцией на ось Оу будет точка N . З начение функции у 0 = sin x 0 определяется как ордината точки А . Точка В (угол x 0 , у 0) принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8). Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p :
sin (x + 2p ) = sin (x ).
Для двух значений аргумента, х и – , проекции соответствующих им точек А x и А -x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О . Поэтому
sin (–x ) = –sin (x ),
т.е. синус – функция нечетная, f(–x ) = –f(x ) (рис. 9).
Если точку A повернуть относительно точки О на угол p /2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p /2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,
sin (x + p /2) = cos x.
Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p /2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p /2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p /2 вправо (рис. 10). Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством
Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ , а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство
|sin x | x|, верное при любом х .
Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х » х при малых х .
Функции у = tg х, у = ctg х . Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:
Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p , т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.
Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p /2 + kp . Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p /2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).
Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp ). В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp – его вертикальные асимптоты. В точках х = p /2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).
Четность и периодичность.
Функция называется четной, если f (–x ) = f (x ). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:
sin (–α) = – sin α | tg (–α) = – tg α |
cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Свойства четности вытекают из симметричности точек P a и Р - a (рис. 14) относительно оси х . При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х ; у ) переходит в (х ; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p , а тангенс и котангенс – p :
sin (α + 2kπ ) = sin α | cos (α + 2kπ ) = cos α |
tg (α + kπ ) = tg α | ctg (α + kπ ) = ctg α |
sec (α + 2kπ ) = sec α | cosec (α + 2kπ ) = cosec α |
Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки P a + 2 kp , где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки P a + kp поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.
Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:
Функция | Область определения | Множество значений | Четность | Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…) |
sin x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | нечетная | возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2) |
cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | четная | Возрастает приx О ((2k – 1) p , 2kp ),убывает приx О (2kp , (2k + 1) p ) |
tg x | x № p /2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | убывает приx О (kp , (k + 1) p ) |
sec x | x № p /2 + p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | четная | Возрастает приx О (2kp , (2k + 1) p ),убывает приx О ((2k – 1) p , 2kp ) |
cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Формулы приведения.
По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a , где p /2 a p , можно привести к значению функции аргумента a , где 0 a p /2, как той же, так и дополнительной к ней.
Аргумент b | – a | + a | p – a | p + a | + a | + a | 2p – a |
sin b | cos a | cos a | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a |
cos b | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a | sin a | cos a |
Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp /2 ± a , где k – целое число, к функции от аргумента a :
1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;
2) знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp /2 ± a , если угол a острый.
Например, при приведении ctg (a – p /2) убеждаемся, что a – p /2 при 0 a p /2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (a – p /2) = –tg a .
Формулы сложения.
Формулы кратных углов.
Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos n a и sin n a , которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.
Если в формулах двойного аргумента заменить a на a /2, их можно преобразовать в формулы половинных углов:
Формулы универсальной подстановки.
Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg (a /2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений:
Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.
До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:
2 sin a sin b = cos (a – b ) – cos (a + b );
2 cos a cos b = cos (a – b ) + cos (a + b );
2 sin a cos b = sin (a – b ) + sin (a + b ).
Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.
Формулы понижения степени.
Из формул кратного аргумента выводятся формулы:
sin 2 a = (1 – cos 2a )/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a )/4; | cos 3 a = (3 cosa + cos 3 a )/4. |
С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.
Производные и интегралы тригонометрических функций | |
(sin x )` = cos x ; | (cos x )` = –sin x ; |
(tg x )` = ; | (ctg x )` = – ; |
т sin x dx = –cos x + C ; | т cos x dx = sin x + C ; |
т tg x dx = –ln |cos x | + C ; | т ctg x dx = ln |sin x | + C ; |
Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.
Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.
Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x :
Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x :
при |x| p /2;
при 0 x| p
(B n – числа Бернулли).
Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:
Тригонометрическая система 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , ¼, cos nx , sin nx , ¼, образует на отрезке [–p , p ] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.
определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x , если вместо x поставить z :
Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.
Тангенс и котангенс определяются формулами:
Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p /2 + p n, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = p n , n = 0, ±1, ±2,…
Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,
sin (–z ) = –sin z ,
cos (–z ) = cos z ,
tg (–z ) = –tg z ,
ctg (–z ) = –ctg z,
т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы
sin (z + 2p ) = sin z , (z + 2p ) = cos z , (z + p ) = tg z , (z + p ) = ctg z ,
т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.
Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:
Обратно, e iz выражается через cos z и sin z по формуле:
e iz = cos z + i sin z
Эти формулы носят название формул Эйлера . Леонард Эйлер вывел их в 1743.
Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:
z = –i sh iz , cos z = ch iz, z = –i th iz.
где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy , где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:
sin (x + iy ) = sin x ch y + i cos x sh y ;
cos (x + iy ) = cos x ch y + i sin x sh y .
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f (x ) = a , где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.
Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а . Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями.
Обратные тригонометрические функции.
Для sin х , cos х , tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x »), arcos x , arctg x и arcctg x . По определению, arcsin х есть такое число у, что
sin у = х .
Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.
Если отразить sin х , cos х , tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.
Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p , при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса в качестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p /2, p /2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок , для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p /2, p /2) и (0, p ). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x 0 , такое, что 0 Ј x 0 Ј 1. Тогда значением функции y 0 = arcsin x 0 будет единственное значение у 0 , такое, что –p /2 Ј у 0 Ј p /2 и x 0 = sin y 0 .
Таким образом, арксинус – это функция агсsin а , определенная на отрезке [–1, 1] и равная при каждом а такому значению a , –p /2 a p /2, что sin a = а. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности (рис. 15). При |а| 1 на окружности есть две точки с ординатой a , симметричные относительно оси у. Одной из них отвечает угол a = arcsin а , а другой – угол p - а. С учетом периодичности синуса решение уравнения sin x = а записывается следующим образом:
х = (–1) n arcsin a + 2p n ,
где n = 0, ±1, ±2,...
Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:
cos x = a , –1 = a = 1;
x = ±arcos a + 2p n ,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 16);
tg х = a ;
x = arctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);
ctg х = а ;
х = arcctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).
Основные свойства обратных тригонометрических функций:
arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [–p /2, p /2], монотонно возрастающая функция;
arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – ; монотонно убывающая функция;
arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (–p /2, p /2); монотонно возрастающая функция; прямые у = –p /2 и у = p /2 – горизонтальные асимптоты;
arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p ); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.
,Для любого z = x + iy , где x и y – действительные числа, имеют место неравенства
½|e\e y –e -y | ≤|sin z |≤½(e y +e -y),
½|e y –e -y | ≤|cos z |≤½(e y +e -y ),
из которых при y ® Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x )
|sin z | » 1/2 e |y| ,
|cos z | » 1/2 e |y| .
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида , Архимеда , Аполлония Пергского и других, однако эти соотношения не являлись самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 – 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30" с точностью до 10 –6 . Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 – начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec a и cosec a . Ариабхата знал уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а также формулы sin и cos половинного угла, с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45"; исходя из известных значений тригонометрических функций для простейших аргументов. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул сложения. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов в произведение выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1". Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено И.Ньютоном (1669). В современную форму теорию тригонометрических функций привел Л.Эйлер (18 в.). Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов.
Построение графиков тригонометрических функций в 11классе
Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань
Спиридонова Л.В.
- Тригонометрические функции числового аргумента
- y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
- Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
- Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
- Примеры
Тригонометрические функции числового аргумента.
y=sin(x)
y=cos(x)
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Свойства функции у = sin ( x ) .
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x
- π .
sin (x + 2 π ) = sin(x).
5. Функция непрерывная
Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .
6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .
+
+
+
-
-
-
Построение графика функции y = cos x .
График функции у = cos x получается переносом
графика функции у = sin x влево на π /2.
Свойства функции у = со s ( x ) .
1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)
- Функция периодическая, с главным периодом 2 π .
cos ( х + 2 π ) = cos (х) .
5. Функция непрерывная
Убывает: [ 0 ; π ] .
6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .
+
+
+
+
-
-
-
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x ) + m
и
у = cos (х) + m.
0 , или вниз, если m ." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,
или вниз, если m .
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0
m
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= cos ( x ) +m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0
m
Преобразование: y=sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Преобразование: y= cos ( x ) + m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x + t )
и
у = cos ( х + t )
0 и вправо, если t 0." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Ох
График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0
и вправо , если t 0.
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y = sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
Преобразование: y= sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
0
1 и 0 а 1" width="640"
Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1
1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"
Сжатие и растяжение вдоль оси Ох
График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .
1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"
Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1
пусть а=1,5
1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"
Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1
пусть а=1,5
Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0
пусть а=0,5
Преобразование: y = a·cos ( x ), 0
пусть а=0,5
sin (
y
x
y=sin(x) → y=sin(x- π )
x
sin (
y
y
sin (
x
y
x
- 1
y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3
x
x
x
y
y
sin
y
sin
sin
sin
y
x
y
x
- 1
y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2
y
x
- 1
y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1
y
y
y
cos
y
cos x + 2
x
cos x + 2
cos x
y
x
- 1
y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2
y
x
- 1
y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →