Основные понятия теории. Статистическое определение вероятности

Основные понятия теории

Вероятность
Вероятностное пространство
Случайная величина
Локальная теорема Муавра - Лапласа
Функция распределения
Математическое ожидание
Дисперсия случайной величины
Независимость
Условная вероятность
Закон больших чисел
Центральная предельная теорема

Теория вероятности

Введение…………………………………………………………………….2

Основные положения теории ………………………..……………………3

Заключение…………………………………………………………………11

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).

Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной 1/6 (или100/6 %). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 · 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 · 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.

Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна11/100 , т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события,называемого противоположным событию A, равна25/36 . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 · 6 = 63, при четырехкратном 63 · 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 · 5 = 53, при четырехкратном 53 · 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна, а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна.

Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.

Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев.

Важно отметить, что произведенные выше расчеты и само понятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились к явлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна 16; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.

Отношение числа появлений события к числу испытаний называется частостью события. Для однородных массовых явлений частости событий ведут себя устойчиво, т. е. мало колеблются около средних величин, которые и принимаются за вероятности этих событий (статистическое определение понятия вероятности).

В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.)

Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости.

Основное положение теории

Теория вероятности – это наука, занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Такие же закономерности, только в более узкой предметной области социально-экономических явлений, изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются как вероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характер статистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широко применяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение и внедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

Как уже говорилось, понятие вероятности события определяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовых операций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторения подобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждое отдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплекс условий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно быть возможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример1. При бросании игральной кости "наудачу" существенным условием является только то, что кость бросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давление и температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определенную мишень с данного расстояния из положения "стоя"; каждый отдельный выстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях. Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение ("стоя", "лежа", "с колена"), то предыдущие условия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбы с данного расстояния.

Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.

При стрельбе случайным событием является попадание в цель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположным ему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, что понятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать в житейском смысле: "это чистая случайность", так как для хорошего стрелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой в обыденном смысле.

Пусть при некотором числе n испытаний событие A наступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались "удачными", в том смысле, что интересующее нас событие A осуществилось, и n-m результатов оказались "неудачными" - событие A не произошло.

Вероятностью события A, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний).

Само собой разумеется, что если вероятность события равна, то при n испытаниях событие A может наступить и более чем m раз, и менее чем m раз; оно лишь в среднем наступает m раз, и в большинстве серий по n испытаний число появлений события A будет близко к m, в особенности если n - большое число.

Таким образом, вероятность P(A) есть некоторое постоянное число, заключенное между нулем и единицей:

P(A) Ј 1

Иногда ее выражают в процентах: Р(А) 100% есть средний процент числа появлений события A. Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е. условия S производства испытаний - определенные; если их существенно изменить, то может измениться вероятность события A: то будет вероятность события A в другой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будем считать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовой операции; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, то это будет специально отмечаться.

Два события A и B называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

В этом случае пишут

и не делают различия между этими событиями. Вероятности равно- сильных событии A = B, очевидно, одинаковы:

Обратное утверждение, конечно, неверно: из того, что P(A) = P(B), отнюдь не следует, что A = B.

Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Условимся обозначать его буквой D.

Для достоверного события число его наступлений m равно числу испытаний n, поэтому частость его всегда равна единице, т. е. вероятность достоверного события следует принять равной единице:

P(D) = 1

Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Условимся обозначать его буквой H.

Для невозможного события m = 0, следовательно, частость его всегда равна нулю, т. е. вероятность невозможного события следует считать равной нулю:

P(H) = 0

Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практически невозможно.

На сколько мала должна быть вероятность события, чтобы практически можно было считать его невозможным? Общего ответа здесь дать нельзя, так как все зависит от того, насколько важно это событие.

Например.Если, например, вероятность того, что электрическая лампочка окажется испорченной, равна 0,01, то с этим можно примириться. Но если 0,01 есть вероятность того, что в банке консервов образуется сильный яд ботулин, то с этим примириться нельзя, так как примерно и одном случае из ста будет происходить отравление людей и человеческие жизни окажутся под угрозой.

Как и всякая наука, теория вероятности и математическая статистика оперируют рядом основных категорий:

События;

Вероятность;

Случайность;

Распределение вероятностей и т.д.

События – называется произвольное множество некоторого множества всех возможных исходов, могут быть:

§ Достоверные;

§ Невозможные;

§ Случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомо произойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойти либо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственновозможными , если наступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными , если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми , если появление одного из них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Источник: Электронный каталог отраслевого отдела по направлению «Юриспруденция»
(библиотеки юридического факультета) Научной библиотеки им. М. Горького СПбГУ

Категория вероятности в судебной экспертизе и доказывании по уголовным делам:

АР
О345 Овсянников, И. В. (Игорь Владимирович).
Категория вероятности в судебной экспертизе и
доказывании по уголовным делам:Автореферат диссертации на
соискание ученой степени доктора юридических наук.
Специальность 12.00.09 - Уголовный процесс; Криминалистика
и судебная экспертиза; Оперативно-розыскная деятельность /
Науч. рук. Р. С. Белкин; Академия управления МВД России. -
М.,2001. -40 с.-Библиогр. : с. 36 - 39.45. ссылок Материал(ы):

Категория вероятности в судебной экспертизе и доказывании по уголовным делам.
Овсянников, И. В.
Овсянников, И. В.

Научная новизна диссертационного исследования заключа-ется в том, что оно является первым комплексным монографи-ческим исследованием роли, места и значения вероятного зна-ния в судебной экспертизе, в доказывании по уголовным делам, при постановлении судебного приговора. Новизна работы за-ключается в усовершенствовании понятийного аппарата, в обос-новании недопустимости смешения понятий «вероятность» и «предположение» как на практике, так и в теоретических раз-работках. Впервые предложены критерии их разграничения, в частности, на примере вероятных и предположительных выво-дов эксперта. Новым является и то, что в работе с использова-нием основных понятий и принципов теории информации дано толкование таким характеристикам заключения эксперта, как определенность и неопределенность, показано различие основа-ний при классификации заключений экспертов на категориче-ские- вероятные, и па определенные - неопределенные, обос-новано наличие (отсутствие) доказательственного значения, за-ключений экспертов различных классов.

Кроме того, в работе обосновано соотношение четырех ка-тегорий-«истинность», «ложность», «вероятность» и «досто-верность» - применительно к следственно-судебному и эксперт-ному познанию; предложены расширенные (по сравнению с имеющимися в уголовно-процессуальном законе) перечни осно-вании прекращения уголовного дела с реабилитацией обвиняе-мого на стадии предварительного расследования и оснований оправдания в суде традиционной формы; обоснована целесооб-разность расширения этих перечней необходимостью различать и фиксировать при разрешении дела не только юридические, но и гносеологические результаты доказывания, констатировать достигнутый субъектом исследования и оценки доказательств уровень знания (вероятный или достоверный) о тех или иных, имеющих значение для дела и подлежащих доказыванию обстоятельствах.

Впервые сформулированы и классифицированы в предло-женном виде основания оправдания в суде присяжных.

Обоснована возможность описания процесса исследования и доказывания криминалистических версий с помощью субъек-тивных оценок вероятностей этих версий субъектом расследо-вания. Именно такими субъективными вероятностями оперирует вероятностная теория индукции, которую в современной ин-дуктивной логике используют для объективной характеристики степени подтверждения гипотез (версий). Предложена трактовка понятия величины (степени) риска в криминалистике как величины возможных совокупных потерь при различных вариантах планирования и проведения рассле-дования. На этой основе сформулирована задача оптимизации процесса расследования, то есть задача оптимального выбора круга проверяемых версий и дифференциации следователем своей активности по проверке каждой из них. На математиче-ских моделях продемонстрированы схемы решения таких задач для некоторых простейших типичных следственных ситуаций. Предлагаемые решения построены с использованием заимство-ванного из математической статистики понятия среднего риска, т. е. математического ожидания случайной величины потерь.

Определено и обосновано соотношение двух альтернативных логических схем доказывания в уголовном процессе.

Выдвинут и обоснован тезис о том, что наличие во многих вероятностно-статистических идентификационных экспертных методиках субъективно установленных численных критериев тождества, разрешающих эксперту формулировать вывод о тож-дестве в категорической форме и пренебрегать малой вероят-ностью возможной ошибки, лишает эти методики главного до-стоинства, ради которого они создавались,- объективности вы-вода. В качестве решения поставленной проблемы экспертам предлагается формулировать при наличии к тому возможности выводы в вероятной форме с указанием вероятности установ-ленного обстоятельства или вероятности возможной ошибки.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. В уголовном процессе, криминалистике и теории судеб-ной экспертизы необходимо различать понятия «вероятность» и «предположение». Предположение - это утверждение (мысль) о существовании каких-либо фактов и (или) обстоятельств. Ве-роятность - это характеристика знания, которое задается пред-положением, выражающая степень обоснованности этого зна-ния. Вероятный вывод - это предположение в той или иной степени обоснованное, подтвержденное.

Выражение «предположение о факте» следует употреблять в контексте открытия гипотезы, а выражение «вероятное уста-новление факта» - в контексте оправдания. В последнем слу-чае гипотеза имеет определенную степень подтверждения, то есть ей приписывается некоторая апостериорная вероятность.

Задача эксперта - установить предполагаемое обстоятель-ство или оценить степень обоснованности (доказанности) выве-денного на основе специальных познаний нового знания, то есть степень его вероятности. В противном случае следует сделать вывод о невозможности решения вопроса. В любом случае вы-вод эксперта - это мысль, завершающая его исследование, ноне предваряющая. Предположительный вывод лишает смысла проведенную экспертизу.

1. Уголовно-процессуальный закон не обязывает следовате-ля непременно раскрыть каждое преступление, а обязывает лишь принять для этого все допустимые и необходимые меры. Поэтому раскрытие преступления или установление истины не может быть главным и единственным критерием оценки рабо-ты следователя пли суда.

2. Истинность и ложность - объективные, а вероятность и достоверность - субъективные характеристики достигнутого экспертом, следователем или судом знания. Вероятное знание может быть как истинным, так и ложным; достоверное знание тоже может быть как истинным, так и ложным. Оправдательный приговор может основываться как на достоверно установленных фактах и обстоятельствах дела, так и на фактах и обстоятельствах, о которых судом достигнуто лишь вероятное знание. При этом уровнем вероятности может характеризоваться знание о любых обстоятельствах дела.

Вероятное установление обстоятельств, влияющих на фор-му вины, на квалификацию деяния, не должно препятствовать постановлению обвинительного приговора, если только преступ-ный характер действий подсудимого, сама виновность подсуди-мого в совершении преступления доказаны достоверно. При этом любые неустраненные сомнения должны толковаться в пользу подсудимого.

5. Предусмотренные законом (п. 1 ч. 1 ст. 5, п. 2 ч. 1 ст. 5, п. 2 ч. I ст. 208 УПК РСФСР) основания прекращения уголов-ного дела на стадии предварительного расследования с реаби-литацией обвиняемого не позволяют отразить и разграничить все возможные варианты гносеологических результатов дока-зывания и уровней достигнутого следователем знания об об-стоятельствах, подлежащих доказыванию. Имеющийся перечень этих оснований следует расширить.

Предусмотренный законом (ч. 3 ст. 309 УПК РСФСР) пе-речень оснований постановления оправдательных приговоров в судах традиционной формы не позволяет в ряде случаев точ-но отразить гносеологические результаты разбирательства де-ла в суде. Этот перечень следует расширить.

6. При постановлении оправдательного приговора в суде присяжных основания оправдания, перечисленные в ч. 3 ст. 309 УПК РСФСР, не применимы. В суде присяжных необходимо различать юридические и фактические основания оправдания.
Юридические основания перечислены в п. 2 ч. 1 ст. 461 УПК РСФСР. Фактические основания определяются ответами кол-легии присяжных заседателей на вопросы вопросного листа. В резолютивной части приговора необходимо указывать и юри-дическое, и фактическое основание оправдания.

Большая доля оправдательных приговоров в суде присяж-ных по сравнению с судом традиционной формы обусловлена вполне объективными причинами, коренящимися в существен-ных различиях двух форм отправления правосудия.

7. Практическое подтверждение любого следствия, логиче-ски выведенного из версии, подтверждает эту версию, причем тем в большей степени, чем меньше вероятность (ожидаемость) этого следствия до принятия к проверке данной версии.

Достоверное подтверждение одной из нескольких конкури-рующих следственных версий опровергает иные версии и осво-бождает следователя от необходимости непосредственной про-верки всех остальных возможных версий.

8. Реализация любого из возможных вариантов продолже-ния расследования сопровождается некоторым риском, так как может привести к каким-либо потерям (временным, трудовым, нравственным, материальным и т. д.). В качестве меры степе- ни риска целесообразно использовать величину возможных по-терь. Величина потерь (риска) в общем случае является слу-чайной.

В любой следственной ситуации существует оптимальный ва-риант плана продолжения расследования, т. е. оптимальный вариант дифференциации активности следователя по проверке различных имеющихся версий. Оптимален тот вариант, кото-рый сопровождается наименьшим средним риском. Чтобы най-ти этот вариант, необходимо оценить средние потери, которыми будут сопровождаться различные варианты. В качестве меры средних потерь естественно использовать сумму всех возмож-ных потерь, взятых с весовыми коэффициентами, равными ве-роятностям соответствующих потерь, т. е. величину, называе-мую в теории вероятностей математическим ожиданием.

9.Вероятность версий - важный фактор, определяющий очередность проверки версий или дифференциацию активности следователя по проверке ряда версий, но он не должен быть единственным при принятии решений. Не менее значимы дру-гие факторы: цели и задачи уголовного судопроизводства; дли-тельность и трудоемкость проверки; необходимые материальные затраты, криминалистическая техника; риск утраты возможно-сти проверки каких-либо обстоятельств, возможности выявле-ния и обнаружения каких-либо следов и т, д. При планировании расследования следует учитывать все эти факторы в со-вокупности. Руководствоваться же только вероятностями раз-личных версий можно «при прочих равных условиях» или в ситуации, когда трудно оценить и сопоставить другие значи-мые факторы.

10. Соотношение двух схем доказывания, двух концепций достижения достоверности в состязательном уголовном процес-се должно быть различным на разных его стадиях. В процессе предварительного расследования в качестве основной следова-телем должна использоваться вероятностная схема доказыва-ния. Метод исключения альтернативных версий допустим в ка-честве вспомогательного. Последний используется преимущест-венно на начальных этапах расследования для подтверждения предположений самого общего характера. Метод исключения версий помогает следователю найти ту версию, которая впослед-ствии должна быть доказана по вероятностной схеме.

В судебном разбирательстве для стороны обвинения един-ственно возможной является вероятностная схема. Сторона за-щиты, напротив, может отстаивать свою версию о невиновно-сти подсудимого или о его виновности меньшей степени путем опровержения версии обвинения. Но сторона защиты может с успехом использовать и вероятностную схему доказывания. В последнем случае защите достаточно, не опровергая версии об-винения, показать, что выводы обвинения не доказаны с досто-верностью и носят лишь вероятный (возможно, высоковероят-ный) характер, а материалы дела оставляют место для сомне-ний.

11. Только в рамках вероятностной схемы доказывания мож-но и нужно решать известную теории информации и уголовно-му процессу задачу создания вполне надежной системы произ-водства знания и принятия решения в ходе расследования и раз-бирательства уголовного дела, состоящей из относительно не- надежных компонентов.

12. В уголовно-процессуальном законе необходимо закре-пить статус доказательства для вероятного заключения экспер-та, широко распространенного в экспертной практике и исполь-зуемого в уголовном процессе. Вероятная форма вывода сама по себе еще не лишает автоматически заключение эксперта возможности служить обвинительным доказательством, но в не- которых ситуациях такое заключение может вызывать и сомне-ния в виновности обвиняемого.

Заключение эксперта должно максимально точно переда-вать субъекту исследования заключения содержание и смысл экспертных оценок предоставленных материалов. Поэтому воп-рос о допустимости введения в язык экспертного вывода терми-нов математической теории вероятностей должен быть решен положительно. Что касается категорической формы вывода без указания степени его обоснованности, надежности или вероят-ности возможной ошибки, если таковая хотя бы теоретически не исключена, то такая форма наименее приемлема.

13. Эксперт должен дать лишь заключение по поставленным ему вопросам, но не решать их окончательно. Решение же, на- пример, о признании или непризнании идентичности сравнива-емых объектов фактом практически достоверным должен при-нимать не эксперт, а следователь или суд с учетом всех обсто-ятельств дела и всех имеющихся доказательств по делу, в том числе и заключения эксперта.

Если же следователь стремится получить от эксперта не вероятный, а непременно категорический вывод о тождестве, то одно из двух: либо следователь не желает быть беспристра-стным и объективным, выяснять как уличающие, так и оправ-дывающие обвиняемого обстоятельства, либо следователь стре-мится переложить целиком на плечи эксперта работу по уста-новлению тождества и ответственность за принятие решения о наличии (отсутствии) тождества. В первом случае следователь отступает от требований ст. 20 УПК РСФСР, во втором - рас-сматривает эксперта не как носителя и применителя специаль-ных познаний, а как научного судью факта и видит в заключе-нии эксперта научный приговор. И то и другое недопустимо.

14. Различия между заключениями экспертов с категори-ческими и вероятными выводами носят, как правило, формаль-ный характер и обусловлены субъективными факторами. При использовании экспертом в исследовании индуктивной (веро-ятностной) логики вывод эксперта независимо от формы носит, по существу, вероятностный характер.

В одной и той же экспертной ситуации эксперты с различ-ным опытом работы, уровнем профессиональных и общеобра-зовательных знаний, эрудицией, характером, мировоззрением могут дать одинаково положительные (отрицательные), но раз-ные по категоричности выводы. Это нормально. Такие выводы не следует рассматривать как противоречащие друг другу, а при решении вопроса об их доказательственном значении (или определенности) не следует использовать в качестве критерия их форму (категорическая или вероятная).

15. Эксперт обязан дать не просто обоснованное и объективное заключение, но и обязательно определенное.

Определенность заключения эксперта - это его способность уменьшить исходную неопределенность системы версий, воз-можных по смыслу поставленного перед экспертом вопроса, т. е. уменьшить энтропию этой системы версий. Определенный вывод эксперта - это вывод, который содержит какое-то коли-чество доказательственной информации, уменьшающей исходную неопределенность системы версий; в неопределенном выводе ко-личество такой информации равно нулю.От определенности заключения эксперта необходимо отли-чать его доказательственное значение. Доказательственное зна-чение экспертного заключения зависит, во-первых, от степени определенности заключения, т. е. от количества содержащейся в нем информации, во-вторых, от ценности этой информации в условиях конкретной следственной ситуации.

JV7Conn.JokerV7Connection

error "8000ffff"

ExecCmd failed: GetMarc008 Joker server V7 error: Îáðàáîò÷èê êîìàíäû GetMarc008 íå íàéäåí.

/inc/joker.inc , line 19

Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах.

Наука

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности - событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее.

События

Мы узнали, что основное понятие теории вероятности - это событие, но не рассмотрели классификацию. Все они делятся на следующие категории:

Достоверные.
Невозможные.
Случайные.

Независимо от того, какие это события, за которыми наблюдают или создают в ходе опыта, все они подвержены данной классификации. Предлагаем с каждым из видов познакомиться отдельно.

Достоверное событие

Это такое обстоятельство, перед которым сделан необходимый комплекс мероприятий. Для того чтобы лучше вникнуть в суть, лучше привести несколько примеров. Этому закону подчинены и физика, и химия, и экономика, и высшая математика. Теория вероятности включает такое важное понятие, как достоверное событие. Приведем примеры:

Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы.
Сдали хорошо экзамены, прошли конкурс, за это получаем вознаграждение в виде поступления в учебное заведение.
Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад.

Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

Невозможные события

Сейчас мы рассматриваем элементы теории вероятности. Предлагаем перейти к пояснению следующего вида события, а именно - невозможного. Для начала оговорим самое важное правило - вероятность невозможного события равна нулю.

От данной формулировки нельзя отступать при решении задач. Для пояснения приведем примеры таких событий:

Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).
Отсутствие электроэнергии никак не влияет на производство (так же невозможно, как и в предыдущем примере).

Более примеров приводить не стоит, так как описанные выше очень ярко отражают суть данной категории. Невозможное событие никогда не произойдет во время опыта ни при каких обстоятельствах.

Случайные события

Изучая элементы теории вероятности, особое внимание стоит уделить именно данному виду события. Именно их и изучает данная наука. В результате опыта может что-то произойти или нет. Кроме этого, испытание может проводиться неограниченное количество раз. Яркими примерами могут служить:

Бросок монеты - это опыт, или испытание, выпадение орла - это событие.
Вытягивание мячика из мешка вслепую - испытание, попался красный шар - это событие и так далее.

Таких примеров может быть неограниченное количество, но, в общем, суть должна быть понятна. Для обобщения и систематизирования полученных знаний о событиях приведена таблица. Теория вероятности изучает только последний вид из всех представленных.

название	определение
Достоверные	События, происходящие со стопроцентной гарантией при соблюдении некоторых условий.	Поступление в учебное заведение при хорошей сдаче вступительного экзамена.
Невозможные	События, которые никогда не произойдут ни при каких условиях.	Идет снег при температуре воздуха плюс тридцать градусов по Цельсию.
Случайные	Событие, которое может произойти или нет в ходе проведения опыта/испытания.	Попадание или промах при бросании баскетбольного мяча в кольцо.

Законы

Теория вероятности - это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события. Как и другие, она имеет некоторые правила. Существуют следующие законы теории вероятности:

Сходимость последовательностей случайных величин.
Закон больших чисел.

При расчете возможности сложного можно использовать комплекс простых событий для достижения результата более легким и быстрым путем. Отметим, что законы легко доказываются с помощью некоторых теорем. Предлагаем для начала познакомиться с первым законом.

Сходимость последовательностей случайных величин

Отметим, что видов сходимости несколько:

Последовательность случайных величин сходима по вероятности.
Почти невозможное.
Среднеквадратическая сходимость.
Сходимость по распределению.

Так, с лету, очень тяжело вникнуть в суть. Приведем определения, которые помогут разобраться в данной теме. Для начала первый вид. Последовательность называют сходимой по вероятности , если соблюдено следующее условие: n стремится к бесконечности, число, к которому стремится последовательность, больше нуля и приближена к единице.

Переходим к следующему виду, почти наверное . Говорят, что последовательность сходится почти наверное к случайной величине при n, стремящейся к бесконечности, и Р, стремящейся к величине, приближенной к единице.

Следующий тип - это сходимость среднеквадратическая . При использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов сводится к изучению их координатных случайных процессов.

Остался последний тип, давайте разберем кратко и его, чтобы переходить непосредственно к решению задач. Сходимость по распределению имеет и еще одно название - «слабое», далее поясним, почему. Слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Обязательно выполним обещание: слабая сходимость отличается от всех вышеперечисленных тем, что случайная величина не определена на вероятностном пространстве. Это возможно потому, что условие формируется исключительно с использованием функций распределения.

Закон больших чисел

Отличными помощниками при доказательстве данного закона станут теоремы теории вероятности, такие как:

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Обобщенная теорема Чебышева.
Теорема Маркова.

Если будем рассматривать все эти теоремы, то данный вопрос может затянуться на несколько десятков листов. У нас же основная задача - это применение теории вероятности на практике. Предлагаем вам прямо сейчас этим и заняться. Но перед этим рассмотрим аксиомы теории вероятностей, они будут основными помощниками при решении задач.

Аксиомы

С первой мы уже познакомились, когда говорили о невозможном событии. Давайте вспоминать: вероятность невозможного события равна нулю. Пример мы приводили очень яркий и запоминающийся: выпал снег при температуре воздуха тридцать градусов по Цельсию.

Вторая звучит следующим образом: достоверное событие происходит с вероятностью, равной единице. Теперь покажем, как это записать с помощью математического языка: Р(В)=1.

Третья: Случайное событие может произойти или нет, но возможность всегда варьируется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе значение к единице, тем шансов больше; если значение приближается к нулю, вероятность очень мала. Запишем это математическим языком: 0<Р(С)<1.

Рассмотрим последнюю, четвертую аксиому, которая звучит так: вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей. Записываем математическим языком: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиомы теории вероятностей - это простейшие правила, которые не составит труда запомнить. Попробуем решить некоторые задачи, опираясь на уже полученные знания.

Лотерейный билет

Для начала рассмотрим простейший пример - лотерея. Представьте, что вы купили один лотерейный билет на удачу. Какова вероятность, что вы выиграете не менее двадцати рублей? Всего в тираже участвует тысяча билетов, один из которых имеет приз в пятьсот рублей, десять по сто рублей, пятьдесят по двадцать рублей, а сто - по пять. Задачи по теории вероятности основаны на том, чтобы найти возможность удачи. Сейчас вместе разберем решение выше представленного задания.

Если мы буквой А обозначим выигрыш в пятьсот рублей, то вероятность выпадения А будет равняться 0,001. Как мы это получили? Просто необходимо количество "счастливых" билетов разделить на общее их число (в данном случае: 1/1000).

В - это выигрыш в сто рублей, вероятность будет равняться 0,01. Сейчас мы действовали по тому же принципу, что и в прошлом действии (10/1000)

С - выигрыш равен двадцати рублям. Находим вероятность, она равняется 0,05.

Остальные билеты нас не интересуют, так как их призовой фонд меньше заданного в условии. Применим четвертую аксиому: Вероятность выиграть не менее двадцати рублей составляет Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквой Р обозначается вероятность происхождения данного события, мы в предыдущих действиях уже их нашли. Осталось только сложить необходимые данные, в ответе мы получаем 0,061. Это число и будет являться ответом на вопрос задания.

Карточная колода

Задачи по теории вероятности бывают и более сложными, для примера возьмем следующее задание. Перед вами колода из тридцати шести карт. Ваша задача - вытянуть две карты подряд, не перемешивая стопку, первая и вторая карты должны быть тузами, масть значения не имеет.

Для начала найдем вероятность того, что первая карта будет тузом, для этого четыре делим на тридцать шесть. Отложили его в сторону. Достаем вторую карту, это будет туз с вероятностью три тридцать пятых. Вероятность второго события зависит от того, какую карту мы вытянули первой, нам интересно, был это туз или нет. Из этого следует, что событие В зависит от события А.

Следующим действием находим вероятность одновременного осуществления, то есть перемножаем А и В. Их произведение находится следующим образом: вероятность одного события умножаем на условную вероятность другого, которую мы вычисляем, предполагая, что первое событие произошло, то есть первой картой мы вытянули туз.

Для того чтобы стало все понятно, дадим обозначение такому элементу, как события. Вычисляется она, предполагая, что событие А произошло. Рассчитывается следующим образом: Р(В/А).

Продолжим решение нашей задачи: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Вероятность равняется (4/36) * ((3/35)/(4/36). Вычисляем, округляя до сотых. Мы имеем: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0,82=0,09. Вероятность того, что мы вытянем два туза подряд, равна девяти сотым. Значение очень мало, из этого следует, что и вероятность происхождения события крайне мала.

Забытый номер

Предлагаем разобрать еще несколько вариантов заданий, которые изучает теория вероятности. Примеры решения некоторых из них вы уже видели в данной статье, попробуем решить следующую задачу: мальчик забыл последнюю цифру номера телефона своего друга, но так как звонок был очень важен, то начал набирать все по очереди. Нам необходимо вычислить вероятность того, что он позвонит не более трех раз. Решение задачи простейшее, если известны правила, законы и аксиомы теории вероятности.

Перед тем как смотреть решение, попробуйте решить самостоятельно. Нам известно, что последняя цифра может быть от нуля до девяти, то есть всего десять значений. Вероятность набрать нужную составляет 1/10.

Далее нам нужно рассматривать варианты происхождения события, предположим, что мальчик угадал и сразу набрал нужную, вероятность такого события равняется 1/10. Второй вариант: первый звонок промах, а второй в цель. Рассчитаем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 1/9, в итоге получаем также 1/10. Третий вариант: первый и второй звонок оказались не по адресу, только с третьего мальчик попал туда, куда хотел. Вычисляем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 8/9 и на 1/8, получаем в итоге 1/10. Другие варианты по условию задачи нас не интересуют, по этому нам осталось сложить полученные результаты, в итоге мы имеем 3/10. Ответ: вероятность того, что мальчик позвонит не более трех раз, равняется 0,3.

Карточки с числами

Перед вами девять карточек, на каждой из которых написано число от одного до девяти, цифры не повторяются. Их положили в коробку и тщательно перемешали. Вам необходимо рассчитать вероятность того, что

выпадет четное число;
двухзначное.

Перед тем как переходить к решению, оговорим, что m - это число удачных случаев, а n - это общее количество вариантов. Найдем вероятность того, что число будет четным. Не составит труда посчитать, что четных чисел четыре, это и будет наша m, всего возможно девять вариантов, то есть m=9. Тогда вероятность равняется 0,44 или 4/9.

Рассматриваем второй случай: количество вариантов девять, а удачных исходов быть вообще не может, то есть m равняется нулю. Вероятность того, что вытянутая карточка будет содержать двухзначное число, так же равняется нулю.

Результат, исход испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита : А, В, С и т.д.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А , происходит и событие В , то говорят, что А влечет за собой событие В (входит в В , является частным случаем, вариантом В ) или В включает событие А , и обозначают АВ .

Два события называются совместимыми , если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

2 события называются несовместимыми , если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Несовместимость более чем двух событий в данном испытании означает их попарную несовместимость .

Два события А и В называются противоположными , если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А , обозначают .

Событие называется достоверным (обозначаем Ω ), если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Событие называется невозможным (обозначаем Ø ), если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Событие А называется случайным , если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Алгебра событий.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В , состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Аналогично суммой конечного числа событий А 1 , А 2 , ..., А k называется событие А = А 1 +А 2 + ... + А k , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi , (i = 1, ..., k).

Из определения следует, что А + В = В + А . Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А + А = А (а не 2А).

Произведением событий А и В называется событие С = АВ , состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, ..., Аk называется событие А = А1А2…А k , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА . Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А 2).

Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий А 1 , А 2 , ..., Аn, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий Аi , (i = 1, 2, …, k) равновозможно , т. е. условия испытания не создают преимуществ в появлении какого-либо события перед другими возможными.

События А 1 , А 2 , ..., Аn, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, называют элементарными событиями ( ω ) .

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) события А называется отношение m / n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А , к числу всех элементарных событий, т.е.

Р(А) = m / n .

Многие из вас изучали теорию вероятностей и статистику в школе или институте. Несомненно, вам доводилось видеть график наподобие изображенного на рисунке 4–1.

Рисунок 4–1. Нормальное (гауссово) распределение женского роста

Рисунок 4–1 изображает так называемое нормальное распределение. Этот рисунок показывает распределение женщин по росту. На горизонтальной оси отмечен рост в дюймах, на вертикальной – два типа вероятности.

1. График частоты вероятности – заштрихованная область связана с левой вертикальной осью и показывает, насколько часто встречается определенный рост. В нашем примере средний рост составляет 5 футов 4 дюйма. Вероятность того, что рост некоей женщины будет ближе к этой средней величине, выше, чем вероятность того, что ее рост будет существенно отличаться от среднего. Чем выше точка в центре графика, тем выше вероятность совпадения, области слева и справа показывают менее вероятные варианты. Например, высота кривой на уровне 70 дюймов гораздо ниже, чем на уровне 68 дюймов, что говорит о менее вероятном росте женщины 5 футов 10 дюймов по сравнению со средним ростом 5 футов 8 дюймов.

2. Кривая кумулятивной вероятности – тонкая линия начинается у отметки 0 процентов и доходит до отметки 100 процентов (на правой вертикальной оси). Эта кривая показывает совокупную (кумулятивную) вероятность того, что у женщины будет хотя бы такой рост. Например, если вы посмотрите на эту линию, то заметите, что она почти приближается к 100 процентам на уровне 70 дюймов. Реальная величина на уровне 70 дюймов составляет 99,18 процентов, что означает, что лишь менее одного процента женщин имеют рост 5 футов 10 дюймов или выше.

Этот график, как и другие подобные ему, использует сложные математические формулы, но суть его достаточно проста: чем дальше параметр роста от центра, обозначающего среднее значение, тем меньше у вас шансов встретить женщину такого роста.

Почему же расчеты вероятности делаются таким сложным образом? Можно отставить длинные формулы и построить график, похожий на приведенный, используя простой метод. Пойдите в такое место, где можно встретить много женщин, например в студенческое общежитие. Затем выберите случайным образом 100 женщин и измерьте их рост. Разделите величины роста на отрезки по 1 дюйму и посчитайте количество женщин в каждом интервале. Скорее всего, в результате получится приблизительно 16 женщин ростом 64 дюйма, по 15 женщин ростом 63 и 65 дюймов, по 12 – ростом 62 и 66 дюймов, по 8 – ростом 61 и 67 дюймов, по 4 – ростом 60 и 68 дюймов, по две женщины ростом 59 и 69 дюймов и по одной – ростом 58 и 79 дюймов. Если вы построите график из столбцов с указанием количества женщин каждого роста, он будет выглядеть примерно как тот, что мы изобразили на рисунке 4–2.

Рисунок 4–2. Гистограмма распределения женского роста

Тип графика на рисунке 4–2 называется гистограммой. Он наглядно показывает частоту возникновения конкретного значения по сравнению с другими значениями (в нашем случае женского роста) и имеет такую же форму, что и график нормального распределения на рисунке 4–1, однако обладает одним преимуществом: вы можете создать его без привлечения сложных математических формул. Нужно только уметь считать и разбивать на категории.

Гистограмма подобного вида может быть создана на основе ваших данных о сделках и давать вам представление о том, какое будущее вас ожидает; график позволяет вам размышлять в терминах вероятности, а не прогноза. Рисунок 4–3 является гистограммой ежемесячных результатов двадцатилетнего теста системы трендов Дончиана – упрощенной версии системы Черепах. Он прост и использует расширенный набор данных, в отличие от системы Черепах.

Рисунок 4–3. Распределение ежемесячных результатов

Части гистограммы на рисунке 4–3 разделены на сегменты по 2 процента. Один столбец показывает количество месяцев, в которые результат был положительным и находился в интервале от 0 до 2 процентов, следующий столбец захватывает интервал от 2 до 4 процентов и так далее. Обратите внимание на то, что форма гистограммы напоминает нормальное распределение по росту, о котором мы говорили ранее. Существенная разница заключается в том, что график наклонен вправо. Такой наклон указывает на месяцы с положительным результатом, иногда его называют асимметричным распределением или «тяжелым хвостом».

Гистограмма на рисунке 4–4 изображает распределение самих сделок. Левая часть отражает неудачные сделки, правая – удачные. Заметьте, что на каждом графике есть по две шкалы слева и справа, а проценты на центральной вертикальной шкале распределены в интервалах от 0 до 100 процентов. Кумулятивные линии движутся от 0 до 100 процентов из центра графика наружу.

Числовые обозначения на шкалах слева и справа показывают количество сделок в каждом 20-процентном интервале. Например, 100 процентов по проигрышным сделкам составляют 3746; это означает, что за 22 года, в течение которых проводилось исследование, было заключено 3746 убыточных сделок. Для выигрышных сделок этот показатель составляет 1854 сделки (что равно 100 процентам).

Сделки разделены на столбцы в зависимости от прибыли, деленной на сумму риска по данной сделке. Эта концепция, известная как R-multiple, была создана трейдером Чаком Бранскомбом как удобный способ сравнения сделок, заключаемых при разных системах и на разных рынках (R-multiple были популяризированы Ваном Тарпом в книге «Трейдинг – ваш путь к финансовой свободе»).

Рисунок 4–4 Распределение сделок по Дончиану, R-multiple™

Проиллюстрировать эту систему позволит пример. Если вы покупаете августовский контракт на золото по цене 450 долларов со стоп-ценой 440 долларов (на случай, если рынок начнет двигаться против вас), вы рискуете одной тысячей долларов (разница между 450 и 440, умноженная на 100 унций – объем одного контракта). Если сделка приносит 5000 прибыли, она называется сделкой 5R, так как прибыль в 5000 долларов в пять раз выше суммы, которой вы рисковали (1000 долларов). На рисунке 4–4 выигрышные сделки разделены на группы с интервалом в 1R, проигрышные сделки – с интервалом в 0,5R.

Может показаться странным, что количество проигрышных сделок настолько превышает число выигрышных. На самом деле это обычное явление для систем, следующих за трендом. Однако, хотя количество проигрышных сделок велико, большинство потерь примерно равны предопределенному нами уровню входного риска 1R. Напротив, результат по выигрышным сделкам во много раз превышает входной риск, 43 сделки приносят сумму как минимум в 10 раз превышающую входной риск.

Черепахи никогда не знали, какая сделка завершится успехом, а какая – неудачей. Мы просто представляли себе примерную форму кривой распределения возможных исходов. Распределение должно было напоминать показанные на рисунках выше. Мы считали, что каждая сделка могла бы быть прибыльной, но понимали, что, вероятнее всего, она будет неудачной. Мы знали, что некоторые сделки принесут 4 или 5R, немногие принесут 12R, и совсем немногие – 20 или даже 30R. Но Черепахи знали наверняка, что выигрыш по сделкам будет настолько высок, что покроет убытки от неудачных сделок и даже останется прибыль.

Поэтому, осуществляя операции, мы не измеряли собственное состояние результатом сделки, так как знали, что, скорее всего, она будет убыточной. Мы рассуждали в терминах вероятностей, и это давало нам уверенность при принятии решений перед лицом высоких уровней риска и сомнений.