Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А , т.е. все матрицы видаА*= Т -1 АТ , гдеТ – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем| A |=| A *|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

,

которая образована из А заменой диагональных элементовa ij элементами
, где– произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент приравен (-1) n). Многочлен
называется характеристическим многочленом матрицыА .

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , гдеА*=Т -1 АТ .

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т -1 ЕТ . Тогда, заменяя в матрице
матрицыА* иЕ соответственно наТ -1 АТ иТ -1 ЕТ , получаем:

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен
.

Алгебраическое уравнение n -й степени
называется характеристическим уравнением матрицыА , а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – следk -го порядка матрицыА .

Следом k -го порядканазывается сумма возможных
главных миноровk -ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней
. Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А :

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А :

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов
характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный операторзадан матрицейА . Тогда коэффициентывычисляются по следующей схеме:

Пример. Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда– собственные значения линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

Элементами матрицы В являются многочлены отстепени не выше (n -1 ). Поэтому матрицуВ можно представить в следующем виде:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на
и сложим полученные результаты:

откуда следует, что
. Теорема доказана.

Пример. Линейный операторзадан матрицей

.

Найти
и показать, что
.

Решение. Составим матрицу

Многочлен
имеет вид

.

6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора

Пусть в пространстве задан линейный оператор.

Определение. Ненулевой вектор
, удовлетворяющий соотношению
, называется собственным вектором, а соответствующее число– собственным значением оператора.

Из данного определения следует, что образом собственного вектора является коллинеарный ему вектор
.

Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора .

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору операторасоответствуют два собственных числа
. Это значит, что

,

.

Но отсюда следует, что

Так как по условию – ненулевой вектор, то
.

2. Если и– собственные векторы операторас одним и тем же собственным числом, то их сумма
также является собственным вектором операторас собственным числом. Действительно, так как
и
, то

3. Если – собственный вектор операторас собственным числом, то любой вектор
, коллинеарный вектору, также является собственным вектором операторас тем же самым собственным числом.

Действительно,

Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора, соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства.

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема. В комплексном линейном пространствекаждый линейный операторимеет, по крайней мере, один собственный вектор.

Доказательство. Пусть – линейный оператор, заданный в пространстве, а–собственный вектор этого оператора с собственным числом, т.е.
. Выберем произвольный базис
и обозначим координаты векторав этом базисе через
. Тогда, если
– матрица операторав базисе
, то, записывая соотношение в матричной форме, получим

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда
. Отсюда следует, что собственное число линейного оператораявляется его характеристическим числом, которое всегда существует. Подставляя это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа линейного оператора и соответствующего ему собственного векторасводится к решению характеристического уравнения
. Пусть
– различные корни характеристического уравнения. Подставив какой-нибудь кореньв систему (6.3.2), найдем все ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу. Если ранг матрицы
равенr иr < n , то существуетk = n - r линейно независимых собственных векторов, отвечающих корню.

Пример. Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.

Решение. Составим характеристическое уравнение

,

или
откуда
.

Подставляем корни
в систему (6.3.1). Найдем собственные векторы оператора.

При
имеем

.

Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид
. Найдем два линейно независимых решения:

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям
, имеют вид

,

где с – произвольное действительное число, отличное от нуля.

При
имеем

.

Общее решение данной системы имеет вид

Собственный вектор, соответствующий собственному значению
, равен

.

Теорема. Пусть собственные значения
операторапопарно различны. Тогда отвечающие им собственные векторы
линейно независимы.

Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как– ненулевой вектор, то приp =1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m < p векторов
. Присоединим к этим векторам вектор
и допустим, что имеет место равенство

Так как
, -собственные векторы, то
и поэтому равенство (6.3.4) можно переписать следующим образом:

По условию все
, различны, поэтому
. Система векторов
– линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что. Тогда из (6.3.3) и из условия, что
– собственный вектор (
), получаем
. Это означает, что
– система линейно независимых векторов. Индукция проведена. Теорема доказана.

Следствие: если все собственные значения
попарно различны, то отвечающие им собственные векторы
образуют базис пространства.

Теорема. Если в качестве базиса пространствапринятьn линейно независимых собственных векторов, то операторув этом базисе соответствует диагональная матрица

.

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор
и базис, составленный из собственных векторов
этого пространства. Тогда, где
– координаты векторав базисе
.

Применяя к вектору оператор, получим
или
.

Так как
, – собственный вектор, то
.

Из (6.3.7) имеем

Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора в базисе
имеет вид

.

Теорема доказана.

Определение. Линейный операторв пространствеR n называется оператором простой структуры, если он имеетn линейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель . Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно, является функцией, ставящей в соответствие оператору A скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение .Скаляр l называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n -мерном векторном пространстве L , если

Рассматривая как вектор , любой вектор , , коллинеарный x, будет собственным вектором с собственным числом l . Если собственному значению l соответствует два вектора, x и y , то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множество M всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения l называется размерность подпространства M ; собственное значение l называется простым , если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого - О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n -мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператора A, соответствующих аналогичному семейству собственных значений , , линейно независимо.

Доказательство . Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при , теорема верна, но неверна при . Тогда, если система векторов , , …, , будет линейно зависимой, то есть существуют числа , , не все равные 0, например, , что выполняется

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и ,но, по предположению, , тогда , но тогда , что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообраз x – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный p , мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n -мерном действительном линейном пространстве L и пусть , , некоторый базис, наконец – матрица оператора A в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица , то есть . Отсюда заключаем, что кратность l совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать , что

то есть тогда и только тогда, когда , где . Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно замены A на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

,

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от l . Максимальная степень l входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L .

Для того, чтобы число было собственным значением оператора A необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?

Определение

Для данной матрицы , , где Е - единичная матрица , является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Связанные определения

Свойства

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Характеристическая кривая задания
• Харальд III (король Норвегии)

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

Характеристический многочлен - В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН - матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

Минимальный многочлен матрицы - У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Лямбда-матрицы - Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

СПЕКТР МАТРИЦЫ - совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Характеристическое число матрицы - Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Подобные матрицы - Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристическая матрица

Характеристическое уравнение - Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона - Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть А – линейный оператор из . Число называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор такой, что А . При этом вектор называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется егоспектром .

Определителем линейного оператора А detА называется detА , где А – матрица линейного оператора А в любом базисе. Многочлен относительно l называется характеристическим многочленом оператора А. Он не зависит от выбора базиса.

Уравнение

называется характеристическим (или вековым ) уравнением оператора А.

Для того чтобы число l было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (7.7) оператора А.

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего n линейно независимых векторов.

Теорема 7.2 . Для того чтобы матрица А линейного оператора А в базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Однако далеко не каждый линейный оператор в n -мерном векторном пространстве имеет n линейно независимых собственных векторов. Базис из собственных векторов принято называть «собственным базисом». Пусть собственные значения линейного оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, «собственный базис» в этом случае существует.

Итак, если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица А оператора А имеет диагональный вид.

При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если некоторый вектор - собственный вектор, то и вектор - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы как 1) , где –единичная матрица одинакового с порядка.

Пример. Для :

Теорема.

Образно говоря, коэффициент при получается суммированием всех миноров -го порядка матрицы , построенных на элементах ее главной диагонали.

Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Примеры:

1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не константа, если, то. Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от многочленов нулевой степени.

2. Оператор А, действующий в пространстве V 2 – радиус-векторов и осуществляющий поворот на каждого из векторов на некоторый угол, отличный от p, против часовой стрелки не имеет собственных векторов.

Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора.

Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения l линейного оператора, .

Пусть l – собственное значение, соответствующее собственному вектору.

По определению, собственный вектор отличен от, тогда из равенства (1) следует, что оператор – вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы l поля Р, для которых оператор – вырожден.

Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица, т.е. тогда, когда (2).

В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от 0.

Теорема 10: Числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f.

Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.

Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением: , Q – невырожденная матрица, тогда:

Т.о. числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X.

Рассмотрим оператор, и в X задан базис, в котором матрица оператора А выглядит следующим образом: .

является многочленом степени m относительно l, т.е. можно записать: .

Легко видеть, что наивысшая степень l достигается только при умножении элементов главной диагонали, откуда видно, что коэффициент при равен 1.

Определение: Функция (3) называется характеристическим многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является характеристическим многочленом некоторого оператора.

Рассмотрим – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем.

Для того, чтобы элемент l поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению: (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень.

Пример: в поле R корней не имеет.

Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.