На отрезке или на вещественной прямой.

Формулировка

Для целых положительных чисел a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} мы будем писать a → b {\displaystyle a\to b} , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a , имеет и точку наименьшего периода b .

Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3×2 → 5×2 → 7×2 → 9×2 → 11×2 → 13×2 → … → 3×2² → 5×2² → 7×2² → 9×2² → 11×2² → 13×2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечётных чисел на 2², в k -й строке сверху - произведения нечётных чисел на 2 k − 1 {\displaystyle 2^{k-1}} . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

Период 3 влечёт хаос

В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна. [ ]

Набросок доказательства

В этом случае найдутся различные точки a , b , c {\displaystyle a,b,c} , для которых

f (a) = b , f (b) = c , f (c) = a . {\displaystyle f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.}

Тогда для отрезков I 0 = [ a , b ] {\displaystyle I_{0}=} и I 1 = [ b , c ] {\displaystyle I_{1}=} выполнено

f (I 0) ⊃ I 1 , f (I 1) ⊃ I 0 ∪ I 1 . {\displaystyle f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.}

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова w = w 0 w 1 … w k − 1 {\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1}} , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что

f j (I w) ⊂ I w j , j = 1 , … , k − 2 , {\displaystyle f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j}},\quad j=1,\dots ,k-2,} f k − 1 (I w) = I w k − 1 . {\displaystyle f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.}

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода k {\displaystyle k} : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово ω = (w) , | w | = k {\displaystyle \omega =(w),\ |w|=k} наименьшего периода k {\displaystyle k} без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка I w {\displaystyle I_{w}} выполнено

f k (I w) ⊃ I w , {\displaystyle f^{k}(I_{w})\supset I_{w},}

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения I 0 {\displaystyle I_{0}} , I 1 {\displaystyle I_{1}} , дополнение) её судьба это последовательность ω {\displaystyle \omega } , у которой k {\displaystyle k} является наименьшим периодом, поэтому k {\displaystyle k} является наименьшим периодом и для построенной точки. (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума .

Литература

• Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. - 1964. - Т. 16 , № 1 . - С. 61-71 .
• Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Спивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. - Киев: Наукова думка, 1989. - 216 с.
• Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М: Постмаркет, 2001. - 184 с.

Связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых

Тогда для отрезков и выполнено

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности,

В 1964 году вышла статья об отображении действительных чисел в действительные числа, в которой Александр Шарковский использовал следующее упорядочение натуральных чисел:

3 ◄ 5 ◄ 7 ◄ 9 ◄ ... ◄ 3·2 ◄ 5·2 ◄ 7·2 ◄ ... ◄ 3· 2 2 ◄ 5· 2 2 ◄ ... ◄ 2 3 ◄ 2 2 ◄ 2 ◄ 1

Цисильский и Погода (2008) описали его так:

"Сначала идут нечетные числа, начиная с 3 , упорядоченные по возрастанию. Далее эта последовательность повторяется, каждое нечетное число умножается на 2 . Снова повторяется начальная последовательность, только каждое нечетное число умножается на 2 2 , и так далее. Конечная последовательность состоит из неотрицательных степеней 2 , упорядоченных по убыванию (отметим, что 1 = 2 0). "

Напишите программу, которая читает до 255 беззнаковых целых чисел, значения которых не больше 65535 (не обязательно разных), разделенных пробелом и оканчивающихся 0 . Программа должна вывести в одной строке числа, упорядоченные согласно Шарковскому. Числа в строке следует разделять одним пробелом.

Входные данные

Первым задано целое число n (0 ≤ n ≤ 255 ). Далее следует n тестов. Каждый тест содержит непустой список, содержащий до 255 беззнаковых целых чисел (не обязательно различных), значения которых не превосходят 65535 . Каждая пара чисел разделена пробелом. Каждый тест заканчивается 0 .

Выходные данные

Для каждого теста вывести требуемые числа в одной строке согласно порядку Шарковского. Выводимые числа разделять одним пробелом.

На отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → … → 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → … ………………………………… → 2 n → 2 n-1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке - произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей - произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения нечетных чисел на . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 - наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, - так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 - наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки , для которых

Тогда для отрезков и выполнено

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал , что

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка выполнено

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения , , дополнение) её судьба это последовательность , у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

Теорема Шарковского, доказанная в 1960-х гг., даёт ответ на вопрос: как для непрерывного отображения отрезка в себя связано наличие периодических точек различных периодов?

Точка периодическая, если она переходит в себя после применения к ней отображения несколько раз, т.е. если при некотором

Наименьшее такое называется минимальным периодом точки .

Теорема Шарковского была первым общим результатом о динамических системах, получающихся при итерировании отображений отрезка в себя. Хотя эта «одномерная динамика» кажется чем-то весьма специальным, подобные отображения возникают в некоторых вопросах естествознания и техники, а также играют важную вспомогательную роль при чисто теоретических исследованиях более сложных динамических систем.

Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН.

Комментарии: 0

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.

Дмитрий Аносов

Как геометрические соображения помогают понять свойства решений дифференциальных уравнений. С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии лекции. Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.

Дмитрий Аносов

Из курса математического анализа известно, что если функция имеет n производных, то n-я производная может даже не быть непрерывной; если функция имеет все производные, то она может все-таки не разлагаться в ряд Тейлора: он может расходиться или сходиться к другой функции. Удивительная особенность функций комплексного переменного состоит в том, что одна только дифференцируемость функции во всех точках ее области определения обеспечивает, что функция имеет все производные и разлагается в ряд Тейлора. Этот факт доказывается с использованием интегрального исчисления функций комплексного переменного, хотя по своей форме он относится к дифференциальному исчислению. В лекциях будет предложено другое доказательство того же факта. Оно обходится без специфического комплексного интегрирования и вообще опирается на “вещественные” сведения.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Виктор Клепцын

Лекцию читает Клепцын Виктор Алексеевич. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 29 июля 2017 г.

Наталия Гончарук

В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы - её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.

Юлий Ильяшенко

Как менялись наши представления об аттракторах? Чего мы ожидаем от аттракторов? Предполагается, что слушатели знают определение и свойства компактных множеств в евклидовом пространстве, а также знакомы с определениями и примерами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов. Последние определения будут даны в курсе, но лучше знать их заранее.