Площадь треугольника АВС
равна 12
. На прямой АС
взята точка D
так, что
точка C
является серединой отрезка AD
. Точка K
– середина стороны AB
,
прямая KD
пересекает сторону BC
в точке L
.
а) Докажите, что BL: LC = 2: 1
.
б) Найдите площадь треугольника BLK
.
Для начала аккуратно сделаем чертёж, помечая по ходу дела равенство отрезков.
Теперь несложно заметить, что соединив точки В
и D
, мы получим треугольник АВD
,
в котором DK
и ВС
являются медианами по определению (помните ли Вы его?)
А медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1
, считая от вершины.
Дело сделано. Напишите, умеете ли Вы это свойство доказать самостоятельно?
Найти площадь треугольника BLK
можно по-разному. Пусть АЕ
- третья медиана
треугольника АВD
, она пройдёт через точку L
пересечения первых двух.
Медиана ВС
делит треугольник АВD
на два равновеликих треугольника.
Поэтому площадь АВD
вдвое больше площади АВС
и равна 12·2 = 24
.
Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Отсюда легко найти площадь искомого треугольника BLK
. 24:6 = 4
.
Замечу, что оба эти утверждения следует тоже уметь доказывать.
========================================
Можно сравнить площади треугольников BLK
и АВС
, не трогая медианы.
Треугольники эти имеют общий угол В , воспользуемся этим фактом.
Найдём теперь отношение площадей:
Таким образом, площадь BLK в три раза меньше площади АВС .
Пусть требуется определить площадь треугольника АВС. Проведём через вершины его С и В прямые, параллельные сторонам АВ и АС.
Мы получим параллелограмм АВDС. Площадь его равна произведению основания АВ на высоту СО. Параллелограмм АВDС состоит из двух равных треугольников АВС и ВСD, следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т. е. S \(\Delta\)ABC = 1 / 2 АВ СО.
Отсюда: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
S \(\Delta\) = \(\frac{a h}{2}\)
Эту формулу можно представить в таком виде:
S \(\Delta\) = \(\frac{a}{2}\) h, или S \(\Delta\) = a \(\frac{h}{2}\).
Формулы для вычисления площади треугольника
1. Из геометрии известна формула Г е р о н а:
$$ S = \sqrt{р (р - а)(р - b) (р - с)},$$
(где р = (а + b + c ) / 2 -полупериметр), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.
2 . Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
S = 1 / 2 bc sin A.
Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.
S = 1 / 2 b · h b (1)
Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = h b = с sin A.
Если угол A тупой, то
ВН = h b = с sin (π - A)= с sin A.
Если угол A прямой, то sin A = 1 и
h b
= АВ = с
= с
sin A.
Следовательно, во всех случаях h b = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.
Точно так же получим формулы: S = 1 / 2 ab sin C= 1 / 2 ac sin B
3. На основании теоремы синусов:
$$ b = \frac{a sinB}{sinA}; \;\; c = \frac{a sinC}{sinA} $$
Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:
$$ S = \frac{a^2 sinB sinC}{2sinA} $$
Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке К. Найдите площадь четырёхугольника MCLK, если известно что BL:CL=7:4.
Строим эскиз:
Сразу увидеть ход решения задачи довольно сложно, но мы всегда можем поставить вопрос: а что можно найти используя данные в условии и известные нам свойства?
Можем определить площади некоторых треугольников, рассмотрим:
Так как АМ=МС, значит площади треугольников будут равны, то есть:
Рассмотрим треугольники ALB и ALC. В условии сказано, что BL:CL=7:4. Введём коэффициент пропорциональности «х» и запишем формулы их площадей:
Отношение площадей будет равно:
Так же нам известно, что S ALB +S ALC =198. Можем вычислить площади:
Обратите внимание, что нам в условии не даны никакие углы и линейные размеры (длины элементов), поэтому не стоит тратить усилия на вычисление углов и длин (сторон, медиан, биссектрис и пр). Почему?
Когда в условии даны отношения отрезков (углов) и нет ни одной конкретной величины, то скорее всего при таких данных можно построить множество вариантов фигуры. *Не для каждого ученика это возможно увидеть сразу, нужен опыт.
Поэтому в подобных случаях стремитесь использовать отношения – а именно: отношения элементов, площадей, используйте подобие треугольников если это возможно.
Здесь мы можем найти отношение сторон треугольника. Выразим площади треугольников:
Исходя из того, что АМ=МС следует, что
Теперь внимание! Мы близки к развязке. Есть ещё одно отношение из которого мы можем установить отношение площадей двух треугольников. Выразим площади треугольников.