Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

Трёхгранные и многогранные углы: Трёхгранным углом называется фигура образованная тремя плоскостями, ограни- ченными тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащей в одной плоскости. Рассмотрим какой-нибудь плоский многоугольник и точку лежащую вне плоскости этого многоугольника. Проведём из этой точки лучи, проходящие через вершины многоугольника. Мы получим фигуру, которая называется многогранным углом.

Трёхгранный угол это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол плоскими угламидвугранный угол

; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" class="link_thumb"> 4 Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β. 3. Первая теорема косинусов для трёхгранного угла 4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла"> ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста" title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста"> title="Основные свойства трехгранного угла 1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. + > ; + > ; + > 2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов α, β, γ плоские углы, A, B, C двугранные углы, соста">

Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

№1 Дата05.09.14

Предмет Геометрия

Класс 11

Тема урока: Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол.

Цели урока:

ввести понятия: “трехгранные углы”, “многогранные углы”, “многогранник”;

ознакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определениями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;

продолжить работу по развитию пространственных представлений и пространственного воображения, а также логического мышления учащихся.

Тип урока: изучения нового материала

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания.

Пусть даны три луча а, b и с с общим началом точкой О (рис. 1.1). Эти три луча не обязательно лежат в одной плоскости. На рисунке 1.2 лучи b и с лежат в плоскости р, а луч а не лежит в этой плоскости.

Лучи а, b и с попарно задают три выделенных дугами плоских угла (рис. 1.3).

Рассмотрим фигуру, состоящую из трех указанных выше углов и части пространства, ограниченной этими плоскими углами. Эту пространственную фигуру называют трехгранным углом (рис. 2).

Лучи а, b и с называются ребрами трехгранного угла, а углы: = AOC, = AOB,

= BOC , ограничивающие трехгранный угол, - его гранями. Эти углы-грани образуют поверхность трехгранного угла. Точка О называется вершиной трехгранного угла. Трехгранный угол можно обозначать так: OABC

Рассмотрев внимательно все многогранные углы, изображенные на рисунке 3, мы можем заключить, что у каждого из многогранных углов одинаковое число ребер и граней:

4 грани и одна вершина;

у пятигранного угла - 5 ребер, 5 граней и одна вершина;

у шестигранного угла - 6 ребер, 6 граней и одна вершина и т. д.

Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, как на рисунке 4. В этом случае мы получили невыпуклый многогранный угол.

Определение 1. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображенном на рисунке 4, так поступить не всегда удается. Четырехгранный угол, изображенный на рисунке 4, является невыпуклым.

Отметим, что в нашем учебнике, если мы говорим “многогранный угол”, то имеем в виду, что он выпуклый. Если рассматриваемый многогранный угол невыпуклый, об этом будет сказано отдельно.

Свойства плоских углов многогранного угла

Теорема 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Теорема 2. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

3. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

§1(1.1, 1.2) стр. 4, № 9.

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

8.Этап рефлексии.

Задачи: Инициировать рефлексию учащихся на самооценку своей деятельности. Обеспечить усвоение учащимися принципов само регуляции и сотрудничества.

Беседа по вопросам:

Что тебе на уроке было интересно?

Что не понятно?

На что обратить внимание учителю на следующем уроке?

Как ты оценишь свою работу на уроке?

Аннотация

Цель данного пособия - помочь лицеистам в изучении важной темы курса стереометрии, которая невнятно (или никак не) изложена в стандартных учебниках геометрии. Разобраны определения, основные теоремы и, главное, - методы решения задач, в которых необходимы и естественно используются свойства трехгранных углов.
Трехгранный угол
Определение . Даны плоский многоугольник F и точка S, не принадлежащая плоскости этого многоугольника. Фигура, являющаяся объединением всех лучей с общим началом S и пересекающих F , называется многогранным углом (n -гранным) углом .

S – вершина , лучи SA, SB, SC,… (точки A, B, C,… - вершины многоугольника F ) – ребра , плоскости ASB, BSC,… - грани , углы ASB, BSC,… - плоские углы многогранного угла.

Точка P называется внутренней точкой многогранного угла, если луч SP пересекает внутренность многоугольника F .

Две грани, имеющие общее ребро, образуют двугранный угол многогранного угла.

Если F – выпуклый многоугольник, соответствующий многогранный угол называется выпуклым .

Обозначение : SABC… (A, B, C, … - точки последовательных ребер, то есть вершины многоугольника, являющегося пересечением многогранного угла плоскостью, пересекающей все ребра угла).

При n=3 получаем трехгранный угол – основной для нас объект изучения. Величины трех плоских и трех двугранных углов – основные параметры трехгранного угла.

Задача 1 . В трехгранном угле, все плоские углы которого прямые, двугранные углы также прямые. Докажите.

Решение . Куб и его вершина!
Замечание . Обратное утверждение к задаче 1 тоже верно, но прямое доказательство не так просто. К этому полезно вернуться после формулировки теоремы косинусов для трехгранного угла.
Задача 2 . Все плоские углы трехгранного угла прямые. Найдите угол между биссектрисами двух плоских углов.

Решение . То же самое, что в задаче 1: если на ребрах трехгранного угла в его вершине S построить куб, то диагонали смежных граней куба, пересекающиеся в вершине S, окажутся как раз нужными биссектрисами. Ответ .
.
Задача 3 . Через точку ребра, удаленную на 12 см от вершины трехгранного угла, все плоские углы которого равны
, проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе плоского угла противоположной грани. Найдите отрезки, отсекаемые этой плоскостью от других ребер трехгранного угла.

Решение . Отложим на всех ребрах отрезки SA = SB = SC = 12 см – получим правильный тетраэдр SABC (все боковые грани – правильные треугольники). Данная плоскость, проходящая через точку A, отсекает от биссектрисы (медианы) противоположной грани 2/3 ее длины. Ответ . 8 см.
Задача 4
, а два других – по
. Через произвольную точку A ребра, противолежащего большему из плоских углов, проведена плоскость, перпендикулярная биссектрисе этого плоского угла и пересекающая другие ребра в точках B и C. Найдите: а) угол ABC; б) угол между плоскостью прямого угла и противолежащим ему ребром.

Решение . Точка A проектируется в точку биссектрисы (теорема 4 – см. ниже).

Ответ . а)
; б)
.
Задача 5 . Один из плоских углов трехгранного угла равен
, а два других – по
. Из произвольной точки ребра, противолежащего плоскому углу в
, опущены перпендикуляры на два других ребра. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Решение .

, AS = a,
,
,
, BS=CS (из равенства прямоугольных треугольников ABS и ACS по гипотенузе и острому углу); D – середина BC,

Ответ .
.

Теорема 1 . В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности.

Доказательство .

Пусть
– наибольший из плоских углов трехгранного угла SABC . В плоскости ASC построим
луч SD лежит внутри угла ASC (или точки D и C совпадают). Возьмем SB = SD и проведем прямую ADC . В треугольнике ABC: AD + DC AB + BC (даже если DC =0 ) – это неравенство треугольника. . Теперь рассмотрим треугольники CSD и CSB: SD = SB , SC = SC , DC BC , следовательно, ,т.е. . .

Теорема 2. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше

Доказательство . Тот же чертеж, что в теореме 1: применим теорему 1 к каждому из трехгранных углов с вершинами A, B, C ( и т.д.) и сложим почленно полученные 9 неравенств; после очевидных сокращений придем куда надо.
Теорема 3. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше
.

Доказательство можно прочитать, например, в учебнике Киселева.
Теорема 4 . Если в трехгранном угле два плоских угла равны, проекцией ребра, являющегося общей стороной равных углов, на плоскость противолежащей грани является биссектриса плоского угла (или ее продолжение) этой грани.

Доказательство . Очевидно.
Задача 6
. Докажите, что если сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной к грани с наибольшим плоским углом, имеет форму равнобедренного треугольника (его основание лежит в плоскости прямого угла), то секущая плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки.

Решение .
если
, то
; BD=DC (т.к. BA=CA по условию); треугольник BSC – прямоугольный, поэтому D – центр описанной окружности, значит DC=DB=DS (ортогональные проекции AC, AB, AS на плоскость BSC); отсюда следует равенство наклонных: AC=AB=AS; следовательно, треугольники ASB и ASC – правильные () и SA=SB=SC.
Задача 7 . Докажите утверждение, обратное к высказанному в предыдущей задаче.

Решение . Рассуждения в решении задачи 6 нужно обратить (т.к. утверждение задачи 7 является обратным к утверждению предыдущей).
Задача 8 . Плоские углы трехгранного угла равны
. Найдите углы наклона ребер к плоскостям противоположных граней.

Решение . См. чертеж к задаче 6. SA=SB=SC=a, .

Проектируем ортогонально BS на плоскость ASC: пусть
; перпендикуляр из точки K в треугольнике ASC проходит через точку C; искомая проекция E точки B – основание высоты BE в треугольнике BCK!

(теорема косинусов); .
.

Ответ .
.

Теорема 5 (теорема косинусов для трехгранного угла). Пусть
– плоские углы трехгранного угла, A, B, C - противолежащие им двугранные углы. Тогда .

Доказательство . Пусть SA = a. Тогда
. Выразим BC 2 по теореме косинусов из треугольников BSC и BAC и приравняем полученные выражения; после шаблонных преобразований получим что надо.
Задача 9 . Все плоские углы трехгранного угла равны, его двугранный угол равен . Найдите косинус плоского угла.

Решение . Теорема косинусов.

Ответ .

Задача 10 . Каждый плоский угол трехгранного угла равен . На одном из ребер взята точка, удаленная от вершины на расстояние a. Найдите расстояние от этой точки до плоскости противолежащей грани.

Решение . AS=a, ,

,
(теорема косинусов),
.
Ответ .
.
Задача 11 . Два плоских угла трехгранного угла равны , третий плоский угол прямой. На общей стороне равных плоских углов взята точка на расстоянии h от плоскости противолежащей грани. Найдите расстояние от этой точки до вершины трехгранного угла.

Решение .

S
A=x, AO=h,
,

(теорема косинусов).

Ответ .
.
Задача 12 . В трехгранном угле два двугранных угла равны по
, их общий плоский угол прямой. Найдите третий двугранный угол.

Решение . ,

Ответ .
.
Теорема 6 (важная). Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проектируется на биссектрису (или ее продолжение) плоского угла противоположной грани.

Доказательство . Если дополнить чертеж к задаче 11 перпендикуляром из A на SC, то сразу увидим, что прямоугольные треугольники ASB и ASC равны по гипотенузе и острому углу, поэтому наклонные AB и AC к грани BSC равны, откуда заключаем равенство их проекций OB и OC. Точка O равноудалена от SB и SC, следовательно, лежит на биссектрисе угла BSC (или ее продолжении).
Дополнение к теме “Трехгранный угол”
Задача 13 . Плоские углы трехгранного угла равны
. Найдите угол между биссектрисой угла и противолежащим ему ребром.

Решение .
- единичные векторы, SD – биссектриса угла . Тогда
.

Ответ .
.
Задача 14 (вторая теорема косинусов для трехгранного угла). Докажите, что

Доказательство . Опустим из внутренней точки трехгранного угла перпендикуляры на грани трехгранного угла – получим новый (двойственный или полярный к данному) трехгранный угол с плоскими углами
и двугранными
. Применим 1-ю теорему косинусов.
Задача 15 . Двугранные углы трехгранного угла равны
. Найдите его плоские углы.