P +p | |||||||||||||||||||||
E − λ | E − λ e λ = 1. | ||||||||||||||||||||
p k= | −λ |
||||||||||||||||||||
На рисунке 3.6 показаны графики функции |
|||||||||||||||||||||
от k ) | |||||||||||||||||||||
значений | параметра |
||||||||||||||||||||
λ = 0,5 (сплошная линия), 1 | (пунктир) и 2 (штрих- |
||||||||||||||||||||
пунктир). Каждый график представляет собой дискрет- |
|||||||||||||||||||||
ный ряд точек; для большей наглядности точки соедине- |
|||||||||||||||||||||
ны последовательно ломаной линией (так называемый |
|||||||||||||||||||||
многоугольник распределения). | |||||||||||||||||||||
Одна из причин, обусловливающих важную роль |
|||||||||||||||||||||
Рис . 3.6 | пуассоновского распределения для практики, заключает- |
||||||||||||||||||||
ся в его тесной связи с биномиальным распределением. Напомним (§ 2.5), что если в формуле Бернулли
P n (k )= C n k p k (1− p )n − k
мы зафиксируем значение k и станем устремлять число опытовп к бесконечности, а вероятностьр – к нулю, притом так, чтобы их произведение оставалось равным постоянному числуλ (np = λ ) , то будем иметь:
Соотношение (3.17) показывает, что при описанном выше предельном переходе таблица (3.15) биномиального распределения переходит в таблицу (3.16) распределения Пуассона. Таким образом, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения при указанных выше условиях. Заметим, что с этим свойством распределения Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – связано часто применяемое для него название:закон редких явлений .
§ 3.5. Системы дискретных случайных величин
До сих пор мы рассматривали случайные величины изолированно друг от друга, не касаясь вопроса об их взаимоотношениях. Однако в практических задачах часто встречаются ситуации, когда те или иные случайные величины приходится изучать совместно . В таких случаях говорят осистеме нескольких случайных величин. Более точно: случайные величины образуют систему, если они определены на одном и том же пространстве элементарных событийΩ .
Систему двух случайных величин (X ,Y ) можно истолковывать как случайную точку на плоскости, систему трех случайных величин (X ,Y ,Z ) – как случайную точку в трехмерном пространстве. Мы ограничимся в основном двумерным случаем.
Интуитивный подход к понятию системы двух случайных величин связан с представлением об опыте, результатом которого является пара чисел X ,Y . Поскольку исход опыта мыслится как случайное событие, то предсказать заранее значения чиселX иY невозможно (при повторении опыта они меняются непредвиденным образом). Приведем несколько примеров.
Пример 3.7. Дважды бросается игральная кость. Обозначим черезX число очков при первом бросании, черезY – число очков во втором. Пара (X ,Y ) будет системой двух случайных величин.
Пример 3.8. Из некоторой аудитории наугад выбирается один студент;X – его рост (скажем, в сантиметрах),Y – вес (в килограммах).
Пример 3.9. В данном сельскохозяйственном районе выбирается произвольно участок посева пшеницы площадью 1 га;X – количество внесенных на этом участке удобрений,Y – урожай, полученный с участка.
Пример 3.10. Сравниваются письменные работы по математике и русскому языку;X – оценка за работу по математике,Y – за работу по русскому языку.
Список подобных примеров легко продолжить.
§ 3.6. Независимые дискретные случайные величины
1 ° . Общие замечания . Примеры . При рассмотрении системы двух случайных величин (X ,Y ) необходимо иметь в виду, что свойства системы не всегда исчерпываются свойствами самих величинX иY . Иначе говоря, если мы знаемвсе о величинеX ивсе о величинеY , то это еще не значит, что мы знаемвсе о системе (X ,Y ). Дело в том, что между величинамиX иY может существовать зависимость, и без учета этой зависимости нельзя построить закон распределения системы (X ,Y ).
Зависимость между случайными величинами в реальных условиях может быть различной. В некоторых случаях она оказывается столь сильной, что, зная, какое значение приняла величина X , можно в точности указать значениеY . Применяя традиционную терминологию, можно сказать, что в этих случаях зависимость междуX иY функциональная (впрочем, понятие функции от случайной величины еще нуждается в уточнениях, последние будут даны в § 3.7). С примерами такой зависимости мы постоянно встречаемся в природе и технике.
В то же время можно указать и примеры другого рода – когда зависимость между случайными величинами существует, но не носит строго выраженного функционального характера. Подобные примеры особенно характерны для таких областей науки и практики, как агротехника, биология, медицина, экономика и т. д., где развитие явлений, как правило, зависит от многих трудно поддающихся учету факторов. Известно, например, что обилие осадков в период созревания пшеницы приводит к повышению урожайности; однако это еще не означает, что связь между количеством X осадков и урожайностьюY (скажем, в расчете на 1 га) является функциональной; кроме осадков на урожайность оказывают влияние и другие факторы: тип почвы, количество внесенных удобрений, число солнечных дней и т. д. В подобных случаях, когда изменение одной величины влияет на другую лишь статистически,в среднем , принято говорить овероятностной связи между величинами. Не приводя пока точных определений, рассмотрим несколько примеров. Они иллюстрируют разные степени зависимости между случайными величинами – от сильной, почти функциональной зависимости до практической независимости.
Пример 3.11. ПустьX – рост наугад выбранного взрослого человека (скажем, в сантиметрах), аY – его вес (в килограммах). Зависимость между ростом и весом является весьма сильной, в первом приближении ее можно даже считать функциональной. Формула, приближенно выражающая эту зависимость, пишется обычно:
Y (кг) =X (см) – 100.
Пример 3.12. X – высота выбранного наугад дерева в лесу,Y – диаметр его основания. И здесь зависимость следует признать сильной, хотя и не в такой степени, как в предыдущем примере.
Пример 3.13. Из груды камней неправильной формы выбирают наугад один камень. ПустьX – его масса, аY – наибольшая длина. Зависимость междуX иY носит сугубо вероятностный характер.
Пример 3.14. X – рост выбранного наугад взрослого человека,Y – его возраст. Наблюдения показывают, что эти величины практически независимы.
2 ° . Определение независимости случайных величин. Оставим пока в стороне вопрос о том,
какими числами можно выразить степень зависимости между величинами X иY . Ограничимся строгим определениемнезависимости случайных величин.
Определение . Пусть задана система(X, Y). Мы скажем, что величины X и Yнезависимы , если
независимы события X А и Y В, где А и В– любые два отрезка[ a1 , a2 ] и[ b1 , b2 ].
Иными словами выполняется равенство
где x i – любое возможное значение величиныX , аy j – любое возможное значение величиныY . Действительно, из (3.18) очевидным образом следует (3.19). Проверим, что и обратно, из (3.19)
следует (3.18).
Пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей
р 11 | р 12 | ||
р 21 | р 22 | ||
Положим A = [ a 1 ,a 2 ] ,B = [ b 1 ,b 2 ] . Тогда
p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (написанное равенство и есть как раз условие (3.19)). Отсюда
P(X A, Y B) = | ∑ p ij= | ∑ P(X= xi ) P(Y= yj ) = |
||||||||
{ i, j | xi A, yj B} { i, j | xi A, yj B} |
||||||||
= ∑ P (X =x i ) | ∑ P(Y= yj ) = P(X A) P(Y B) , |
|||||||||
xi A} | y j B} | |||||||||
т.е. величины X иY независимы.
§ 3.7. Функция от случайной величины. Действия над случайными величинами
Пусть X – случайная величина. Часто возникает необходимость в рассмотрении случайных величинY вида:
Y = g(X) , |
где g (x ) – заданная числовая функция. Какой смысл вкладывается в запись (3.20), т. е. в понятие
функции от случайной величины?
Предположим, что в результате опыта наступило событие
X = x
т. е. величина X приняла значениех . Тогда,по определению , мы считаем, что в данном опыте величинаY приняла значениеg (x ). Ясно, что длядискретной случайной величины такое соглашение вполне определяет новую случайную величинуY . Что касаетсянепрерывной случайной величины, то справедливо следующее утверждение.
Предложение 3.1. Если g(x) непрерывная функция, то соотношение(3.20) определяет случайную величину Y.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы воспользуемся условием (3.2), эквивалентным определению случайной величины. Тем самым нам надо проверить, что для любого открытого множестваU на числовой прямой множество элементарных событий, для которых
Но по определению (3.2) множество элементарных событий, определенного условием (3.22), является событием. Поэтому и условие (3.21) определяет событие, что и требовалось доказать.
Для любой функции (3.20) случайная величина
Y = g(X) ,
подобно X , имеет свой закон распределения. Каков этот закон? Ограничимся рассмотрением того случая, когда случайная величинаX – дискретного типа. Пусть закон распределенияX задан таблицей (3.11). По определению, закон распределения случайной величиныY задается таблицей (3.23), в кото-
рой первую строку (3.11) мы заменили на соответствующие значения функции g (x ), оставив без изменения вторую строку.
g(x1 ) | g(x2 ) | ||||
Если среди значений Y имеются равные, то надо объединить соответствующие столбцы в один столбец, сложив соответствующие вероятности.
Пример 3.15. Пусть случайная величинаX задана законом распределения:
Найти закон распределения случайной величины Y =X 2 .
Р е ш е н и е . Для того чтобы найти закон распределенияY =X 2 , возведем все значения в квадрат и получим следующую таблицу
Очень часто для случайных величин X иY , образующих систему, приходится рассматривать их сумму и произведение. Поскольку закон распределения таких и подобных им операций над случайными величинами определяется аналогичным образом, будем считать, что мы рассматриваем случайную величину
Z =g (X ,Y ),
где g (x ,y ) – некоторая числовая функция.
Итак, пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей | |||||
р 11 | р 12 | ||||
р 21 | р 22 | ||||
смысл которой читателю известен. Величина
Z = g(X, Y)
также будет дискретной. Ее возможными значениями будут числа z 11 = g (x 1 ,y 1 ),z 12 = g (x 1 ,y 2 ), ... .
Разберем два случая.
1. Все числа z ij различны. Тогда событиеZ =z ij , т.е.
g (X ,Y )= z ij ,
наступает только тогда, когда одновременно наступают события X = x i иY = y j , следовательно, его вероятность будет равна
P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) и(X = x 3 ,Y = y 5 ) ,
следовательно, его вероятность будет
р 12+ р 35.
Подводя итог, можно сказать, что закон распределения величины g (X ,Y ) будет выражаться
таблицей (3.25), в которой столбцы с одинаковыми значениями z ij следует объединить в один, сложив стоящие в них вероятностиp ij .
Пример 3.16. Пусть закон распределения системы случайных величин (X ,Y ) задается таблицей. Найти закон распределения их произведения.
Р е ш е н и е . Числаz ij в данном случае будут
z 11= − 2 z 12= − 4 z 13= − 6 | |||||||||||||||||||||||
z 21= − 1 z 22= − 2 z 23= − 3 | |||||||||||||||||||||||
z 31= 0 z 32= 0 z 33= 0 . | |||||||||||||||||||||||
Поэтому "предварительный" закон распределения для X Y будет | |||||||||||||||||||||||
а окончательный | |||||||||||||||||||||||
В статистической радиотехнике частот приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными величинами, например, мгновенные значения напряжения на выходах антенной решетки при воздействии на ее вход сигналов и помех и т.д. Свойства системы нескольких СВ не исчерпываются свойствами отдельной СВ, так как при этом необходимо описание связи между составляющими системы СВ.
1. Функции распределения системы из двух случайных величин
Функцией распределения системы из двух СВ
называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и : .По определению, функция распределения
есть вероятность попадания случайной точки с координатами в квадрат с бесконечными размерами, расположенный левее и ниже этой точки на плоскости . Отдельно для каждой СВ X и Y можно определить одномерную функцию распределения, например, есть вероятность попадания в полуплоскость, расположенную левее точки с координатой x . Также и есть вероятность попадания в полуплоскость ниже точки y .Свойства
: есть неубывающая функция обоих своих аргументов;2) на - ¥ по обеим осям она равна нулю;
3) при равенстве +¥ одного из аргументов согласно другому аргументу она превращается в одномерную функцию распределения;
4) если оба аргумента равны +¥, то
= 1.Вероятность попадания случайной точки в квадрат R с координатами
по оси x и по оси y равна . существует как для непрерывных, так и для дискретных СВ.2. Двумерная плотность вероятности
Двумерная плотность вероятности есть предел следующего отношения:
.
не только непрерывна, но и дифференцируема, то двумерная плотность вероятности есть вторая смешанная частная производная функции по x
и по y
.
Размерность
обратна произведению размерностей СВ X и Y.Таким образом, двумерная плотность вероятности есть предел отношению вероятности попадания точки в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера прямоугольника стремятся к нулю. Геометрически
можно представить как некоторую поверхность.Если рассечь эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости x 0y , и спроецировать полученное сечение на плоскость x 0y , то получится кривая, называемая "кривой равной плотности вероятности".
Иногда удобно рассматривать семейства кривых равной плотности при разных уровнях сечения. Как и для одномерной плотности вероятности, здесь вводится понятие элемента вероятности
.Вероятность попадания случайной точки в произвольную область G определяется двумерным интегралом от
по этой области. Геометрически это объем, ограниченный и областью G .Если G есть прямоугольник с координатами вершин по оси x :
и , а по оси y : и , то вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник определяется интегралом
.
Свойства двумерной плотности вероятности:
есть неотрицательная величина;свойство нормировки аналогично одномерной плотности вероятности, но при двумерном интегрировании в бесконечных пределах.
3. Условные законы распределения отдельных СВ, входящих в систему СВ
Имея закон распределения системы двух СВ, всегда можно определить законы распределения отдельных СВ, входящих в систему. Например,
и 
. Если известна плотность вероятности , то 
.
Аналогично определяется
.Таким образом, зная двумерную плотность вероятности, всегда можно определить одномерную плотность вероятности. Обратную задачу в общем случае решить невозможно. Ее можно решить, если известны условные плотности вероятности или функции распределения.
Условным законом распределения СВ, входящей в систему, называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая СВ приняла определенное значение:
. В этом случае можно найти двумерную плотность вероятности по формуле . Из этих выражений следует:
, 
.
4. Статистическая взаимозависимость и независимость
СВ X называется независимой от СВ Y , если закон распределения величины X не зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае
при любом y
. Необходимо заметить, что если СВ X
не зависит от СВ Y
, то и СВ Y
не зависит от СВ X
. Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид:
.
Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей. При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем. Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.
11. Функция распределения системы двух случайных величин.
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, - дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина.
Кроме одномерных случайных величин, изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными,…, n-мерными. Будем обозначать через (X,Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой): обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему n случайных
величин. Например, любую точку на координатной плоскости XOY можно рассматривать как двумерную случайную величину с компонентами (координатами) X и Y; любую точку в трехмерном пространстве – как
трехмерную случайную величину с компонентами X, Y и Z. Различают дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.
Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть (x,y) – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y, обозначим через F(x,y). Если x и y будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(x,y), т. е. F(x,y) есть функция от x и y.
Функцией
распределения
двумерной
случайной величины (X,Y) называют функцию
F(x,y), определяющую для каждой пары чисел
x, y вероятность того, что X примет значение,
меньшее x, и при этом Y примет значение,
меньшее y: F(x,y) = P(X Геометрически
это равенство можно истолковать так:
F(x,y) есть вероятность того, что случайная
точка (X,Y) попадет в бесконечный квадрант
с вершиной (x, y), расположенной левее и
ниже этой вершины. Свойства
функции распределения двумерной
случайной величины
Свойство
1
.
Значения функции распределения
удовлетворяют двойному неравенству
0
≤
F(x,
y) ≤
1. Доказательство
.
Свойство вытекает из определения функции
распределения как вероятности: вероятность
– всегда неотрицательное число, не
превышающее единицу. Свойство
2
.
F(x,y) есть неубывающая функция по каждому
аргументу, т.е.
F(x2
,y) ≥
F(x1
,y), если x2> x1 ; F(x
,y2) ≥
F(x
,y1), если y2> y1. Доказательство
.
Докажем, что F(x,y) – неубывающая функция
по аргументу x. Событие, состоящее в том,
что составляющая X примет значение,
меньшее x2, и при этом составляющая Y <
y, можно подразделить на следующие два
несовместных события: 1)
X примет значение, меньшее x1 , и при этом
Y < y с вероятностью P(X< x1,Y 2)
X примет значение, удовлетворяющее
неравенству x1 ≤
X
< x2 , и при этом Y По
теореме сложения, P(X<
x2, Y P(X<
x2, Y F(x2
,y) - F(x1 ,y) = P(x1≤X<
x2, Y Любая
вероятность есть число неотрицательное,
поэтому F(x2
,y) - F(x1 ,y) ≥
0,
или F(x2 ,y) ≥
F(x1
,y), что
и требовалось доказать. Свойство
становится наглядно ясным, если
воспользоваться геометрическим
истолкованием функции распределения
как вероятности попадания случайной
точки в бесконечный квадрант с вершиной
(x;y). При возрастании x правая граница
этого квадранта сдвигается вправо; при
этом вероятность попадания случайной
точки в новый квадрант, очевидно, не
может уменьшиться. Аналогично доказывается,
что F(x,y) есть неубывающая функция по аргументу
y. Свойство
3
.
Имеют место предельные соотношения: 1)
F(-∞
,
y) = 0, 2) F(x, -∞)
= 0, 3)
F(-∞
,
-∞)
= 0, 4) F(∞
,
∞)
= 1. Доказательство
1)
F(-∞
,
y) есть вероятность события X < -∞
и
Y < y; но такое событие невозможно
(поскольку невозможно событие X < -∞),
следовательно, вероятность этого события
равна нулю. Свойство становится наглядно
ясным, если прибегнуть к геометрической
интерпретации: при x→-∞
правая
граница бесконечного квадранта
неограниченно сдвигается влево и при
этом вероятность попадания случайной
точки в квадрант стремится к нулю. 2)
Событие Y < -∞
невозможно,
поэтому F(x, -∞)
= 0. 3)
Событие X < -∞
невозможно,
поэтому F(-∞
,
-∞)
= 0. 4)
Событие X < ∞
и
Y < ∞
достоверно,
следовательно, вероятность этого события
F(∞
,
∞)
= 1. Свойство
становится наглядно ясным, если принять
во внимание, что при x→∞
и
y→∞
бесконечный
квадрант превращается во всю плоскость
xOy и, следовательно, попадание случайной
точки (X;Y) в эту плоскость есть достоверное
событие. Свойство
4
а)
При y = ∞
функция
распределения системы становится
функцией распределения составляющей
X: F(x,
∞)
= F1(x). б)
При x = ∞
функция
распределения системы становится
функцией распределения составляющей
Y: F(∞,
y) = F2(y). Доказательство.
а)
Так как событие Y < ∞
достоверно,
то F(x, ∞)
определяет вероятность события X < x,
т.е. представляет собой функцию
распределения составляющей X. б)
Доказывается аналогично. Часто при изучении случайных явлений приходится иметь дело не с одной случайной величиной, а с двумя, тремя и более. Совместное изучение конечного числа случайных величин приводит к системе случайных величин. Приведем некоторые примеры систем случайных величин: Упорядоченный набор случайных величин
>, заданных на пространстве элементарных событий, называется системой п случайных величин. Ее удобно рассматривать как координаты случайного вектора в n-мерном пространстве. Система п случайных величин является функцией элементарного события, т. е. Каждому элементарному событию со ставится в соответствие п действительных чисел - значения, принятые случайными величинами (X , Х 2 , ..., XJ в результате опыта. Случайные величины (Х 1? Х 2 , ..., X), входящие в систему, могут быть дискретными и недискретными (непрерывными и смешанными). На них распространяются практически без изменений все основные определения понятия одной случайной величины. Рассмотрим систему двух случайных величин (Х;У). Ее основные понятия легко обобщаются на случай большего числа компонентов. Систему двух случайных величин (X;Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости ОХУ (рис. 2.18) или случайным вектором (рис. 2.19). Полной характеристикой системы случайных величин является ее закон распределения, который имеет различные формы: Аналогом ряда распределения дискретной случайной величины X для системы двух случайных величин (X,Y) является матрица распределения - прямоугольная таблица, в которой располагаются вероятности
Событие- есть произведение событий {X = х г)
и {Y = у).
Матрица распределения двух дискретных случайных величин имеет вид: Заметим, что
На рис. 2.20 приведен график распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y). Зная матрицу распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) можно определить ряды распределения каждой из компонент (обратное в общем случае невозможно). Искомые формулы имеют вид:
Наиболее универсальной формулой закона распределения для системы двух случайных величин является функция распределения, которую мы обозначаем F(x, у).
Функцией распределения двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения неравенства: X х и Y у, т. е. Геометрически F(x, у)
интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х, у),
который располагается левее и ниже ее (рис. 2.21). Заметим, что верхняя и правая границы квадрата в него не включаются. Если задана матрица распределения двух дискретных случайных величин (2.49), то функция распределения двумерной случайной величины определяется по формуле:
Приведем некоторые свойства функции распределения двумерной случайной величины. 1. Множество значений функции распределения F(x, у)
принадлежит отрезку т. е
2. Функция распределения F(x, у)
является неубывающей функцией обоих своих аргументов, т. е 3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения F(x, у)
обращается в -оо, то функция распределения обращается в ноль, т. е. где F x (x) и F 2 (y
) - функции распределения случайных величин X и Y соответственно. 6. Функция распределения системы двух случайных величин F(x, у)
непрерывна слева по каждому своему аргументу, т. е.
Зная функцию распределения F(x, у),
можно найти вероятность попадания случайной точки (X,
Y) в прямоугольник G со сторонами, параллельными осям координат, ограниченного абсциссами а, Ъ
и ординатами с и d, причем левая и нижняя границы включаются в G, а правая и верхняя -- не включаются (рис. 2.22). Если функция распределения F(x, у)
непрерывна и дифференцируема по каждому из аргументов, то система двух случайных величин (X, Y) является непрерывной, причем составляющие этой системы - непрерывные случайные величины. Для непрерывных двумерных случайных величин в качестве закона распределения вводится понятие плотности распределения (или совместной плотности распределения) f(x, у),
которая является второй смешенной частной производной от функции распределения, т. е. Плотность распределения f(x, у)
представляет собой некоторую поверхность, которую называют поверхностью распределения (рис. 2.23). Плотность распределения f(x, у)
имеет следующие свойства: 3) вероятность попадания случайной точки (X, У) в область G определяется формулой 4) функция распределения системы двух случайных величин (X, У) выражается через совместную плотность распределения следующим образом:
Как и в случае одной случайной величины введем понятие элемент вероятности для системы двух непрерывных случайных величин: f(x, y)dxdy.
С точностью до бесконечно малых высших порядков элемент вероятности f(x, y)dxdy
равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник с размерами dx и dy,
примыкающий к точке (х, у)
(рис. 2.24). Эта вероятность приблизительно равна объему элементарного параллелепипеда с высотой f(x, у),
который опирается на данный прямоугольник. Плотности распределения одномерных составляющих X и Y двумерной непрерывной случайной величины находятся по формулам Зная совместную плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины/(х, у),
можно найти функцию распределения каждой из ее составляющих: Если известны законы распределения случайных величин X и Y, которые входят в систему (X, Y), то можно определить закон распределения системы только в том случае, если случайные величины X и У независимы. Две случайные величины X и У будут независимы только в том случае, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения принимает другая. В противном случае величины X и У будут зависимыми. Приведем без доказательств условия независимости двух случайных величин. Теорема 2.2.
Для того чтобы две дискретные случайные величины X и У, образующие систему (Х,У), были независимыми, необходимо и достаточно выполнение равенства для Vi = 1, п
и j
= 1, т.
Теорема 2.3.
Для того чтобы случайные величины X и У, входящие в систему (X, У), были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения ее составляющих, т. е. Теорема 2.4.
Для того чтобы непрерывные случайные величины X и У, входящие в систему (X, У), были независимыми, необходимо и достаточно выполнение равенства т. е. совместная плотность распределения системы (X, У) должна быть равна произведению плотностей распределения ее составляющих. В том случае, если случайные величины X и У, образующие систему, являются зависимыми, для характеристики их зависимости вводятся понятия условных законов распределения случайных величин. Условных законов распределения в данном пособии касаться не будем. Желающие могут ознакомиться с ними, например в . Так же, как и одна случайная величина X, систему двух случайных величин (X, У) можно задать числовыми характеристиками. В качестве таковых обычно используются начальные и центральные моменты различных порядков. Начальным моментом порядка (к
+ s
) системы двух случайных величин (X и У) называется математическое ожидание произведения Х к
на Y s ,
т. е. Центральным моментом порядка (к
+ s) системы двух случайных величин (X, У) называется математическое ожидание произведения Х к
на У®, т. е. где
- центрированные случайные величины. Напомним, что порядком начального и центрального моментов является сумма его индексов, т. е. (к
+ s). Приведем формулы для нахождения начального и центрального моментов. Для системы двух дискретных случайных величин, имеем
Для системы двух непрерывных случайных величин получаем На практике чаще всего используют начальный и центральный моменты первого и второго порядков. Имеются два начальных момента первого порядка: Они являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y. Точка с координатами (М[Х
], M[Y]) на плоскости OXY - характеристика положения случайной точки (X,
Y), т. е. ее разброс происходит вокруг точки (М[Х, M[Y]).
Оба центральных момента первого порядка равны нулю, т. е. Имеются три начальных момента второго порядка: Момент а 11
часто встречается в приложениях. Из выражений (2.66) и (2.68) следуют формулы для его вычисления: Для системы двух дискретной случайной величин Для системы двух непрерывных случайных величин Имеются три центральных момента второго порядка:
Первые два момента в формулах (2.74) - это дисперсии. А момент {
называется ковариацией, или корреляционным моментом системы случайных величин (X,Y). Для него вводится специальное обозначение K = К ху.
Из выражений (2.67) и (2.69) следуют формулы для его вычисления: Для системы дискретных случайных величин Для систем непрерывных случайных величин Центральные моменты можно выражать через начальные и наоборот. Поэтому часто ковариацию выражают через начальные моменты. т. е. ковариация системы двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение их математических ожиданий. Приведем некоторые свойства ковариации: 1. Ковариация симметрична, т. е. при перемене индексов местами она не меняется: 2. Дисперсия случайной величины - это ее ковариация сама с собой, т. е. 3. Если случайные величины X и Y
независимы, то ковариация равна нулю: Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Удобнее пользоваться безразмерным коэффициентом, характеризующим только зависимость между случайными величинами X и Y. Поэтому ковариацию делят на произведение средних квадратических отклонений а[Х] х а[У] и получают коэффициент корреляции:
Данный коэффициент характеризует степень зависимости случайных величин X и Y, причем не любой зависимости, а только линейной. Для любых двух случайных величин X и Y выполняется неравенство Если г ху
= 0, то линейной зависимости между случайными величинами X и Y нет и они называются некоррелированными. Если г ху Ф
0, то случайные величины X и Y называются коррелированными. Чем ближе г к ±1, тем более тесная линейная связь су- ществует между случайными величинами X и Y. Если г = ± 1, то между случайными величинами X и Y существует жесткая функциональная линейная связь вида Из независимости случайных величин X и Y следует их некоррелированность. Но обратное положение в общем случае неверно, т. е. если г ху
= 0, то это говорит только об отсутствии линейной связи между случайными величинами. Они могут быть связаны между собой криволинейной зависимостью. Рассмотрим конкретный пример. Пример 2.5 Задана матрица распределения системы двух дискретных случайных величин (X,Y). Найти числовые характеристики системы (X,Y): М[Х
], M[Y], D[X], D[Y],
ст[Х], a[Y], K}
Напомним, что
