На этом уроке мы дадим определение геометрии как науке и ее подразделам: планиметрии и стереометрии. Дадим определение геометрических фигур и рассмотрим основные геометрические фигуры. Далее мы рассмотрим геометрические обозначения фигур и три основных аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве и решим несколько простых задач на их применение.

А, В, С, D - точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b - прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

Плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В . Прямая может быть также обозначена как АВ .

Рассмотрим прямую b , на ней лежат точки С и D . Прямая b может быть также обозначена как СD .

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рассмотрим три точки: А, В, С , причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Аксиома утверждает - все точки прямой (прямой АВ ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М , то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

Задания 2, 4 на стр. 9.

Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.

2. Дан куб .

В каких плоскостях лежат прямые:

б) AC 1

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости

а) ABC и ABB 1

б) DCC 1 и BB 1 C .

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.

Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от реальных предметов геометрические тела являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Схема построения геометрии

Перечисляются основные неопределяемые понятия.

Формулируются свойства основных понятий - аксиомы.

Определяются другие геометрические понятия.

Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий - теоремы.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Определение : Аксиомой называется предложение, не требующее доказательства.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, известных нам по курсу планиметрии, и аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

I. Аксиомы принадлежности

I 1 . Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Обозначение :

А, В, С, D – точки;

а, b, с – прямые;

a , b , g – плоскости;

А Î а – точка А принадлежит прямой а, прямая а проходит через точку А;

Е Ï а – точка Е не принадлежит прямой а;

С Î a – точка С принадлежит плоскости a , плоскость a проходит через точку С;

Е Ï a – точка Е не принадлежит плоскости a .

Вывод : Существуют точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, принадлежащие плоскости и не принадлежащие плоскости.

I 2 . Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Обозначение :

а Ì a – плоскость a проходит через прямую а;

b Ë a – плоскость a не проходит через прямую b.

I 4 . Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Обозначение : a = АВС

Вывод : Плоскости, имеющие три различные общие точки, совпадают.

I 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечением является прямая.

Обозначение : М Î a , М Î b , a ¹ b , a ìüb = l.

II. Аксиомы расстояния

II 1 . Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В . Расстояние АВ равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

Обозначение : АВ ³ 0.

II 2 . Расстояние от А до В равно расстоянию от В до А .

Обозначение : АВ = ВА.

II 3 . Для любых трех точек А , В , С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С .

Обозначение : АС £ АВ + ВС.

III. Аксиомы порядка

III 1 . Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В , принадлежащим разным множествам, точка О лежит между точками А и В ; если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой и точкой О .

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.

Большинство пространственных фигур представляют собой абстракцию различных предметов. Изучение стереометрии включает не только усвоение некоторых фактов и понятий, но владение математическими методами, которые применяются для обоснования этих фактов. Обратим внимание на структуру стереометрии, как учебного курса. Стереометрия строится следующим образом:

перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
приводится список аксиом;
при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
на основании аксиом и определений доказываются теоремы.

Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость». С их помощью определяются и другие понятия стереометрии. Определить понятие (дать ему определение) – это значит указать его существенные, характерные особенности, указать признаки. Некоторые из этих признаков являются признаками сходства и устанавливают связь данного понятия с другими, уже известными понятиями; иные – признаки различия, указывающие на особенные свойства данных понятий.

Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.

Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:

α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;

А, В, С,… – точки;

а, b, с,… – прямые;

А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;

А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;

А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;

А Ȼ а, А Ȼ α – точка А не принадлежит прямой а, точка А не принадлежит плоскости α.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а

Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом (III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ: