Элементарные функции и их графики.
Основными элементарными функциями считаются: степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции, а также многочлен и рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов.
К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения основных четырех арифметических действий и образования сложной функции.
Графики элементарных функций
Прямая линия - график линейной функции y = ax + b . Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах 2 + bх + с . Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +с =0 | |
Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0). | |
Показательная функция. Экспонента (показательная функция по основанию е) у = е x . (Другое написание у = ехр(х) ). Асимптота - ось абсцисс. | |
Логарифмическая функция y = log a x (a > 0) | |
у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π |
Предел функции.
Функция y=f(x) имеет число А пределом при стремлении х к а, если для любого числа ε › 0 найдется такое число δ › 0, что | y – A | ‹ ε если |х - а| ‹ δ,
или lim у = A
Непрерывность функции.
Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если lim f(x) = f(а), т.е.
предел функции в точке х = а равен значению функции в данной точке.
Нахождение пределов функций.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел постоянной величины равен этой постоянной величине:
2. Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов этих функций:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен 0:
lim ------- = ----------
Первый замечательный предел: lim --------- = 1
Второй замечательный предел: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
Примеры нахождения пределов функций.
5.1. Пример:
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно х, хотя вместо «икса» может быть любая другая переменная. На месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность 0 или .
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Очень важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? Выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан предел, надо сначала просто подставить число в функцию.
5.2. Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает.
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.
5.3. Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции.
Вывод: прифункциянеограниченно возрастает
5.4. Серия примеров:
Попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующие примеры и решить простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
Когда дан любой предел, сначала просто подставить число в функцию. При этом Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.
6. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения.
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
6.1. Пример:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попы таемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что = 1, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Таким образом, ответ , а вовсе не 1.
Пример
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее
значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Пример
Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
нужно разложить числитель и знаменатель на множители
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Пример
Вычислить предел
Сначала «дубовый» вариант решения, подставим х=2:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
,
Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.
Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».
Что такое последовательности и где их предел?
Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.
Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:
х 1 , х 2 , х 3 , …х n …
Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.
Как строится числовая последовательность?
Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
х 1 — первый член последовательности;
х 2 — второй член последовательности;
х 3 — третий член;
х n — энный член.
В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.
Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.
а 3 =19+4=23 — третий член.
а 4 =23+4=27 — четвёртый член.
Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.
Виды последовательностей
Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.
1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.
Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!
Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
а 2 = 1х2х3 = 6;
а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.
Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1 а 3 = - 1/8 и т. д. Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок. Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции: Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом. 5, 9, 13, 17, 21…x … Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так: Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим: А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять. Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий. Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре. Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств? ∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п. ∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел. Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п. Для закрепления материала прочитайте формулу вслух. Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции: Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь: Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев. Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 . Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1. Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 . Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски: Получается следующее выражение: Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя. Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются. Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями. Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно. Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке? Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε. С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ. Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства: Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере. Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю. По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности. На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе. Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать. Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания. Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела. Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения. Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью». Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1. Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность). Но легче понимать подобное на примерах. Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность. А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность. Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел. Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один. Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность. Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела. Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного). Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся. Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль). Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся. Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено! Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции. Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов. Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно. Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем: На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин. Функцией
y = f(x)
называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x
множества X
ставится в соответствие один и только один элемент y
множества Y
.
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
. Множество X
называется областью определения функции
. Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство: Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом: Односторонние пределы. Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках. Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках: Определение
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так: Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек: Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности: Если в качестве множества X
взять левостороннюю окрестность точки x 0
,
то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X
взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности. Теорема
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки ,
которая является конечным числом или одним из символов: .
Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или .
Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего. Если значения функции f(x)
изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1
, x 2
, x 3
, ... x n
,
то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0
.
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена: Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля: Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,
- постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
Если ,
и на некоторой окрестности точки Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
Доказательства основных свойств приведены на странице Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы: Если ,
то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице Теорема
Теорема о пределе сложной функции
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции: Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Доказательства теорем приведены на странице Определение
Сумма, разность и произведение
конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной
на некоторой проколотой окрестности точки ,
на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы Определение
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки ,
и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству: Доказательства свойств изложены в разделе Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Если функция являются бесконечно большой при ,
то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при ,
и ,
то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом: Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так: Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями: Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице Определение
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей. Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая. Теорема
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
Аналогичная теорема для невозрастающей функции. Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы: Доказательство теоремы изложено на странице Использованная литература: При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила
: 1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых: 2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей: 3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций: . 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: . 5. Предел постоянной равен самой постоянной: 6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами: . Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значения в выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или ¥, то искомый предел найден. Пример 2.1.
Вычислить предел . Решение.
. Выражения вида , , , , , называются неопределённостями
. Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность. Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значении х
. Пример 2.2.
Вычислить предел . Решение.
Подставляя , получим неопределенность: . Разложим числитель и знаменатель на множители: ; Сократим на общий множитель и получим Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при . В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена на х
в старшей степени. Пример 2.3.
Вычислить предел . Решение.
При подстановке ∞ получается неопределенность вида , поэтому разделим все члены выражения на x 3
. . Здесь учитывается, что . При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение. Пример 2.4.
Вычислить предел Решение.
При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1) ∞ часто используются первый и второй замечательные пределы: Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: 100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.), 100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.), 100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.). При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что Пример 2.5.
Вычислить предел функции Решение.
Пример 2.6.
Вычислить предел функции . Решение.
Подставляя получим неопределенность: . Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение: В результате получаем Здесь учитывается второй замечательный предел . Пример 2.7.
Вычислить предел функции Решение.
. Для раскрытия неопределенности вида или можно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме. Теорема.
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд. Пример 2.8.
Найти Решение.
При подстановке , имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим Непрерывность функции
Важным свойством функции является непрерывность. Определение.
Функция считается непрерывной
, если малое изменение значения аргумента влечет за собой малое изменение значения функции. Математически это записывается так: при Под и понимается приращение переменных, то есть разность между последующим и предыдущим значениями: , (рисунок 2.3) Из определения функции , непрерывной в точке , следует, что . Это равенство означает выполнение трех условий:
Решение.
Для функции точка является подозрительной на разрыв, проверим это, найдем односторонние пределы Следовательно, , значит - точка устранимого разрыва
Производная функции
Предел функции
- число a
будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a
. Или другими словами, число A
является пределом функции y = f (x)
в точке x 0
, если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0
, и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0)
, последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A
. График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L
: Значение А
является пределом (предельным значением) функции
f (x)
в точке x 0
в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0
, но которая не содержит x 0
как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0
), последовательность значений функции сходится к A
. Значение A
будет являться пределом функции
f (x)
в точке x 0
в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε
будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε)
такое, что для каждого аргумента x
, удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ
, будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε
. Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x)
при x
стремящемся к a
равен A
, записывается таким образом: Причем значение, к которому стремится переменная x
, может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть. Чтоб понять, как находить пределы функции
, лучше всего посмотреть примеры решения. Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/
x
при: x
→ 2,
x
→ 0,
x
→
∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x
число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции
. Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x
нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x)
будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x
→ 0
значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит: Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞
в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x
. Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/
x
будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому: Необходимо вычислить предел функции Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3
, выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него: Ответ Первым шагом в нахождении этого предела
, подставим значение 1 вместо x
, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2
x - 3
: D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16
→
√
D =
√16 = 4
x 1,2 = (-2
± 4) / 2
→
x 1 = -3;
x 2
= 1.
Таким образом, числитель будет таким: Ответ Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом. Чтобы решить пределы, следуйте правилам: Разобравшись в сути и основных правилах решения предела
, вы получите базовое понятие о том, как их решать.Определение предела последовательности
Общее обозначение предела последовательностей
Неопределённость и определённость предела
Что такое окрестность?
Теоремы
Доказательство последовательностей
А может, его нет?
Монотонная последовательность
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Предел монотонной последовательности
Различные действия с пределами
Свойства величин последовательностей
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Предел функции f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
.
.
.
Универсальное определение предела функции
.
Определение предела функции по Гейне
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
.
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
ДоказательствоСвойства и теоремы предела функции
Основные свойства
.
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
,
то .
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
«Основные свойства пределов функции ».Арифметические свойства предела функции
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
«Арифметические свойства пределов функции ».Критерий Коши существования предела функции
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
.
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
«Предел и непрерывность сложной функции ».Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».Бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
.
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
«Свойства бесконечно больших функций ».Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
,
.
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
,
,
,
.
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».Пределы монотонных функций
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
;
.
;
.
«Пределы монотонных функций ».
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Рисунок 2.3 – Приращение переменных
Предел функции по Коши.