Построение графиков функций с использованием понятия производной. III

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)

Определение:

x 0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

Найти область определения функции.
Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
Найти производную функции и ее критические точки.
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .

Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"

Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс
Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1
Производная и первообразная
Заданий: 3
Определение производной - Производная 10 класс
Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1
Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1
Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 5

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4

Тип задания: 7

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Показать решение

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].

Тема: «Применение производной к построению графиков функции»

Цели урока:

1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;

2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;

3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

Ход урока

I. Организационный момент

Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4) .

Сообщение темы и целей урока (слайд 5) .

Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)

Новая тема (слайд 7)

Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)

П. Проверка домашнего задания

При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)

Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)

Работа по графикам (слайд 13-14)

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)

По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.

III. Актуализация опорных знаний

На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.

Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).

IV. Работа с учебником (стр 145 - 154 - высветить на экран)

Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.

Записать в тетрадь схему исследования функции.

Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.

Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.

Образцы решений.

Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.

1. Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x ) = (х 3 - 2х 2 + х)" = 3х 2 - 4х +1.

f "(x ) = 0. 3х 2 - 4х + 1 = 0,

(3х-1) (х-1) = 0

х 1 =1, х 2 = 1/3

4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f "(x )

Так как f "(x ) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.

5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:

f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;

Составим таблицу по результатам исследования


f "(x )
f (х)

7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0, х (х 2 -2х + 1) =0,

х (х -1) 2 =0, х = 0 или х = 1.

8. Построим график функции.

Физминутка

Работа по учебнику

Задание 3. Постройте график функции f (х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .

Решение.

Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3).

Найдем критические точки, решив уравнение f "(x ) = 0. -5х(1 + х 3) = 0, следовательно,

Х 1 =0, х 2 = -1.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:

для производной
f "(x =-5х (1+х 3) имеем 3 интервала знак постоянства:

(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).

f "( x )0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.

Аналогично f "( x ) 0 на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞), значит, функция на них убывает.

5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:

f (-1)=-0,5 f (0)=1

5.Творческое задание

Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.

Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.

Задание 4.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f (x ) - четная функция,

Ответ:

VI. Закрепление изученного материала

Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.

Задание 8. Постройте график функции.

Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)

а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;

б) у = 4х 5 -5х 4 ;

в) у = Зх 5 -5х 3 .

VII. Подведение итогов урока

По какой схеме проводится исследование свойств функции?

Ответ:

Надо найти:

Область определения функции ( D ( f ) = R a ).

Производную (f"(x)).

Стационарные точки (f"(x = 0)

Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).

Точки экстремума и значение функции в этих точках.

а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);

б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).

А сейчас проведем аукцион понимания графиков.

Дома. Закончить задания

Построить график функции:

a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3 х - х 3 .

Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.

(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)

Свойства:

возрастает;
точки минимума;
точки максимума;
точки перегиба;
четность (нечетность);
область определения;

область значений;

точки пересечения с Ох;

точки пересечения с Оу;

симметричность графика функции;

функция принимает положительные значения;

функция принимает отрицательные значения;

наибольшее значение функции;

наименьшее значение функции.

Домашнее задание

Задание 10.

Построить график функции:

a)у= = 3х +1/3х

б) у = хе х ;

в) у = 2 + Зх - х 3 .

Приложение

Решения Задание 7.

а) Решение.

1.D ( f ) = R .

2. Функция у(-х) = 6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х 4 -4х 6 = у(х) четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.

Исследуем на (0; +∞),

3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .

4.Находим критические точки: у" = 0, 24х 3 (1 –х 2 ) = 0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.


f"(x
f (x )
Экстремум

График

б) Решение.

Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -

2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞).

Находим производную f "( x ) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.

Находим критические точки: f "( x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,

Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1

						(2; ∞+)
f "( x )
f (x )
Экстремум

График

В)Решение

Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.

Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =

= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.

5. Знаки производной.

6. Промежутки возрастания и убывания.

					(2; + ∞)
f "( x )
f (x )
Экстремум

Задание 8.

а) Решение.

5.Промежутки возрастания и убывания.

	(-∞-1)	(1 ;0)		(1; + ∞)
У"
У
			Точка перегиба

б) Решение.

D (y) = R.

Находим производную у" = 20х 4 -20х 3 .

Находим критические точки: у" = 0, 20х 3 (х-1) = 0,

4. Знаки производной.

5. Промежутки возрастания и убывания.

в) Решение.

D (y) = R.

2. Функция у(-х) = 3(-х) 5 -5(-х) 3 = -Зх 5 +5х 3 = -(Зх 5 -5х 3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).

3. Находим производную у" = 15х 4 - 15х 2 = 15х 2 (х 2 -1).

Находим критические точки: у" = 0, 15х 2 (х 2 -1) = 0, х, =0, х 2,3 =±1.

Знаки производной.

______________________________________________

6. Промежутки возрастания и убывания.


у"
У
	Точка перегиба

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;