Построение очерка главного меридиана поверхности вращения. Коническая поверхность

Теорема.

Расстояние от точки до прямой , заданной точкой и направляющим вектором может быть найдено по формуле

А расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по формуле

Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой . Прямая , вокруг которой производится вращение, называется осью вращения . Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями . Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами .

Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение

есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси линии, заданной уравнениями

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, которая вместе с каждой точкой содержит всю прямую, проходящую через точку , параллельно данному ненулевому вектору . Прямые, параллельные вектору и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. В этом случае линия называется направляющей это поверхности.

Если прямоугольная система координат выбрана так, что образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны оси , а направляющая в системе имела каноническое уравнение, то цилиндрические поверхности определяются следующим образом.

- эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр;

- параболический цилиндр;

-цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся по оси плоскостей;

- цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей;

- цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей второго порядка.

Если в каноническом уравнении эллиптического цилиндра , то направляющей цилиндра служит окружность , лежащая в плоскости . В этом случае поверхность является цилиндром вращения .

Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой , отличной от точки , эта поверхность содержит прямую .

Прямые проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса.

Рассмотрим в пространстве линию и точку , не лежащую на линии . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и через некоторую точку линии , является конической поверхностью с вершиной .

В этом случае линия называется направляющей .

Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале прямоугольной системы координат , направляющая которой служит эллипс :

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть точка , отличная от точки , принадлежит конусу . Тогда прямая пересечет направляющую в некоторой точке . Так как и векторы и коллинеарны, то найдется такое вещественное число , что , или в координатах:

Отсюда находим

Подставив полученные выражения в первое из равенств, после несложных преобразований найдем:

Итак, координаты любой точки конуса удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно убедиться также, что если точка не принадлежит конусу, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом, мы получили уравнение второй степени, поэтому конус называется конусом второго порядка. А само уравнение называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка .

В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружностью, то есть когда , уравнение принимает вид

Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом.

Практические занятия:

Тема 1:

Тема 2:

Тема 3:

Тема 4:

Тема 5:

Тема 6:

Тема 7:

Тема 8:

Тема 9:

Тема 10:

Тема 11.

Тема 12.

Тема 13.

Тема 14.

Тема 15.

Самостоятельная работа студентов:

Тема 1: Бинарные операции на множестве. Понятие группы, кольца и поля. Примеры. Поле комплексных чисел. № 101 – 113, 17 – 18 б. ; № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2: Операции над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50 , 20 – 23 б.

Тема 3: Перестановки и подстановки. Группа подстановок. Циклические подстановки. № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 б

Тема 4: Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка. № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 /31-32 б., № 3.24-3.27, 3.30(1,2)/29-30б.

Тема 5: Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б. , № 3.30–3.31 / 30–31 б., № 4.24–4.28 / 44-45 б.

Тема 6: Обратная матрица и методы ее вычисления. Матричные уравнения. № 400, 410–411 / 55–56 б. , № 3.38–3.40 / 33–34 б.

Тема 7: Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера. № 443– 447 / 62 – 64 б. , № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.

Тема 8: Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие. № 400– 402 / 53 – 54 б. , № 443–447, 449 / 62 – 64 б. № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9: Векторы. Базис векторного пространства. № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б. , № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.

Тема 10: Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. 104, 114, 117, 118, 124, 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489(1,3) .

Тема 11. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух прямых. 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), 552, 553.

Тема 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений. 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584(1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых. 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а) , 624(1, 3), 625(1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. 1252, 1254(а, в), 1256 , 769, 770(1), 771, 775(1).

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор.определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали hэтой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

А. Поверхности вращения общего вида (рис. 157).

Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси .

В состав определителя поверхности вращения входит образующая g, ось вращения i и условие о том, что эта образующая вращается вокруг оси i:

Ф (g, i); .

Каждая точка образующей (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями . Наибольшую и наименьшую параллель называют соответственно экватором и горлом (шейкой).

Плоскости α, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными , а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами .

Меридиональную плоскость α 1 , параллельную плоскости проекции, принято называть главной меридиональной плоскостью , а линию ее пересечения с поверхностью вращения - главным меридианом *.

Задание поверхности вращения на эпюре Монжа проекциями геометрических фигур, входящих в состав его определителя, хотя и однозначно определяет поверхность, но обладает одним недостатком, заключающимся в том, что при таком задании трудно представить форму поверхности. Поэтому при задании поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси, главного меридиана и экватора (иногда указывают окружность, по которой поверхность вращения пересекается с плоскостью проекции).

При этом указывают только горизонтальную проекцию экватора (или параллели) и фронтальную проекцию главного меридиана**.

Б. Частные виды поверхностей вращения.

В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках. Особенно распространены поверхности, имеющие в меридиональном сечении кривую второго порядка или две прямые, на которые распадается эта кривая.

Рассмотрим некоторые частные виды поверхностей вращения. Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности (или ее дуги) и оси вращения можно получить различные поверхности.

Тором называется поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси i, не проходящей через ее центр О ***.

В зависимости от соотношения величин R - радиуса образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения поверхности тора подразделяют на:

открытый тор (или кольцо) при R

закрытый тор при R ≥ t - окружность пересекает ось вращения или касается ее (табл. 7, рис. 158,6).

Сфера образуется в том случае, когда центр окружности принадлежит оси вращения О ∈ i, т. е. сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t = 0 (табл. 7, рис. 158,в).

3. Глобоид.

Образующей этой поверхности является дуга окружности, плоскость которой может, в общем случае, не совпадать с осью вращения (табл. 7, рис. 158,г). Чертежи на рис. 162 дают представление об ор-

* На рис. 157 показаны не меридиональные плоскости α и α 1 , а полуплоскости, расположенные по одну сторону от оси вращения i. Соответственно на рисунке показаны только половина меридиана и главного меридиана.

** Здесь речь идет о поверхности, ось вращения которой i ⊥ π 1 . Если ось вращения (i ⊥ π 2 , то следует указывать фронтальную проекцию экватора и горизонтальную проекцию главного меридиана.

Поверхность тора может быть получена и в том случае, когда плоскость окружности пересекает ось поверхности. Следует иметь в виду, что в отличие от остальных поверхностей вращения, ббразующая которых - кривая второго порядка (или прямая), поверхность тора является поверхностью не второго, а четвертого порядка.

Таблица 7. Поверхности вращения; частные виды. Подкласс 2. Ф (g, i); .

тогональных проекциях тора (рис. 162,а и б), сферы (рис. 162,в), глобоида (рис. 162,г). Так как поверхности вращения, изображенные на рис. 162, симметричны относительно оси i, то при i ⊥ π 1 их горизонтальные проекции симметричны относительно горизонтальной оси; поэтому можно вычерчивать не всю горизонтальную проекцию, а лишь ее половину, как это сделано на рис. 162 (конечно, если условия задачи не требуют изображать ее полностью).

4. Эллипсоид вращения.

Этот вид поверхности образуется при вращении эллипса вокруг его оси, при этом, если за ось вращения принять малую ось , то получим сжатый эллипсоид вращения (рис. 159,с); когда вращение осуществляется вокруг большой оси [АВ] , образуется поверхность вытянутого эллипсоида вращения (рис. 159,6).

Рассмотренные поверхности вращения: тор, сфера, эллипсоид относятся к замкнутым поверхностям. Кроме замкнутых поверхностей вращения существуют незамкнутые поверхности, которые образуются, в частности, при вращении параболы, гиперболы и прямой (линий, имеющих несобственные точки).

5. Параболоид вращения.

Для того чтобы получить параболоид вращения, в определителе поверхности вращения за образующую g следует принять параболу, а за ось вращения i - ее ось (рис. 160). Для задания параболоида вращения на эпюре Монжа достаточно указать проекции образующей g и оси i.

6. Гиперболоид вращения.

При вращении гиперболы можно получить две различные поверхности:

а) однополостный гиперболоид вращения *, образуется при вращении гиперболы g вокруг ее мнимой оси i 1 (рис. 161,а);

б) двуполостный гиперболоид вращения, образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси i (рис. 161,6).

7. Коническая и цилиндрическая поверхности вращения.

Эти поверхности можно получить путем вращения прямой g вокруг оси i. Коническая и цилиндрическая поверхности были подробно рассмотрены в § 35 (см. рис. 147, 151 и 148, 152).

\[{\Large{\text{Цилиндр}}}\]

Рассмотрим окружность \(C\) с центром \(O\) радиуса \(R\) на плоскости \(\alpha\) . Через каждую точку окружности \(C\) проведем прямую перпендикулярно плоскости \(\alpha\) . Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью .
Сами прямые называются образующими данной поверхности.

Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость \(\beta\parallel \alpha\) . Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость \(\beta\) , образует окружность \(C"\) , равную окружности \(C\) .
Часть пространства, ограниченная двумя кругами \(K\) и \(K"\) с границами \(C\) и \(C"\) соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) , называется цилиндром .

Круги \(K\) и \(K"\) называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, - боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра (\(l=h\) ).

Теорема

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \

где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(h\) – высота (образующая).

Теорема

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований \

Теорема

Объем цилиндра вычисляется по формуле \

\[{\Large{\text{Конус}}}\]

Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и на ней окружность \(C\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) . Через точку \(O\) проведем прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\) . Отметим на этой прямой некоторую точку \(P\) . Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку \(P\) и каждую точку окружности \(C\) , называется конической поверхностью , а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей \(C\) и отрезками образующих, заключенными между точкой \(P\) и точкой на окружности, называется конусом . Отрезки \(PA\) , где \(A\in \text{окр. } C\) , называются образующими конуса ; точка \(P\) – вершина конуса; круг с границей \(C\) – основание конуса; отрезок \(PO\) – высота конуса.

Замечание

Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.

Теорема

Площадь боковой поверхности конуса равна \

где \(R\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая.

Теорема

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания \

Теорема

Объем конуса вычисляется по формуле \

Замечание

Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.

Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.

\[{\Large{\text{Сфера и шар}}}\]

Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки \(O\) на расстояние \(R\) . Это множество называется сферой с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) .
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.

Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром .

Теорема

Площадь сферы вычисляется по формуле \

Теорема

Объем шара вычисляется по формуле \

Определение

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу \(K\) с центром в точке \(Q\) . Соединим точки \(O\) (центр шара) и \(Q\) и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус \(OP\) . Тогда отрезок \(QP\) называется высотой сегмента.

Теорема

Пусть \(R\) – радиус шара, \(h\) – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен \

Определение

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.

Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами \(AP\) и \(BT\) .

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором . Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если i ⊥ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами . Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом ; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а).

Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. , ). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис.). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. ), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. ) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.