Наиболее простым способом обобщения статистического материала является построение рядов. Результатом сводки статистического исследования могут быть ряды распределения. Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо одному признаку: по качественному или количественному. Если ряд построен по качественному признаку, то он называется атрибутивным, а если по количественному признаку, то вариационный.

Вариационный ряд характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта – это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью. Вариационный ряд может быть интервальным, когда определены границы «от» и «до», а может быть дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом.

Построение вариационных рядов рассмотрим на примерах.

Пример . и меются данные о тарифных разрядах 60 рабочих одного их цехов завода.

Распределить рабочих по тарифному разряду, построить вариационный ряд.

Для этого выпишем все значения признака в порядке возрастания и посчитаем число рабочих в каждой группе.

Таблица 1.4

Распределение рабочих по разряду

Разряд рабочих (X)	Число рабочих
	человек (f)	в % к итогу (частность)

Мы получили вариационный дискретный ряд, в котором изучаемый признак (разряд рабочего) представлен определенным числом. Для наглядности вариационные ряды изображают графически. На основании данного ряда распределения построили поверхность распределения.

Рис. 1.1. Полигон распределения рабочих по тарифному разряду

Построение интервального ряда с равными интервалами рассмотрим на следующем примере.

Пример . Известны данные о стоимости основного капитала 50 фирм в млн руб. Требуется показать распределение фирм по стоимости основного капитала.

Чтобы показать распределение фирм по стоимости основного капитала, сначала решим вопрос о количестве групп, которые хотим выделить. Предположим, решили выделить 5 групп предприятий. Затем определим величину интервала в группе. Для этого воспользуемся формулой

Согласно нашему примеру .

Путем прибавления величины интервала к минимальному значению признака, получим группы фирм по стоимости основного капитала.

Единица, обладающая двойным значением, относится к той группе, где она выступает в роли верхней границы (т.е. значение признака 17 пойдет в первую группу, 24 – во вторую и т.д.).

Подсчитаем число заводов в каждой группе.

Таблица 1.5

Распределение фирм по стоимости основного капитала (млн руб.)

Стоимость основного капитала в млн руб. (Х)	Число фирм (частота) (f)	Накопленные частоты (кумулятивные)

Согласно данному распределению получили вариационный интервальный ряд, из которого следует, что 36 фирм имеют основной капитал стоимостью от 10 до 24 млн руб. и т.д.

Интервальные ряды распределения можно представить графически в виде гистограммы.

Результаты обработки данных оформляются в статистические таблицы . Статистические таблицы содержат свое подлежащее и сказуемое.

Подлежащее – это та совокупность или часть совокупности, которая подвергается характеристике.

Сказуемое – это показатели, характеризующие подлежащее.

Таблицы различают: простые и групповые, комбинационные, с простой и сложной разработкой сказуемого.

Простая таблица в подлежащем содержит перечень отдельных единиц.

Если же в подлежащем имеется группировка единиц, то такая таблица называется групповой. Например, группа предприятий по числу рабочих, группы населения по полу.

В подлежащем комбинационной таблицы содержится группировка по двум или нескольким признакам. Например, население по полу разделяется на группы по образованию, возрасту и т.д.

Комбинационные таблицы содержат информацию, позволяющую выявить и охарактеризовать взаимосвязь ряда показателей и закономерность их изменения как в пространстве, так и во времени. Чтобы таблица была наглядной при разработке ее подлежащего, ограничиваются двумя-тремя признаками, образуя по каждому из них ограниченное число групп.

Сказуемое в таблицах может быть разработано по-разному. При простой разработке сказуемого все его показатели располагаются независимо друг от друга.

При сложной разработке сказуемого показатели сочетаются друг с другом.

При построении любой таблицы нужно исходить из целей исследования и содержания обработанного материала.

Кроме таблиц в статистике используются графики и диаграммы. Диаграмма – статистические данные изображаются с помощью геометрических фигур. Диаграммы подразделяются на линейные и столбиковые, но могут быть фигурные диаграммы (рисунки и символы), круговые диаграммы (окружность принимается за величину всей совокупности, а площади отдельных секторов отображают удельный вес или долю ее составных частей), радиальные диаграммы (строятся на базе полярных ординат). Картограмма представляет собой сочетание контурной карты или плана местности с диаграммой.

Пример решения контрольной работы по математической статистике

Задача 1

Исходные данные : студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Информатика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

I. Составим вариационный ряд

	m x	w x	m x нак	w x нак
Итого:

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Выборочная дисперсия

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 2

Исходные данные : студенты некоторой группы написали выпускную контрольную работу. Группа состоит из 30 человек. Набранные студентами баллы образуют следующий ряд чисел

Решение

I. Так как признак принимает много различных значений, то для него построим интервальный вариационный ряд. Для этого сначала зададим величину интервала h . Воспользуемся формулой Стэрджера

Составим шкалу интервалов. При этом за верхнюю границу первого интервала примем величину, определяемую по формуле:

Верхние границы последующих интервалов определим по следующей рекуррентной формуле:

, тогда

Построение шкалы интервалов заканчиваем, так как верхняя граница очередного интервала стала больше или равна максимальному значению выборки
.

II. Графическое отображение интервального вариационного ряда

III. Числовые характеристики выборки

Для определения числовых характеристик выборки составим вспомогательную таблицу

Сумма :

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Выборочная дисперсия

6. Выборочное стандартное отклонение

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

10. Эксцесс

11. Коэффициент эксцесса

Задача 3

Условие : цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х , которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения

где
- длина интервала, в котором заключены возможные значения Х ; вне этого интервала
В данной задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х , равна 0,1, поэтому

Ошибка отсчета превысит 0,02 если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). Тогда

Ответ: р =0,6

Задача 4

Исходные данные: математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенного признака Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, чтов результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.

Воспользуемся формулой

И теоретическими частотами

Решение

Для Х ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Решение . Найдем функцию распределения F(x) случайной величины... ошибка выборки). Составим вариационный ряд Ширина интервала составит : Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество...

Решение: уравнение с разделяющимися переменными

Решение

В виде Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему Решим полученную систему... ; +47; +61; +10; -8. Построить интервальный вариационный ряд . Дать статистические оценки среднего значения...

Решение: Проведем расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста. Полученные значения сведем в таблицу 1

Решение

Объем производства продукции. Решение : Средняя арифметическая интервального вариационного ряда вычисляется следующим образом: за... Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 (t=2) составит : Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Определим границы...

Решение. Признак

Решение

О трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж... рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность... 1,16, уровень значимости α = 0,05. Решение . Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71 ...

Рабочая учебная программа по биологии для 10-11 классов Составитель: Поликарпова С. В

Рабочая учебная программа

Простейших схем скрещивания» 5 Л.р. «Решение элементарных генетических задач» 6 Л.р. «Решение элементарных генетических задач» 7 Л.р. « ... , 110, 115, 112, 110. Составьте вариационный ряд , начертите вариационную кривую, найдите среднюю величину признака...

Описание изменений варьирующего признака осуществляется с помощью рядов распределения.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц статистической совокупности на отдельные группы по определенному варьирующему признаку.

Статистические ряды, построенные по качественному признаку называют атрибутивными . Если в основе ряда распределения лежит количественный признак, то ряд является вариационным .

В свою очередь вариационные ряды делят на дискретные и интервальные. В основе дискретного ряда распределения лежит дискретный (прерывный) признак, принимающий конкретные числовые значения (число правонарушений, число обращений граждан за юридической помощью). Интервальный ряд распределения строится на основе непрерывного признака, который может принимать любые значения из заданного диапазона (возраст осужденного, срок лишения свободы и т.д.)

Любой статистический ряд распределения содержит два обязательных элемента – варианты ряда и частоты. Варианты (x i ) – отдельные значения признака, которые он принимает в ряду распределения. Частоты (f i ) – это числовые значения, показывающие сколько раз встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности.

Частоты, выраженные в относительных единицах (долях или процентах) называются частостями (w i ). Сумма частостей равна единице, если Частости выражены в долях единицы, или 100, если они выражаются в процентах. Использование частостей позволяет производить сравнение вариационных рядов с разным объемом совокупности. Частости определяются по следующей формуле:

Для построения дискретного ряда ранжируются все встречающиеся в ряду индивидуальные значения признака, а затем подсчитываются частоты повторений каждого значения. Оформляется ряд распределения в идее таблицы, состоящей из двух строк и столбцов, в одной из которых приводятся значения вариантов ряда x i , во второй – значения частот f i .

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 3.1 . По данным УМВД зарегистрировано преступлений, совершенных в городе N несовершеннолетними в возрасте.

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

Построить дискретный ряд распределения.

Решение .

Сначала необходимо проранжировать данные о возрасте несовершеннолетних, т.е. записать их в порядке возрастания.

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

Таблица 3.1

Таким образом, частоты отображают количество человек данного возраста, например, 5 человек имеют возраст 13 лет, 8 человек – 14 лет, и т.д.

Построение интервальных рядов распределения осуществляют аналогично выполнению равноинтервальной группировки по количественному признаку, то есть вначале определяют оптимальное число групп, на которые будет разбита совокупность, устанавливаются границы интервалов по группам и подсчитываются частоты.

Проиллюстрируем построение интервального ряда распределения на следующем примере.

Пример 3.2 .

Построить интервальный ряд по следующей статистической совокупности – заработной плате юриста в конторе, тыс. руб.:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

Решение.

Примем оптимальное количество групп равноинтервальной группировки для данной статистической совокупности, равное 4 (у нас 16 вариантов). Следовательно, численность каждой группы равна:

а величина каждого интервала будет равна:

Границы интервалов определяем по формулам:

,

где - соответственно нижняя и верхняя границы i-го интервала.

Опуская промежуточные вычисления границ интервалов, заносим их значения (варианты) и количество юристов (частоты), имеющих з/п в пределах каждого интервала, в таблицу 3.2, которая и иллюстрирует полученный интервальный ряд.

Таблица 3.2

Анализ статистических рядов распределения может производиться с использованием графического метода. Графическое представление рядов распределения позволяет наглядно проиллюстрировать закономерности распределения исследуемой совокупности путем ее изображения в виде полигона, гистограммы и кумуляты. Остановимся на каждом из перечисленных графиков.

Полигон – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x i ;f i ). Обычно полигон используют для изображения дискретных рядов распределения. Для его построения на оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака x i , на оси ординат – соответствующие этим значениям частоты. В результате, соединив отрезками точки, соответствующие данным, отмеченным по осям абсцисс и ординат, получают ломаную, называемую полигоном. Приведем пример построения полигона частот.

Для иллюстрации построения полигона возьмем результат решения примера 3.1 на построение дискретного ряда – рисунок 1. По оси абсцисс отложен возраст осужденных, по оси ординат – количество несовершеннолетних осужденных, имеющих данный возраст. Анализируя данный полигон, можно сказать, что наибольшее количество осужденных – 14 человек, имеют возраст 15 лет.

Рисунок 3.1 – Полигон частот дискретного ряда.

Полигон можно построить и для интервального ряда, в этом случае по оси абсцисс откладывают середины интервалов, а по оси ординат – соответствующие им частоты.

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы значения признака, а высоты равны соответствующим частотам. Гистограмма применяется только для изображения интервальных рядов распределения. Если интервалы являются неравными, то для построения гистограммы на оси ординат откладывают не частоты, а отношение частоты к ширине соответствующего интервала. Гистограмму можно преобразовать в полигон распределения, если середины ее столбиков соединить между собой отрезками.

Для иллюстрации построения гистограммы возьмем результаты построения интервального ряда из примера 3.2– рисунок 3.2.

Рисунок 3.2 – Гистограмма распределения заработной платы юристов.

Для графического изображения вариационных рядов также используют кумуляту. Кумулята – кривая, изображающая ряд накопленных частот и соединяющая точки с координатами (x i ;f i нак ). Накопленные частоты вычисляются последовательным суммированием всех частот ряда распределения и показывают число единиц совокупности, имеющих значение признака не больше, чем указанное. Проиллюстрируем вычисление накопленных частот для вариационного интервального ряда, представленного в примере 3.2 – таблица 3.3.

Таблица 3.3

Для построения кумуляты дискретного ряда распределения по оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака, а по оси ординат – соответствующие им накопленные частоты. При построении кумулятивной кривой интервального ряда первая точка будет иметь абсциссу, равную нижней границе первого интервала, а ординату, равную 0. Все последующие точки должны соответствовать верхним граница интервалов. Построим кумуляту, используя данные таблицы 3.3 – рисунок 3.3.

Рисунок 3.3 – Кумулятивная кривая распределения заработной платы юристов.

Контрольные вопросы

1. Понятие статистического ряда распределения, его основные элементы.

2. Виды статистических рядов распределения. Их краткая характеристика.

3. Дискретные и интервальные ряды распределения.

4. Методика построения дискретных рядов распределения.

5. Методика построения интервальных рядов распределения.

6. Графическое изображение дискретных рядов распределения.

7. Графическое изображение интервальных рядов распределения.

Задачи

Задача 1 . Имеются следующие данные об успеваемости 25 студен­тов группы по ТГП в сессию: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 5, 4, 2, 3, 3. Постройте дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам оценок, получен­ных в сессию. Для полученного ряда рассчитайте Частости, накопленные Частости, накопленные частоты. Сделайте выводы.

Задача 2 . В колонии содержатся 1000 осужденных, их распределение по возрасту представлено в таблице:

Изобразите данный ряд графически. Сделайте выводы.

Задача 3 . Имеются следующие данные о сроках лишения свободы заключенных:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

Постройте интервальный ряд распределения заключенных по срокам лишения свободы. Сделайте выводы.

Задача 4 . Имеются следующие данные о распределении осужденных в области за изучаемый период по возрастным группам:

Изобразите данный ряд графически, сделайте выводы.

Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности

Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?

Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).

. Таблица 17

. Общий вид статистических рядов распределения

. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения

Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)

Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания

В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта

В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)

Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).

. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц

Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).

. Таблица 18

. Дискретный ряд распределения _

. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).

В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблица 19

. Интервальный ряд распределения _

Признаки, изучаемые статистикой, варьируются (отличаются друг от друга) у различных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени. Например, величина внешнеторгового оборота варьируется по подразделениям ФТС; величина экспорта (импорта) варьируется по направлениям экспорта (по разным странам-партнерам по внешней торговле), по видам товаров и т.п.

Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности. Например, огромное число причин влияет на масштабы внешней торговли различных стран мира.

Для управления и изучения вариации статистикой разработаны специальные методы исследования вариации, система показателей, с помощью которой вариация измеряется, характеризуются ее свойства.

Первым этапом статистического изучения вариации является построение ряда распределения (или вариационного ряда ) – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существует 3 вида ряда распределения:

1) ранжированный ряд – это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака (например, таблица 11); если численность единиц совокупности достаточно велика ранжированный ряд становится громоздким, и в таких случаях ряд распределения строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака (ели признак принимает небольшое число значений, то строится дискретный ряд, а в противном случае – интервальный ряд);

2) дискретный ряд – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – конкретных значений варьирующего признака Xi и числа единиц совокупности с данным значением признака fi – частот; число групп в дискретном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака;

3) интервальный ряд – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – интервалов варьирующего признака Xi и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот), или долей этого числа в общей численности совокупностей (частостей).

Построим ряд распределения внешнеторгового оборота (ВО) по таможенным постам России, для чего необходимо провести статистическое наблюдение, то есть собрать первичный статистический материал, который представляет собой величину ВО по таможенным постам.

Результаты наблюдения ВО по 35 таможенным постам региона за отчетный период представим в виде ранжированного по возрастанию величины ВО ряда распределения (таблица 11).

Таблица 11. Внешнеторговый оборот (ВО) по 35 таможенным постам, млн.долл.

№ поста		№ поста		№ поста

Определим средний размер ВО по формуле (10), приняв за X величину ВО, а за N – численность постов:

= = 2100/35 = 60 (млн.долл.)

Дисперсию (о ней будет рассказано чуть позднее – на 4-м этапе анализа вариации в этой теме) определим по формуле (28):

= = 445,778 (млн.долл.2)

Построим интервальный ряд распределения ВО по таможенным постам, для чего необходимо выбрать оптимальное число групп (интервалов признака) и установить длину (размах) интервала. Поскольку при анализе ряда распределения сравнивают частоты в разных интервалах, необходимо, чтобы длина интервалов была постоянной . Оптимальное число групп выбирается так, чтобы достаточной мере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и в то же время закономерность распределении, его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Если групп будет слишком мало, не проявится закономерность вариации; если групп будет чрезмерно много, случайные скачки частот исказят форму распределения.

Чаще всего число групп в ряду распределения определяют по формуле Стерждесса (19) или (20):

(19) или ,(20)

где k – число групп (округляемое до ближайшего целого числа); N – численность совокупности.

Из формулы Стерджесса видно, что число групп – функция объема данных (N ).

Зная число групп, рассчитывают длину (размах) интервала по формуле (21):

,(21)

где X мax и X min - максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашем примере про ВО по формуле Стерждесса (19) определим число групп:

k = 1 + 3,322lg 35 = 1+ 3,322*1,544 = 6,129 ≈ 6.

Рассчитаем длину (размах) интервала по формуле (21):

h = (111,16 – 24,16)/6 = 87/6 = 14,5 (млн.долл.).

Теперь построим интервальный ряд с 6 группами с интервалом 14,5 млн.долл. (см. первые 3 столбца табл. 12).

Таблица 12. Интервальный ряд распределения ВО по таможенным постам, млн.долл.

	Группы постов по величине ВО	Число постов	Середина интервала	Х i’fi	Накопл. частота	| Хi ’ - | fi	(Х i ’ - )2 fi	(Х i ’ - )3 fi	(Х i ’ - )4 fi
	96,66 – 111,16

Существенную помощь в анализе ряда распределения и его свойств оказывает графическое изображение. Интервальный ряд изображается столбиковой диаграммой, в которой основания столбиков, расположенные по оси абсцисс, – это интервалы значений варьирующего признака, а высоты столбиков – частоты, соответствующие масштабу по оси ординат. Графическое изображение распределения таможенных постов в выборке по величине ВО приведено на рис. 4. Диаграмма такого типа называется гистограммой .

Рис. 4. Гистограмма распределения Рис. 5. Полигон распределения

Данные табл. 12 и рис. 4 показывают характерную для многих признаков форму распределения: чаще встречаются значения средних интервалов признака, реже – крайние (малые и большие) значения признака. Форма этого распределения близка к нормальному закону распределения, которое образуется, если на варьирующую переменную влияет большое число факторов, ни один из которых не имеет преобладающего значения.

Если имеется дискретный ряд распределения или используются середины интервалов (как в нашем примере про ВО – в таблице 12 в 4-м столбце рассчитаны середины интервалов как полусумма значений начала и конца интервала), то графическое изображение такого ряда называется полигоном (см. рис. 5) , которое получается соединением прямыми точек с координатами Xi и fi .