Приняв в качестве гипотетической функции теоретических уровней прямую , определим параметры последней:
Решение этой системы можно осуществить по формулам:
Отсюда искомое уравнение тренда: 
. Подставляя в полученное уравнении значения 1, 2, 3, 4, 5, определяем теоретические уровни ряда (см. предпоследнюю графу табл. 4.3). Сравнивая значения эмпирических и теоретических уровней, видим, что они близки, т.е. можно сказать, что найденное уравнение весьма удачно характеризует основную тенденцию изменения уровней именно как линейную функцию.
Система нормальных уравнений упрощается, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней
серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3 и т.д., а следующие за средним – соответственно +1, +2, +3 и т.д. При четном числе уровней два срединных момента (периода) времени обозначают −1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: 
и т.д.
При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) , система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:
Важное значение при построении модели временного ряда имеет учет сезонных и циклических колебаний. Простейшим подходом, позволяющим учесть в модели сезонные и циклические колебания, является расчет значений сезонной/циклической компоненты и построение аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E . Эта модель предполагает, что каждый уровень временного уровня ряда может быть представлен как сумма трендовой T , сезонной S и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит как: Y=T∙S∙E .
Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету T, S, E для каждого уровня ряда. Этапы построения модели включают в себя следующие шаги:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней
2. Расчет значений сезонной компоненты S .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T+E) или мультипликативной (T∙E) модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T∙E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (T+E) или (T∙E) .
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Рассмотрим другие методы анализа взаимосвязи, предположив что изучаемые временные ряды не содержат периодических колебаний. Допустим, что изучается зависимость между рядами х и у . Для количественной характеристики этой зависимости используется линейный коэффициент корреляции. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким. Однако это не говорит о том, что х причина у . Высокий коэффициент корреляции в данном случае – это результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. При этом одинаковую или противоположную тенденцию могут иметь ряды, совершенно не связанные друг с другом причинно-следственной зависимостью. Например, коэффициент корреляции между численностью выпускников вузов и числом домов отдыха в РФ в период с 1970-1990 г. составил 0,8. Однако, это не говорит о том, что количество домов отдыха способствует росту числа выпускников или наоборот.
Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряду, которую устраняют одним из методов.
Предположим, что по двум временным рядам х t
и у t
строится уравнение парной регрессии линейной регрессии вида: 
. наличие тенденции в каждом из этих временных рядов означает, что на зависимую у t
и независимую х t
переменные модели оказывает воздействие фактор времени, который непосредственно в модели не учтен. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название автокорреляции в остатках.
Автокорреляция в остатках – это нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении обобщенного МНК.
Для устранения тенденции используются две группы методов:
Методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции (метод последовательных разностей и метод отклонения от трендов);
Методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимую переменные модели (включение в модель регрессии по временным рядам фактора времени).
Пусть имеются два временных ряда и , каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную составляющую . Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни и соответственное. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда и . Именно в этом и заключается метод отклонений от тренда.
В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод – метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).
Пусть , .
Коэффициент b – константа, которая не зависит от времени. При наличии сильной линейной тенденции отставки достаточно малы и в соответствии с предпосылками МНК носят случайный характер. Поэтому первые разности уровней ряда не зависят от переменной времени, их можно использовать для дальнейшего анализа.
Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности: .
Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальной, или степенной, тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.
Модель вида: 
также относится к группе моделей, включающих фактор времени. Преимущество данной модели перед методами отклонений от трендов и последовательных разностей состоит в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения и – это уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры этой модели определяются обычным МНК.
Пример. Построим уравнение тренда по исходным данным таблицы 4.4.
Таблица 4.4
Расходы на конечное потребление и совокупный доход (усл. ед.)
Система нормальных уравнений имеет вид:
По исходным данным рассчитаем необходимые величины и подставим в систему:
Уравнение регрессии имеет вид: .
Интерпретация параметров уравнения следующая: характеризует, что при увеличении совокупного дохода на 1 д.е. расходы на конечное потребление возрастут в среднем на 0,49 д.е в условиях существования неизменной тенденции. Параметр означает, что воздействие всех факторов, кроме совокупного дохода, на расходы на конечное потребление приведет к его среднегодовому абсолютному приросту на 0,63 д.е.
Рассмотрим уравнение регрессии вида: 
. Для каждого момента времени значение компоненты определяются как или . Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными (рис. 4.4).
Рис. 4.4 Случайные остатки
Однако при моделировании временных рядов нередко встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания (рис. 4.5). Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции в остатках.
а) б)
Рис. 4.5 Убывающая тенденция (а ) и циклические колебания (б )
в остатках
Автокорреляция случайной составляющей - корреляционная зависимость текущих и предыдущих значений случайной составляющей. Последствия автокорреляции случайной составляющей:
Коэффициенты регрессии становятся неэффективными;
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии становятся заниженными, а значения t –критерия завышенными.
Для определения автокорреляции остатков известны два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – это использование критерия Дарбина-Уотсона, который сводится к проверке гипотезы:
Н0 (основная гипотеза): автокорреляция отсутствует;
Н1 и Н2 (альтернативные гипотезы): присутствует положительная или отрицательная автокорреляция в остатках соответственно.
Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона:
где .
На больших выборках d≈2(1- ), где - коэффициент автокорреляции 1-го порядка.
.
Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и =1, то d=0; если в остатках есть полная отрицательная автокорреляция, то = -1 и d=4; если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0, то d=2. Следовательно, 0 .
Существуют специальные статистические таблицы для определения нижней и верхней критических границ d -статистики – d L и d U . Они определяются в зависимости от n, числа независимых переменных k и уровня значимости .
Если d набл ‹d L , то принимается гипотеза Н1: положительная автокорреляция.
Если d и ‹d набл ‹2,
Если 2‹d набл ‹4-d и, то принимается гипотеза Н0: автокорреляции нет.
Если d набл ›4-d L , то принимается гипотеза Н2: отрицательная автокорреляция.
Если 4-d и ‹d набл ‹4-d L , и d L ‹d набл ‹d и, то имеет место случай неопределенности.
 |
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
Рис. 4.6 Алгоритм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков
Для применения критерия Дарбина-Уотсона есть ограничения. Он неприменим для моделей, включающих в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т.е. к моделям авторегрессии. Методика направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. Результаты являются более достоверными при работе с большими выборками.
В тех случаях, когда имеет место автокорреляция остатков, для определения оценок параметров a, b используют обобщенный методМНК, который заключается в последовательности следующих шагов:
1. Преобразовать исходные переменные y t и x t к виду
2. Применив обычный МНК к уравнению 
, где 
определить оценки параметров и b.
4. Выписать исходное уравнение .
Среди эконометрических моделей, построенных по временным данным, выделяют динамические модели.
Эконометрическая модель является динамической , если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т.е. эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.
Существует два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели авторегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значение переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый и желаемый уровень результата, или один из факторов в момент времени t.
Модель с распределенным лагом имеет вид:
Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка параметров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей распределенным лагом не может быть проведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии имеется определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществить переход от одноного типа моделей к другому.
Рассмотрим модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна:
Даная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x , то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии b 0 при переменной x t характеризует среднее абсолютное изменение y t при изменении x t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t , без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.
В момент t+1 воздействие факторной переменной x t на результат y t составит (b 0 +b 1) условных единиц; в момент времени t+2 это воздействие можно охарактеризовать суммой (b 0 +b 1 +b 2) и т.д. Полученные таким образом суммы называются промежуточными мультипликаторами .
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной x t в момент времени t на 1 условную единицу приведет к общему изменению результата через l моментов времени (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l ).
Введем следующее обозначение: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l ). Величину b называется долгосрочным мультипликатором , который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x .
Величины 
называются относительными коэффициентами
модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты b j
имеют одинаковые знаки,то .
Относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов b j
. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t+j
.
Зная величины , с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего и медианного лагов.
Средний лаг рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора x в момент t. Если значение среднего лага небольшое, то это говорит о довольно быстром реагировании y на изменение x. Высокое значение среднего лага говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.
Медианный лаг (L Me) – это величина лага, для которого период, в течение которого . Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Изложенные выше приемы анализа параметров модели с распределенным лагом действительны только в предположении, что все коэффициенты при текущем и лаговых значениях исследуемого фактора имеют одинаковые знаки. Это предположение вполне оправдано с экономической точки зрения: воздействие одного и того же фактора на результат должно быть однонаправленным независимо от того, с каким временным лагом измеряется сила или теснота связи между этими признаками. Однако на практике получить статистически значимую модель, параметры которой имели бы одинаковые знаки, особенно при большой величине лага l , чрезвычайно сложно.
Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам:
Текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом, тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности;
При большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков, что ведет к потере числа степеней свободы в модели;
В моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков.
Как и в модели с распределенным лагом, b 0 в этой модели характеризует краткосрочное изменение y t под воздействием изменения x t на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в модели авторегрессии несколько иные. К моменту времени t+1 результат y t изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на b 0 единиц, а y t +1 – под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующим момент времени на с 1 единиц. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент t+1 составит b 0 с 1 . Аналогично в момент времени t+2 абсолютное изменение результатасоставит b 0 с 1 2 единиц и т.д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточного мультипликаторов:
Такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.
Пример. Предположим, по данным о динамике показателей потребления и дохода в регионе была получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год (С, млн. руб.) от среднедушевого совокупного годового дохода (Y, млн. руб.) и объема потребления предшествующего года:
.
Краткосрочный мультипликатор равен 0,85. В этой модели он представляет собой предельную склонность к потреблению в краткосрочном периоде. Следовательно, увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приводит к росту объема потребления в тот же год в среднем на 850 тыс. руб. Долгосрочную предельную склонность к потреблению в данной модели можно определить как
.
В долгосрочной перспективе рост среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. руб. приведет к росту объема потребления в среднем на 944 тыс. руб. Промежуточные показатели предельной склонности к потреблению можно определить, рассчитав необходимые частные суммы за соответствующие периоды времени. Например, для момента времени t+1
Инструкция
Линейный тренд выражает собой функцию: y=ax+b, гдеa – значение, на которое будет увеличено следующее значение во временном ряду;x – номер периода в определенном временном ряду (к примеру, номер месяца, дня или квартала);y – последовательность анализируемых значений (это могут быть продажи за месяц);b – точка пересечения, которая на графике будет с осью y (минимальный уровень).При этом, если значение a является больше нуля, то роста будет положительной. В свою очередь, если а меньше нуля, то динамика линейного тренда будет отрицательной.
Используйте линейный тренд для прогнозирования отдельных временных рядов, у которых данные увеличиваются или снижаются с постоянной скоростью. При построении линейного тренда можете использовать программу Excel. Например, если вам необходим линейный тренд для построения прогноза продаж по месяцам, тогда сделайте 2 переменных во временном ряду (время - месяцы и объем продаж).
Уравнение линейного тренда у вас будет же: y=ax+b, где y - объемы продаж, x - это месяцы.Постройте график в Excel. По оси x у вас получится ваш временной промежуток (1, 2, 3 - по месяцам: январь, февраль и т.д.), по оси y изменения объема продаж. После этого добавьте на графике линию тренда .
Продлите линию тренда для прогнозирования и определите ее значения. При этом вам должны быть известны только значения времени по оси X, а прогнозные значения вам необходимо рассчитать с помощью ранее указанной формулы.
Сопоставьте полученные прогнозные значения линейного тренда с фактическими данными. Таким образом вы сможете определить рост объема продаж в процентном соотношении.
Можете скорректировать прогнозируемые значения линейного тренда в том случае, если вас не устраивает рост, т.е. вы понимаете, что есть компоненты, которые на него могут повлиять. Если вы измените значение «a» в линейном тренде y=ax+b, тогда вы сможете увеличить наклон тренда . Так вы можете изменять наклон тренда , уровень тренда , или одновременно эти два показателя.
Источники:
- уравнение линейного тренда
Числовая последовательность представлена функцией вида an=f(n), которая задана на множестве натуральных чисел. В большинстве случаев в числовых последовательностях f(n) заменяется на an. Числа a1, a2, …, an – члены последовательности, причем a1 – первый, a2 – второй, аk – k-ый. На основании данных функции числовой последовательности строится график.
Вам понадобится
- - справочник по математике;
- - линейка;
- - тетрадь;
- - простой карандаш;
- - исходные данные.
Инструкция
Прежде чем приступать к построению , определите, функцией является числовая последовательность. Различают невозрастающую или неубывающую последовательность (an), для которой при любом значении n справедливым является неравенство вида: an≥an+1 или an≤an+1. При условии, что an>an+1 или an
При построении числовой последовательности обратите внимание на то, что последовательность (an) может быть ограничена снизу или сверху: для этого должно существовать
Прямая линия - трендовые значения рентабельности (линейный тренд, построенный по данным фактических значений рентабельности).
Пример 14.6. Построим линейный тренд процентных ставок по кредитам на основе статистических данных, опубликованных в Бюллетене банковской статистики № 4 (47) за 1997 г.
Вторым этапом является поиск значений параметров уравнения. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений . В случае применения линейного тренда используют следующую систему уравнений, которую решают способом наименьших квадратов
Пример 14.7. Предполагая наличие циклических колебаний , проведем гармонический анализ динамики отклонений от линейного тренда данных о ставках по кредитам (у, - у,).
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных фак-
При b = 1 имеем линейный тренд, b = 2 - параболический и т.п. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Жестким условием является обязательное прохождение через начало координат при t = 0, у = 0. Можно усложнить форму тренда у = а + th или у = а + th, но эти уравнения нельзя логарифмировать, трудно вычислять параметры, и они крайне редко применяются.
Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид
В формуле (9.33) суммирование от = -(л-1) 2до/ = (л- 1) 2 в целом формула (9.33) аналогична формуле для линейного тренда (9.29).
Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га 2>Л= 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид у = 172,2 + 4,418/, где (= 0 в 1987 г. Это означает, что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 га, а среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год.
Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму , проводим расчет среднегодового абсолютного прироста , т. е. параметра Ъ уравнения линейного тренда сколь-
Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда s(t) = 14,38 ц с 1 га, v(t) = 8,35%.
Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда, скажем, с вероятностью 0,9 того, что ошибка будет не более указанной, следует среднюю ошибку умножить на величину /-критерия Стьюдента при указанной вероятности (или значимости 1 - 0,9 = 0,1) и при числе степеней свободы , равном, для линейного тренда, N- 2, т. е. 15. Эта величина равна 1,753. Получаем предельную с данной вероятностью ошибку
Другим приемом измерения корреляции в рядах динамики может служить корреляция между теми из цепных показателей рядов, которые являются константами их трендов. При линейных трендах - это цепные абсолютные приросты . Вычислив их по исходным рядам динамики (axl, ayi), находим коэффициент корреляции между абсолютными изменениями по формуле (9.52) или, что более точно, по формуле (9.51), так как средние изменения не равны нулю в отличие от средних отклонений от трендов. Допустимость данного способа основана на том, что разность между соседними уровнями в основном состоит из колебаний, а доля тренда в них невелика, следовательно, искажение корреляции от тренда очень большое при кумулятивном эффекте на протяжении длительного периода , весьма мало - за каждый год в отдельности. Однако нужно помнить, что это справедливо лишь для рядов с с-показателем, существенно меньшим единицы. В нашем примере для ряда урожайности с-по-казатель равен 0,144, для себестоимости он равен 0,350. Коэффициент корреляции цепных абсолютных изменений составил 0,928, что очень близко к коэффициенту корреляции отклонений от трендов.
В одном из предыдущих примеров мы рассмотрели прогноз по объему производства за два месяца некой компании из Дублина. Были получены оценки на 1997 год, при этом использовался линейный тренд и метод сложения . Прогнозные значения даны в тоннах
Значения k для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда с вероятностью 0,8
Адаптивное моделирование линейного тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.
Алгоритм вычисления параметров линейного тренда
Вычислить в первом приближении параметры линейного тренда
Определить окончательные значения параметров линейного тренда
ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров линейного тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.
LN - линейный тренд, сезонность не учитывается
Если считать, что изменения цен, вопреки соображениям эффективности на продолжительных отрезках времени, определяются многочисленными и часто нелинейными обратными связями , то на основе теории хаоса можно построить улучшенные модели, описывающие влияние прошлого на настоящее (см. -). Драматические обвалы рынка при отсутствии существенных изменений информации, резкие изменения условий доступа и сроков при пересечении компанией какого-то невидимого порога в кредитной сфере - все это проявления нелинейности. Реальное поведение финансовых рынков , скорее, противоречит правилам обращения линейных трендов, чем подтверждает их.
Метод последовательных разностей заключается в следующем если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями
Значения Лу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.
Это привело к идее измерения корреляции не самих уровней х, иу а первых разностей Дх, = х, - , 6у, - у, - у,.., (при линейных трендах). В общем случае было признано необходимым коррелировать отклонения от трендов (за вычетом циклической компоненты) Еу -у, - %, Ех = х, - %, (у,% - тренды временных рядов).
На графике рис. 5.3 наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда.
Параметры линейного тренда можно интерпретировать так а - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0 b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом , равным 4,72 проц. пункта. Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения / = 1, 2,..., л, т.е.
Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т. е.
Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста - 1,046. Следовательно, можно сказать, что
Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени – это результат аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных. Это средство при соблюдении ряда условий можно применить и для прогнозирования. Процесс выравнивания состоит из следующих основных этапов:
Выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;
Определения численных значений (оценка) параметров кривой;
Апостериорного контроля качества выбранного тренда.
В современных ППП все перечисленные этапы реализуются одновременно, как правило, в рамках одной процедуры.
Аналитическое сглаживание с использованием той или иной функции позволяет получить выровненные, или, как их иногда не вполне правомерно называют, теоретические значения уровней динамического ряда, т. е. уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется в качестве модели для экстраполяции (прогноза).
Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям (особенно для прогнозирования), чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.
Поскольку форма тренда объективно существует, то при выявлении ее следует исходить из материальной природы изучаемого явления, исследуя внутренние причины его развития, а также внешние условия и факторы на него влияющие. Только после глубокого содержательного анализа можно переходить к использованию специальных приемов, разработанных статистикой.
Весьма распространенным приемом выявления формы тренда является графическое изображение временного ряда. Но при этом велико влияние субъективного фактора, даже при отображении выровненных уровней.
Наиболее надежные методы выбора уравнения тренда основаны на свойствах различных кривых, применяемых при аналитическом выравнивании. Такой подход позволяет увязать тип тренда с теми или иными качественными свойствами развития явления. Нам представляется, что в большинстве случаев практически приемлемым является метод, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения фактических данных.
При выборе формы кривой надо иметь в виду еще одно обстоятельство. Рост сложности кривой в целом ряде случаев может действительно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров и более высокие степени независимой переменной, их доверительные интервалы будут, в общем, существенно шире, чем у более простых кривых при одном и том же периоде упреждения.
В настоящее время, когда использование специальных программ без особых усилий позволяет одновременно строить несколько видов уравнений, широко эксплуатируются формальные статистические критерии для определения лучшего уравнения тренда.
Из сказанного выше, по-видимому, можно сделать вывод о том, что выбор формы кривой для выравнивания представляет собой задачу, которая не решается однозначно, а сводится к получению ряда альтернатив. Окончательный выбор не может лежать в области формального анализа, тем более, если предполагается с помощью выравнивания не только статистически описать закономерность поведения уровня в прошлом, но и экстраполировать найденную закономерность в будущее. Вместе с тем различные статистические приемы обработки данных наблюдения могут принести существенную пользу, по крайней мере, с их помощью можно отвергнуть заведомо непригодные варианты и тем самым существенно ограничить поле выбора.
Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:
1. Линейная форма тренда:
где – уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой; – начальный уровень тренда; – средний абсолютный прирост, константа тренда.
Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.
2. Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:
(3.6)
Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.
Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и < 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t .
3. Логарифмическая форма тренда:
, (3.7)
где – константа тренда.
Логарифмическим трендом может быть описана тенденция, проявляющаяся в замедлении роста уровней ряда динамики при отсутствии предельно возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии.
4. Мультипликативная (степенная) форма тренда:
(3.8)
5. Полином 3-ей степени:
Естественно, кривых, описывающих основные тенденции, гораздо больше. Однако формат учебного пособия не позволяет описать все их многообразие. Показанные далее приемы построения моделей позволят пользователю самостоятельно использовать другие функции, в частности обратные.
Для решения поставленной задачи по аналитическому сглаживанию динамических рядов в системе STATISTICA нам потребуется создать дополнительную переменную на листе с исходными данными переменной «ВГ2001-2010», который следует сделать активным.
Нам предстоит построить уравнение тренда, которое по существу является уравнением регрессии, в котором в качестве фактора выступает «время». Создаем переменную «Т», содержащую интервалы времени, 10 годам (с 2001 по 2010). Переменная «Т» будет состоять из натуральных чисел от 1 до 10, соответствующих указанным годам.
В итоге получается следующий рабочий лист (рис. 3.6)
Рис. 3.6. Рабочий лист с созданной переменной времени
Далее рассмотрим процедуру, позволяющую строить регрессионные модели как линейного, так и нелинейного типа. Для этого выбираем: Statistics/Advanced Linear/Nonlinear Models/Nonlinear Estimation (рис. 3.7). В появившемся окне (рис. 3.8) выбираем функцию User-specified Regression, Least Squares (построение моделей регрессии пользователем вручную, параметры уравнения находятся по методу наименьших квадратов (МНК)).
В следующем диалоговом окне (рис. 3.9) нажимаем на кнопку Function to be estimated , чтобы попасть на экран для задания модели вручную (рис. 3.10).
Рис. 3.7. Запуск процедуры Statistics/Advanced Linear/
Nonlinear Models/Nonlinear Estimation
Рис. 3.8. Окно процедуры Nonlinear Estimation
Рис. 3.9ю Окно процедуры User-Specified Regression, Least Squares
Рис. 3.10. Окно для реализации процедуры
задания уравнения тренда вручную
В верхней части экрана находится поле для ввода функции, в нижней части располагаются примеры ввода функций для различных ситуаций.
Прежде чем сформировать интересующие нас модели, необходимо пояснить некоторые условные обозначения. Переменные уравнений задаются в формате «v №», где «v » обозначает переменную (от англ. «variable »), а «№» – номер столбца, в котором она расположена в таблице на рабочем листе с исходными данными. Если переменных очень много, то справа находится кнопка Review vars , позволяющая выбирать их из списка по названиям и просматривать их параметры с помощью кнопки Zoom (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Окно выбора переменной с помощью кнопки Review vars
Параметры уравнений обозначаются любыми латинскими буквами, не обозначающими какое-либо математическое действие. Для упрощения работы предлагается обозначать параметры уравнения так, как в описании уравнений тренда – латинской буквой «а », последовательно присваивая им порядковые номера. Знаки математических действий (вычитания, сложения, умножения и пр.) задаются в обычном для Windows -приложений формате. Пробелы между элементами уравнения не требуются.
Итак, рассмотрим первую модель тренда – линейную, .
Следовательно, после набора она будет выглядеть следующим образом:
,
где v 1 – это столбец на листе с исходными данными, в котором находятся значения исходного динамического ряда; а 0 и а 1 – параметры уравнения; v 2 – столбец на листе с исходными данными, в котором находятся значения интервалов времени (переменная Т) (рис. 3.12).
После этого дважды нажимаем кнопку ОК .
Рис. 3.12. Окно процедуры задания уравнения линейного тренда
Рис. 3.13. Закладка Quick процедуры оценки уравнения тренда.
В появившемся окне (рис. 3.13) можно выбрать метод оценки параметров уравнения регрессии (Estimation method ), если это необходимо. В нашем случае нужно перейти к закладке Advanced и нажать на кнопку Start values (рис. 3.14). В этом диалоге задаются стартовые значения параметров уравнения для их нахождения по МНК, т.е. их минимальные значения. Изначально они заданы как 0,1 для всех параметров. В нашем случае можно оставить эти значения в том же виде, но если значения в наших исходных данных меньше единицы, то необходимо задать их в виде 0,001 для всех параметров уравнения тренда (рис. 3.15). Далее нажимаем кнопку ОК .
Рис. 3.14. Закладка Advanced процедуры оценки уравнения тренда
Рис. 3.15. Окно задания стартовыхзначений параметров уравнения тренда
Рис. 3.16. Закладка Quick окна результатов регрессионного анализа
На закладке Quick (рис.3.16) очень важным является значение строчки Proportion of variance accounted for , которое соответствует коэффициенту детерминации; это значение лучше записать отдельно, так как в дальнейшем оно выводиться не будет, и пользователю придется рассчитывать коэффициент вручную, при этом достаточно трех знаков после запятой. Далее нажимаем кнопку Summary: Parameter estimates для получения данных о параметрах линейного уравнения тренда (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Результаты расчета параметров линейной модели тренда
Столбец Estimate – числовые значения параметров уравнения; Standard еrror – стандартная ошибка параметра; t-value – расчетное значение t -критерия; df – число степеней свободы (n -2); p-level – расчетный уровень значимости; Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit – соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы).
Соответственно уравнение линейно модели тренда имеет вид .
После этого возвращаемся к анализу и нажимаем на кнопку Analysis of Variance (дисперсионный анализ) на той же закладке Quick (см. рис. 3.16).
Рис. 3.18. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда
В верхней заголовочной строке таблицы выдаются пять оценок:
Sum of Squares – сумма квадратов отклонений; df – число степеней свободы; Mean Squares – средний квадрат; F-value – критерий Фишера; p-value – расчетный уровень значимости F -критерия.
В левом столбце указывается источник вариации:
Regression – вариация, объясненная уравнением тренда; Residual – вариация остатков – отклонений фактических значений от выровненных (полученных по уравнению тренда); Total – общая вариация переменной.
На пересечении столбцов и строк получаем однозначно определенные показатели, расчетные формулы для которых представлены в табл. 3.2,
Таблица 3.2
Расчет показателей вариации трендовых моделей
| Source | df | Sum of Squares | Mean squares | F-value |
| Regression | m |  |  |  |
| Residual | n-m |  |  | |
| Total | n |  | ||
| Corrected Total | n-1 |  |  | |
| Regresion vs. Corrected Total | m | SSR | MSR |  |
где – выровненные значения уровней динамического ряда; – фактические значения уровней динамического ряда; – среднее значение уровней динамического ряда.
SSR (Regression Sum of Squares) – сумма квадратов прогнозных значений; SSE (Residual Sum of Squares) – сумма квадратов отклонений теоретических и фактических значений (для расчета остаточной, необъясненной дисперсии); SST (TotalSum of Squares) – сумма первой и второй строчки (сумма квадратов фактических значений); SSCT (Corrected TotalSum of Squares) – сумма квадратов отклонений фактических значений от средней величины (для расчета общей дисперсии); Regression vs. Corrected Total Sum of Squares – повторение первой строчки; MSR (Regression Mean Squares) – объясненная дисперсия; MSE (Residual Mean Squares) – остаточная, необъясненная дисперсия; MSCT (Mean Squares Corrected Total) – скорректированная общая дисперсия; Regression vs. Corrected Total Mean Squares – повторение первой строчки; Regression F-value – расчетное значение F -критерия; Regression vs. Corrected Total F-value – скорректированное расчетное значение F -критерия; n – число уровней ряда; m – число параметров уравнения тренда.
Далее опять же на закладке Quick (см. рис. 3.16) нажимаем кнопку Predicted values, Residuals, etc . После ее нажатия система строит таблицу, состоящую из трех столбцов (рис. 3.19).
Observed – наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);
Наиболее часто тренд представляется линейной зависимостью исследуемой величины вида
где y – исследуемая переменная (например, производительность) или зависимая переменная;
x – число, определяющее позицию (второй, третий и т.д.) года в периоде прогнозирования или независимая переменная.
При линейной аппроксимации связи между двумя параметрами для нахождения эмпирических коэффициентов линейной функции используется наиболее часто метод наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что линейная функция «наилучшего соответствия» проходит через точки графика, соответствующие минимуму суммы квадратов отклонений измеряемого параметра. Такое условие имеет вид:
где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).
Рис. 5.3. Построение тренда методом наименьших квадратов
Значения констант b и a или коэффициента при переменной Х и свободного члена уравнения определяются по формуле:
В табл. 5.1 приведен пример вычисления линейного тренда по данным .
Таблица 5.1. Вычисление линейного тренда
Методы сглаживания колебаний.
При сильных расхождениях между соседними значениями тренд, полученный методом регрессии, трудно поддается анализу. При прогнозировании, когда ряд содержит данные с большим разбросом колебаний соседних значений, следует их сгладить по определенным правилам, а потом искать смысл в прогнозе. К методу сглаживания колебаний
относят: метод скользящих средних (рассчитывается n-точечное среднее), метод экспоненциального сглаживания. Рассмотрим их.
Метод «скользящих средних» (МСС).
МСС позволяет сгладить ряд значений с тем, чтобы выделить тренд. При использовании этого метода берется среднее (обычно среднеарифметическое) фиксированного числа значений. Например, трехточечное скользящее среднее. Берется первая тройка значений, составленная из данных за январь, февраль и март (10 + 12 + 13), и определяется среднее, равное 35: 3 = 11,67.
Полученное значение 11,67 ставится в центре диапазона, т.е. по строке февраля. Затем «скользим на один месяц» и берется вторая тройка чисел, начиная с февраля по апрель (12 + 13 + 16), и рассчитывается среднее, равное 41: 3 = 13,67, и таким приемом обрабатываем данные по всему ряду. Полученные средние представляют новый ряд данных для построения тренда и его аппроксимации. Чем больше берется точек для вычисления скользящей средней, тем сильнее происходит сглаживание колебаний. Пример из МВА построения тренда дан в табл. 5.2 и на рис. 5.4.
Таблица 5.2 Расчет тренда методом трехточечного скользящего среднего
Характер колебаний исходных данных и данных, полученных методом скользящего среднего, иллюстрирован на рис. 5.4. Из сравнения графиков рядов исходных значений (ряд 3) и трехточечных скользящих средних (ряд 4), видно, что колебания удается сгладить. Чем большее число точек будет вовлекаться в диапазон вычисления скользящей средней, тем нагляднее будет вырисовываться тренд (ряд 1). Но процедура укрупнения диапазона приводит к сокращению числа конечных значений и это снижает точность прогноза.
Прогнозы следует делать исходя из оценок линии регрессии, составленной по значениям исходных данных или скользящих средних.
Рис. 5.4. Характер изменения объема продаж по месяцам года:
исходные данные (ряд 3); скользящие средние (ряд 4); экспоненциальное сглаживание (ряд 2); тренд, построенный методом регрессии (ряд 1)
Метод экспоненциального сглаживания.
Альтернативный подход к сокращению разброса значений ряда состоит в использовании метода экспоненциального сглаживания. Метод получил название «экспоненциальное сглаживание» в связи с тем, что каждое значение периодов, уходящих в прошлое, уменьшается на множитель (1 – α).
Каждое сглаженное значение рассчитывается по формуле вида:
St =aYt +(1−α)St−1,
где St – текущее сглаженное значение;
Yt – текущее значение временного ряда; St – 1 – предыдущее сглаженное значение; α – сглаживающая константа, 0 ≤ α ≤ 1.
Чем меньше значение константы α , тем менее оно чувствительно к изменениям тренда в данном временном ряду.
