7. Математическое моделирование.
Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.
Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.
Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.
Основные этапы математического моделирования
1) Построение модели. Выбор типа математической модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.
2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
Вопрос 8. Метрологическое обеспечение экспериментальных исследований
Под метрологическим обеспечением (МО) понимается установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений. Важнейшие значения в метрологии отводятся эталонам и образцовым средствам измерений (СИ), которые являются неотъемлимой частью экспериментальных исследований . К СИ относят меры, измерительные приборы, установки и системы. СИ должны соответствовать цели и задачам НИР, обеспечивать требуемое качество экспериментальных работ; иметь высокую экономическую эффективность; обеспечивать эргономические требования и требования техники безопасности.
Метрологическое обеспечение и особенно обеспечение единства измерений, однообразия средств измерения является важнейшим фактором успешного проведения научных исследований .
При разработке МО необходимо использовать системный подход, суть которого состоит в рассмотрении указанного обеспечения как совокупности взаимосвязанных процессов, объединенных одной целью – достижением требуемого качества измерений .
Таким образом, требования к метрологическому обеспечению научных исследований и экспериментов должны предусматривать:
установление метрологических требований, правил и норм в методиках проведения экспериментальных исследований;
обеспечение экспериментальных исследований необходимыми методами и средствами измерений, контроля, испытаний, средствами и методами поверки (калибровки) СИ .
Общая характеристика математических методов в научных исследованиях
Решение практических задач математическими методами осуществляется путем реализации этапов следующего алгоритма: разработка математической модели; выбор метода проведения исследования математической модели; анализ полученного математического результата.
Математическая модель − система формул, функций, уравнений, средствами которых описывается то или иное явление, процесс, объект в целом. При разработке модели нужно учитывать все реально существующие связи факторов и параметров, хотя при этом нельзя забывать о возможности последующего решения математической модели. Следует прибегать к каким-либо упрощениям, допущениям, аппроксимациям.
Установление общих характеристик объекта позволяют выбрать математический аппарат, на базе которого и строится математическая модель. Для описания объектов с большим количеством параметров возможно разделение объекта на подсистемы.
Не стоит забывать, что особенное место на этапе выбора вида математической модели занимает описание входных сигналов в выходные характеристики объекта.
Если характер изменения исследуемого показателя не известен, то ставится поисковый эксперимент и предпочтение отдается той математической формуле, которая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента. Результаты поискового эксперимента и априорный информационный массив позволяют установить схему взаимодействия объекта с внешней средой по соотношению входных и выходных величин.
Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем. При этом осуществляются следующие виды контроля: размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели.
10. Оптимизация в исследовании (О) - (от лат. optimus-наилучший) - понимают целенаправленную деятельность, заключающуюся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Постановка задачи О. предполагает наличие ее объекта, набора независимых параметров (переменных), описывающих данную задачу, а также условий (часто наз. ограничениями), характеризующие приемлемые значения независимых переменных, которые и образуют модель рассматриваемой системы.Еще одной обязательным условием описания оптимизационной задачи служит мера "качества", носящая название критерия оптимизации и зависящая от переменных О. Решение оптимизационной задачи - поиск определенного набора значений переменных, которому отвечает оптимизационное значение критерия О.
Описанные и построенные модели реального объекта – важнейший этап оптимизационного исследования, так как он определяет практическую ценность получаемого решения и возможность его реализации.
Процесс оптимизации с использованием модели можно рассматривать как метод отыскания оптимального решения для реального объекта без непосредственного экспериментирования с самим объектом. «Прямой» путь, ведущий к оптимальному решению, заменяется «обходным», включающим построение и оптимизацию модели, а также преобразование полученных результатов в практически реализуемую форму. При формировании такой модели следует учитывать характеристики объекта, которые должны быть отражены в модели, а менее существенные особенности в модель можно не включать. Необходимо сформулировать логически обоснованные допущения, выбрать форму представления модели, уровень ее детализации и метод реализации на ЭВМ. Все это относятся к этапу построения модели. Модели можно упорядочить по степени адекватности описания поведения реального объекта. Таким образом, качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели примеров поведения реального объекта.
Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.
Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.
Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем , который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели .
Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются.
Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из ММ, должны соответствовать физическому смыслу задачи.
Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.
Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие ММ граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.
Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММ дает однозначное решение.
Анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении ММ.
Проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.
Существует несколько подходов к выделению основных этапов математического моделирования. Приведем некоторые из них.
В. И. Крутова и В. В. Попова выделяют два основных этапа . Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.
Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели, что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.
Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем, который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, математической замкнутости, физического (экономического, биологического и др.) смысла, устойчивости модели .
Поясним, что это подразумевает:
· контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности;
· контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются;
· анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи;
· анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности;
· контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям;
· анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение;
· анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении математической модели;
· проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.
С.А. Айвазян, И.С. Енюков и Л.Д. Мешалкин выделяют шесть основных этапов моделирования .
1. Исходный этап. На этом этапе осуществляется определение конечных целей моделирования, отбор показателей, включаемых в модель, разделение их на входные и выходные.
2. Формирование априорной информации, т.е. постулирование, математическая формализация и, по возможности, экспериментальная проверка исходных допущений, относящихся к качественному характеру изучаемого явления.
3. Собственно моделирование. На этом этапе устанавливают общий вид модели (структуру, аналитическую и символьную запись).
4. Статистический анализ модели – оценивание неизвестных параметров, входящих в аналитическую запись модели, исследование свойств полученных статистических оценок.
5. Анализ адекватности модели. Заключается в применении различных процедур сопоставления выводов, оценок, следствий, полученных по результатам анализа модели и реально наблюдаемой действительностью.
6. Этап уточнения модели. Проводится лишь в том случае, если необходимы уточняющие исследования, развитие и углубление информации.
Еще один подход к выделению этапов математического моделирования, представленный В.П. Трусовым, изображен на схеме (Рис. 7).
Поясним выделенные на схеме основные этапы.
1. Обследование объекта моделирования означает, что математические модели, особенно использующие численные методы, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей). Основной целью обследования объекта моделирования является подготовка содержательной постановки задачи моделирования, т.е. списка основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика.
Приведем пример содержательной постановки задачи о баскетболисте: необходимо разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.
Модель должна обеспечить решение следующих задач: вычислять положение мяча в любой момент времени, определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные: масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины.
1. Концептуальная постановка задачи – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, т.е. совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок (о них упоминают также В. И. Крутова и В. В. Попова):
· Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
· Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключением малозначимых параметров.
· Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, вытекающие из математических соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.
· Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результаты моделирования, если параметры модели или их комбинации приближаются к предельно допустимым значениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.
· Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удовлетворяют данным условиям.
· Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.
· Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число независимых уравнений должно быть n . Если их меньше n , то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n , то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превышает n , но сами уравнения удовлетворяются лишь приближенно, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов
3. Понятие корректности задачи имеет большое значение в прикладной математике. Например, численные методы решения оправдано применять лишь к корректно поставленным задачам. Доказательство корректности конкретной математической задачи - достаточно сложная проблема. Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.
4. Выбор и обоснование методов решения задачи.
При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.
Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.
Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.
Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, траектория центра тяжести баскетбольного мяча определяется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.
6. Проверка адекватности модели.
Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.
Проверка адекватности модели преследует две цели: убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постановок и установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.
Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравнении с результатами решения тестовой задачи.
Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10 - 15 %. В моделях, используемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1 - 2% и даже более.
Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметра). При количественном сравнении большое значение следует придавать точности исходных данных для моделирования и соответствующих им значений сравниваемых параметров.
7. Практическое использование построенной модели.
Независимо от того, в какой области применима построенная модель, необходим количественный и качественный анализ результатов моделирования.
Всесторонний анализ результатов моделирования позволяет:
· выполнить модификацию рассматриваемого объекта, найти его оптимальные характеристики или, по крайней мере, лучшим образом учесть его поведение и свойства;
· обозначить область применения модели, что особенно важно в случае использования моделей для систем автоматического управления;
· проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе математической постановки, оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности при сохранении требуемой точности;
· показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.
Вышеописанную В.П. Трусовым периодизацию основных этапов математического моделирования, мы считаем наиболее содержательной и полной.
Исследуя научную литературу, мы выделили основные этапы математического моделирования, которые выделены у ряда ученых:
1) Построение модели. Задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.
2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи, в том числе на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.
3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах установленной точности.
5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.
Процесс моделирования в общем случае состоит из нескольких этапов.
1). Постановка задачи моделирования.
Главное на этом этапе – четко сформулировать сущность проблемы, цель моделирования и все вопросы, на которые необходимо получить ответы в процессе моделирования. Этот этап также включает выделение важнейших свойств объекта моделирования и абстрагирование от второстепенных свойств, изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь определяются также входные, выходные и промежуточные переменные, задаются ограничения, накладываемые на условия функционирования объекта исследования.
2). Разработка математической модели.
Это этап формализации проблемы, выражения её в виде конкретных уравнений, неравенств и т.д. На этом этапе необходимо иметь ввиду, что чрезмерное усложнение модели затрудняет процесс исследования, увеличивает сроки разработки и приводит к росту затрат на разработку. Поэтому необходимо учитывать реальные возможности и сопоставлять затраты на разработку математической модели с ожидаемым эффектом. При неоправданном усложнении модели затраты на моделирование могут превысить эффект от использования модели.
3). Математический анализ модели и выбор метода решения.
На этом этапе выясняются общие свойства модели, выполняется доказательство существования решения поставленной задачи. Если будет доказано, что математическая задача не имеет решения, то следует скорректировать либо модель, либо постановку задачи, либо и то и другое. Если же решение задачи существует, то выбирается метод ее решения.
4). Разработка алгоритма решения задачи.
Для реализации модели разрабатывается компьютерная программа, либо используются существующие пакеты прикладных программ. Использование таких пакетов упрощает реализацию моделей, а разработка собственной программы даёт возможность большему пониманию методов решения задачи, а также возможность усовершенствования используемых методов и их адаптации для решения конкретной задачи. Если выбран второй вариант, то перед разработкой программы разрабатывается алгоритм решения задачи, блок-схема алгоритма, составляется словесное описание этого алгоритма.
5). Подготовка исходной информации.
На этой стадии уточняются перечни входной, промежуточной и выходной информации, перечень постоянных коэффициентов, пределы изменения входных и выходных переменных. Здесь необходимо также уточнить размерность всех величин, входящих в математическую модель.
6). Разработка и отладка программы.
На этом этапе ведется разработка и отладка программы на одном из современных языков программирования, например, Visual Basic, Visual Basic for Applications, Delphi, C++ и т.д.
7). Проверка математической модели на адекватность.
После разработки и отладки программы решается вопрос об адекватности модели объекту-оригиналу, о степени ее практической применимости. Модель считается адекватной реальному объекту, если полученные путём моделирования значения выходных параметров совпадают с реальными с заданной степенью точности.
Анализ полученных результатов позволяет обнаруживать недостатки математической модели. Выявленные недостатки модели устраняются в последующих циклах моделирования. Начав разработку и исследование с простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем можно перейти к созданию более совершенной модели.
8). Исследование модели на ЭВМ.
На этом этапе выполняется непосредственное выполнение расчетов на ЭВМ, то есть выполняется решение задачи с использованием численных методов. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается провести многочисленные эксперименты с моделью в очень короткие сроки.
9). Анализ результатов исследования и их применение.
На этом этапе выполняется сравнительный анализ вариантов моделирования. Анализ результатов исследования дает возможность сделать вывод относительно характеристик исследуемого объекта, его линейности, инерционности, наличия запаздывания по определённым каналам и т.п.
10). Разработка рекомендаций.
На основании результатов анализа производится разработка заключений и рекомендаций по использованию модели и результатов моделирования.
Моделирование – это итеративный (повторяющийся) процесс, поэтому возможен возврат с любого этапа к любому предыдущему этапу.
Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств.
Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад. моделирование нелинейный задача математический
Математическое моделирование не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т. е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограничены и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.
Этапы математического моделирования
С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации.
Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.
Основные этапы моделирования
1. Постановка задачи.
Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На этом этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.
2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.
На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения.
В целях правильного построения числовой модели, получения приемлемого оптимального решения особое внимание необходимо уделять подготовке исходной информации, её переработке в технико-экономические характеристики объекта исследования.
Информация как совокупность необходимых для моделирования сведений об процессе и объекте должна быть репрезентативной, содержательной, достаточной, доступной, актуальной, своевременной, точной, достоверной, устойчивой.
На рисунке показана информация, используемая для экономико-математического моделирования. Она разделена на входную, выходную, первичную, вторичную, определенную, стохастическую, неопределенную и другую.
Входную информацию по способу ее использования подразделяют на две основные группы - условно-постоянную (справочную) и переменную.
Условно-постоянная информация объединяет большую группу зафиксированной информации, используемой неоднократно. Информация данной группы используется в моделях в виде нормативных коэффициентов, например, нормы затрат i - го вида производственных ресурсов по j - м видам деятельности, нормы выхода i - го вида продукции по j - м видам деятельности.
Переменная информация обеспечивает разработку и решение конкретной математической задачи. К переменной информации относят многие коэффициенты, сформулированные для данной числовой модели с учетом конкретных условий; задания на гарантированные объемы производства (); главным образом, информацию технико-экономического планирования, оперативных планов производственных процессов, использования средств, финансовые планы и т. п.
Переменная информация используется при моделировании, как правило, одноразово, а затем она теряет свои качества и становится непригодной для дальнейших работ.
По стадии обработки можно выделить первичную и вторичную информацию.
Первая из них возникает непосредственно в процессе деятельности объекта и регистрируется на начальной стадии, а вторичная - является результатом обработки первичной информации и может использоваться в качестве исходных данных для последующих расчетов, либо для выработки управленческих решений.
По продолжительности данные, используемые при моделировании, анализируются в разрезе одного месяца, года или ряда лет.
Информацию можно группировать по уровню обобщения: данные об отраслях, хозяйствах, группах хозяйств, муниципальных образованиях и о регионе.
По степени определенности выделяют производственно-экономическую информацию в виде определенных, стохастических и неопределенных величин.
Определенные (детерминированные) показатели производственных процессов, как правило, являются постоянными и предсказуемыми. К таким показателям относятся земельные ресурсы, площади сельскохозяйственных угодий, сельскохозяйственная техника и другие.
К стохастическим (случайным) величинам относятся такие характеристики, которые могут быть описаны с помощью вероятностных законов распределения. Во многих случаях ряды урожайностей сельскохозяйственных культур в отдельных хозяйствах подчинены гамма и логарифмически нормальному закону распределения. Для хозяйств с неустойчивым сельскохозяйственным производством в группу случайных величин могут попасть затраты, прибыль, трудовые ресурсы.
Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. В ряде случаев сведения о неопределенных характеристиках можно получить с помощью экспертных оценок.
Источниками информации для разработки оптимизационной модели служат годовые отчеты, производственно-финансовые и перспективные планы, данные первичного учета сельскохозяйственных предприятий, технологические карты по возделыванию и уборке сельскохозяйственных культур и выращиванию животных, а также различные нормативные справочники.
3. Формализация.
Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы.
4. Выбор метода решения.
На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи выбирается какой- либо метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика.
5. Реализация модели.
Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи.
6. Анализ полученной информации.
Сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.
7. Проверка адекватности реальному объекту.
Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными.
Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.
