К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
(a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

1. Выполните действия:

а) -6+6; д) -9+16;

б) 10+(-8); е) -14+(-4);

в) 15+7; ж) 23+(-5);

г) -12+(-6); з) 19 +(-20).

2. Заполните таблицу:

3. Найдите значение выражения m +(-37), если m =45, m =-27, m =100

4. Какие из неравенств верны:

а) 40+(-24)0; б) -56+28

5. Какая сумма больше:

а) -134+156 или -256 +145;

б) -76 +(-108) или -58 +(-135);

в) 266+(-73) или -52+245.

6. Сравните:

а) -520+600…0; г) -7+15 …8;

б) -300+260…0; д) 56+(-72)…10;

в) 14+(-11)…0; е) -29+(-44)…-67.

7. Выполните сложение:

а) 450+340; д) -450+340; и) -450+(-340); н) 450+(-340);

б) 235+(-120); е) -235+(-120); к) -235+120; о) 235+120);

в) -720+ 140; ж) 720+ (-140); л) 720+ 140; п) -720+(-140);

г) - 635 + (-100); з) -635 + 100; м) 635 + (-100); р) 635 + 100;

8. Решите уравнение:

в) 3х -35=-10.

9.Вычислите:

а) -48+(-212+(-756));

б) (-57+(-148))+(-505);

в) (345+(-266))+(-75).

10. Сложите:

а) сумму чисел -20 и -75 с числом 55;

б) число -96 с суммой чисел -82 и 37;

в) сумму чисел -112 и 45 с суммой чисел 120 и -53

11. Запишите число -66 в виде суммы:

а) двух отрицательных чисел;

б) положительного и отрицательного чисел.

12. Вместо * поставьте знак «+» или «-», так чтобы получилось верное равенство:

а) (*15)+(*11)=-4;

б) (*15)+(*11)=4;

в) (*17)+(*17)=0;

г) (*14)+(*14)=-28.

13. Выполните сложение:

а) -15+17+(-51)+93+(-78);

б) 45+(-13)+(-384)+15+(-492);

в) 47+(-8)+(-23)+(-9)+(-17)+23+34.

Конспект урока математики для 6 класса по теме "Сложение целых чисел"

Предмет: математика
Класс: 6 класс
Продолжительность урока: 45 минут

Тема: Сложение целых чисел (первый урок в теме «Сложение целых чисел»)

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Форма урока: комбинированный
Цель урока: вывести совместно с учащимися правила сложения целых чисел.
Задачи урока:
Образовательные
- формирование знаний по теме урока;
- формирование умения складывать целые числа.
Развивающие
- развитие внимания;
- формирование умения делать вывод.
Воспитательные
- воспитание интереса к предмету.
Формы работы на уроке: коллективная, индивидуальная.
Методы работы на уроке: дидактическая игра, проблемно – поисковая задача.
Используемые технологии: проблемное обучение, здоровьесберегающие технологии.
Ожидаемые результаты:
1. Учащиеся научатся применять правила сложения целых чисел при решении задач;
2. Учащиеся анализируют, сопоставляют, логически мыслят, обобщают;
3. Учащиеся умеют слушать и слышать друг друга;
4. Учащиеся, выступающие с защитой решений, демонстрируют владение математическим языком, знание текущего учебного материала.

Ход урока:
1. Организационный момент
Проверка готовности к уроку.
Приветствие.
2. Актуализация знаний
1) (двое учеников работают за доской, остальные - в тетрадях) Записать числа под диктовку: - 15, + 10, - 3, 2, - 7, 0, - 4, 9, + 7, - 10.
2) Работа с классом:
Назовите:
- отрицательные числа;
- натуральные числа;
- положительные числа;
- целые числа.
Выделите квадратиком противоположные числа, обведите в кружочек – наименьшее целое число, в треугольник – наибольшее целое число.
Найдите для каждого числа его модуль. Вычислите сумму модулей.
Целеполагание: Послушайте четверостишие и попробуйте определить цель нашего урока:
Числа отрицательные новые для нас
Лишь совсем недавно изучил наш класс,
Сразу поприбавилось нам теперь мороки:
Изучить все правила сложения на уроке!!!

Ответ учащихся: Мы будем учиться складывать отрицательные и положительные числа.
3. Объяснение нового материала
На доске записаны примеры:
(+ 25) + (- 35) =
(- 17) + (- 24) =
(- 18) + (+ 12) =
Давайте предположим, какие в них будут ответы?
Учитель: Молодцы!!!Предположения сделаны, теперь проведем исследование и выясним какие ответы верные, а также попробуем сформулировать правила сложения целых чисел. Для этого порешаем задачи о деньгах:
На счете мобильного телефона было 0 рублей 0 копеек.
1. На счет положили 33 рублей, а потом ещё 45 рублей. Сколько денег на счете?
2. Со счета мобильного телефона потратили 83 рубля, а потом ещё 36 рублей. Сколько денег на счете?
3. На счет положили 50 рублей, а потратили 35 рублей. Сколько денег на счете?
4. На счет положили 14 рублей, а потратили 36 рублей. Сколько денег на счете?
(по ходу решения задач оформляем таблицу)
Доход/расход Доход/расход Итого
+ 33 + 45 + 78
- 83 - 36 - 119
+ 50 - 35 + 15
+ 14 - 36 - 22

Решив задачи 1 и 2, учащиеся пытаются сформулировать правила сложения целых чисел с одинаковыми знаками.
Решив задачи 3 и 4, учащиеся пытаются сформулировать правила, сложения целых чисел с разными знаками.
(все формулировки проверяем по учебнику)

Физкультминутка:
В понедельник я купался, (Изображаем плавание.)
А во вторник - рисовал. (Изображаем рисование.)
В среду долго умывался, (Умываемся.)
А в четверг в футбол играл. (Бег на месте.)
В пятницу я прыгал, бегал, (Прыгаем.)
Очень долго танцевал. (Кружимся на месте.)
А в субботу, воскресенье (Хлопки в ладоши.)
Целый день я отдыхал. (Дети садятся на корточки, руки под щеку - засыпают.)

4. Первичное закрепление изученного материала.
Укажите стрелкой знак суммы:
(+3) + (+7)
(- 3) + (- 7) -
(- 3) + (+ 7)
(+ 48) + (- 25)
(+3) + (- 7) +
(- 48) + (- 25)
(+48) + (+25)
(- 48) + (+ 25)

5. Закрепление нового материала.
№ 236, 237, 240, 241.
6. Домашнее задание.
№ 242, учить правила сложения целых чисел.
Рефлексия. А тема нашего урока нужна в повседневной жизни? Что мы сегодня научились делать?
Спасибо, дети, за урок!!!

Конспект урока на тему «Сложение целых чисел»

Цель урока: закрепить правила сложения отрицательных чисел, сложения чисел с разными знаками.

Планируемые результаты:

Предметные: знают что значит прибавить к числу а число b;

Правило сложения отрицательных чисел;

Правило сложения чисел с разными знаками;

Чему равна сумма противоположных чисел.

умеют складывать отрицательные числа;

Складывать числа с разными знаками

Выполнять устные вычисления.

Метапредметные:

Регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения;

Познавательные: используют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы;

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Тип урока: комбинированый.

Оборудование: учебник, тетрадь, карточки для работы на уроке, карточки самооценки.

Ход урока:

1. Организационный этап.

Проверка отсутствующих, готовности к уроку.

2. Проверка домашнего задания. На доске один из учащихся записывает, остальные проверяют, обсуждают, исправляют ошибки.

3. Актуализация опорных знаний.

На прошлом уроке мы познакомились с правилами сложения целых чисел.

Ответьте на вопросы:

1. Чему равен модуль положительного числа, отрицательного числа?

2. Как сложить два отрицательных числа?

3. Как сложить два числа с разными знаками?

4. На ваших партах лежат карточки. Заполните пропуски, чтобы получились верные равенства.

Карточка № 1 (работа в парах)

6 + (-4) =

3 + (…) = -10

… + (-2) = -10

9 + (..1) = -10

17 + ()= -20

4 + (+5) =

5 +(+ ..)= +1

12+(…)=+10

14+(…)= -10

Проверка по столбикам -10, -7, -8,

1, -17 и -3, +1,

6, -2, +4

4. Закрепление материала.

1) Работа с учебником выполняем номер 262 на странице 55. Ученики выполняют самостоятельно, затем проверяем ответы вместе, обсуждаем, проговариваем правила.

Ответы: а) -124 б)-586 в)+850 г)+64 д)-239 е)+223.

2) Работа с дидактическим материалом:

Сравните выражения с нулём

425+500 и 0

425+425 и 0

356+(-700) и 0

391+(-486) и 0

252+187 и 0

356+(-356) и 0

Замечаем, что в двух примерах получаем равно нулю. Обсуждаем суммы противоположных чисел и рассматриваем на примерах (доход-расход).

3) Найдите сумму:

40+(-50)+(+50)=

200+(-320)+(-80)=

40+(+40)+(-160)=

999+(-2987)+(-999)=

5. Физминутка

В понедельник я купался, (Изображаем плавание.)

А во вторник - рисовал. (Изображаем рисование.)

В среду долго умывался, (Умываемся.)

А в четверг в футбол играл. (Бег на месте.)

В пятницу я прыгал, бегал, (Прыгаем.)

Очень долго танцевал. (Кружимся на месте.)

А в субботу, воскресенье (Хлопки в ладоши.)

Целый день я отдыхал. (Дети садятся на корточки, руки под щеку - засыпают.)

6. Рефлексия.

Как вы считаете нужны ли нам эти знания в повседневной жизни?

Как вы думаете вы сможете сами выполнить домашнее задание?

Заполните карточки самоконтроля.

Ф.И.

Ставим + или -

Урок понравился (не понравился)

Материал урока понятен (не понятен)

Я смогу самостоятельно выполнять такие примеры (не смогу)

Оцени свою работу на уроке (от 2 до 5)

7. Подведение итогов. Выставление оценок. Домашнее задание.

Выполнить номера №263, № 264(для сильных учащихся)

Сложение целых чисел

Последовательность шагов при этом следующая:

1. слагаемые размещаются в разрядных сетках в прямых кодах;

2. отрицательное слагаемое (или слагаемые) преобразуется в обратный или дополнительный код (в зависимости от того, в какой форме выполняет операции АЛУ);

3. слагаемые складываются по правилам сложения двоичных чисел. При этом знаковые разряды участвуют в вычислениях наряду с числовыми;

4. единица переноса из знакового разряда (если таковая возникнет) отбрасывается при сложении в дополнительном коде или прибавляется к младшему числовому разряду при сложении в обратном коде;

5. если результат положителен – он представлен в прямом коде и не требует никаких преобразований. Если результат отрицателен, то он представлен в обратном или дополнительном коде в зависимости от того, в каком коде происходило сложение. Результат в таком случае преобразуется в прямой код.

Пример 1 . Сложить в обратном коде числа –34 и +15. Разрядная сетка – 8 бит.

3. складываем слагаемые:

Таким образом, получено число –10011 2 . Для проверки правильности результата представим его в десятичной системе счисления. Имеем: -10011 2 = -19, что соответствует правильному результату.

Пример 2 . Сложить в обратном коде

1. преобразуем слагаемые в прямые коды и разместим их в разрядных сетках:

Таким образом, получено число –110001 2 . Для проверки правильности результата представим его в десятичной системе счисления. Имеем: -110001 2 = -49, что соответствует правильному результату.

Пример 3 . Сложить в дополнительном коде числа –34 и -15. Разрядная сетка – 8 бит.

Первый этап совпадает с предыдущим примером.

Преобразуем слагаемые в дополнительный код. Для этого воспользуемся обратными кодами из примера 2:

Образовалась единица переноса из знакового разряда. Однако, поскольку сложение выполняется в дополнительном коде, единица переноса из знакового разряда теряется.

Таким образом, мы получили результат сложения в дополнительном коде. Поскольку он отрицателен, преобразуем его в прямой код. Тогда имеем:

Анализ показывает, что результат положительный, что противоречит исходным данным: складывались два отрицательных числа. Это свидетельствует о переполнении (overflow) разрядной сетки.

Таким образом, формальным признаком переполнения разрядной сетки при выполнении операции сложения является то, что знак результата отличается от знаков слагаемых. Такая ситуация может возникнуть только при сложении чисел с одинаковыми знаками. С подобными ситуациями при сложении целых чисел самостоятельно компьютер не справляется, требуется вмешательство программиста.