Свойства сходящихся последовательностей (ограниченность, арифметические свойства)
Ответ:
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х n , то говорят, что задана последовательность
x 1, х 2 , …, х n = {x n }
Общий элемент последовательности является функцией от n.
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {x n } = {(-1) n } или {x n } = -1; 1; -1; 1; …
{x n } = {sinpn/2} или {x n } = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующиеарифметические свойства :
1) Умножение последовательности на число m: m{x n } = {mx n }, т.е. mx 1 , mx 2 , …
2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x n } ± {y n } = {x n ± y n }.
3) Произведение последовательностей: {x n }×{y n } = {x n ×y n }.
4) Частное последовательностей: при {y n } ¹ 0.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение. Последовательность {x n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. ограниченной сверху
Определение. Последовательность {x n }называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что
Пример. {x n } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
Ответ:
Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема . Если элементы сходящейся последовательности {x n x n ≥ b (x n ≤ b ), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b ).
Доказательство . Пусть все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≥ b . Требуется доказать неравенство a ≥ b . Предположим, что a < b . Поскольку a - предел последовательности {x n }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x n - a | < b - a . Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a ) < x n - a < b - a . Используя правое из этих неравенств, получим x n < b , а это противоречит условию теоремы. Случай x n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание . Элементы сходящейся последовательности {x n } могут удовлетворять строгому неравенству x n > b , однако при этом предел a может оказаться равным b . Например, если , то x n > 0, однако
Следствие 1 . Если элементы x n и y n сходящихся последовательностей {x n } и {y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ≤ y n , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:
В самом деле, элементы последовательности {y n - x n } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел
Отсюда следует, что
Следствие 2 . Если все элементы сходящейся последовательности {x n } находятся на сегменте [a , b ], то и ее предел c также находится на этом сегменте.
В самом деле, так как a ≤ x n ≤ b , то a ≤ c ≤ b .
Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.
Теорема . Пусть {x n } и {z n } - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y n } удовлетворяют неравенствам x n ≤ y n ≤ z n . Тогда последовательность {y n } сходится и имеет предел a .
Доказательство . Нам достаточно доказать, что последовательность {y n - a } является бесконечно малой. Обозначим через N * номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x n - a ≤ y n - a ≤ z n - a . Отсюда следует, что при n ≥ N * элементы последовательности {y n - a } удовлетворяют неравенству
|y n - a | ≤ max {|x n - a |, |z n - a |}.
Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N 1 и N 2 такие, что при n ≥ N 1 |x n - a | < ε , а при n ≥ N 2 |z n - a | < ε . Пусть N = max{N * , N 1 , N 2 }. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y n - a | < ε . Итак, последовательность {y n - a } - бесконечно малая. Теорема доказана.
Если последовательность сходится к нулю:
то она называется бесконечно малой последовательностью. Говорят также, что ее общий член является при бесконечно малой величиной. Бесконечно малыми являются последовательности (84.3) и (84.4).
Если мы применим формулировку понятия предела к случаю бесконечно малой последовательности, т. е. к случаю, когда предел равен нулю, то придем к такому определению бесконечно малой последовательности (равносильному данному выше): последовательность называется бесконечно малой, если для любого заданного найдется такой номер N, что при всех будет иметь место неравенство
Сформулируем некоторые полезные теоремы о бесконечно малых последовательностях (и для примера докажем первую из них).
Теорема 1. Сумма двух или нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство проведем для случая суммирования двух последовательностей. Пусть последовательности бесконечно малые. Если - последовательность, полученная их сложением, то она также будет бесконечно малой. Действительно, пусть задано произвольное положительное число е. В силу того, что бесконечно малая, найдется число N такое, что будет меньше числа при . Аналогично и для второй последовательности можно указать (вообще говоря, другое) число такое что при будем иметь Теперь, если больше большего из чисел , то одновременно
Но тогда, по свойству «модуль суммы не превосходит суммы модулей» (п. 74, свойство 13), найдем
что и докажет требуемое утверждение: последовательность бесконечно малая читается как «большее из двух чисел N и .
Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на последовательность, сходящуюся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Из этой теоремы, в частности, следует, что произведение постоянной величины на бесконечно малую, так же как произведение нескольких бесконечно малых друг на друга, является бесконечно малой величиной. Действительно, постоянная величина всегда есть величина ограниченная. То же относится и к бесконечно малой. Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолковать как произведение бесконечно малой на ограниченную.
Теорема 3. Частное от деления последовательности, сходящейся к нулю, на последовательность, имеющую предел, отличный от нуля, есть последовательность, сходящаяся к нулю.
Следующая теорема позволяет использовать бесконечно малые при доказательствах теорем о пределах (теоремы 6-8).
Теорема 4. Общий член последовательности, имеющей предел, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины.
Доказательство. Пусть дана последовательность такая, что
Из определения предела следует:
для всех , удовлетворяющих неравенству Обозначим и тогда получим, что для указанных значений будет
т. е. что есть бесконечно малая величина. Но
а это и доказывает нашу теорему.
Верна и обратная
Теорема 5. Если общий член последовательности отличается от какой-либо постоянной величины на бесконечно малую величину, то эта постоянная является пределом данной последовательности.
Теперь мы рассмотрим правила предельного перехода, сформулированные в следующих трех теоремах.
Теорема 6. Предел суммы двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен сумме этих пределов:
Доказательство. Пусть даны последовательности такие, что
Тогда на основании теоремы 4 мы можем записать:
где некоторые бесконечно малые последовательности. Сложим два последних равенства:
Величина как сумма двух постоянных а и b, постоянна, а как сумма двух бесконечно малых последовательностей, по теореме 1 есть бесконечно малая последовательность. Отсюда и из теоремы 5 заключаем, что
а это и нужно было доказать.
Доказательство, которое мы сейчас провели, можно без труда обобщить на случай алгебраической суммы любого числа заданных последовательностей.
Некоторая функция f будет стремится к числу А при х стремящемся к точке х0 тогда, когда разность f(x) – A будет сколь угодно мала. Другими словами, выражение |f(x) –A| становится меньше любого наперед заданного фиксированного числа h > 0, при уменьшении модуля приращения аргумента |∆x|.
Предельный переход
Нахождение этого числа А по функции f называют предельным переходом . В школьном курсе предельный переход будет встречаться в двух основных случаях.
1. Предельный переход в отношении ∆f/∆x при нахождении производной.
2. При определении непрерывности функции.
Непрерывность функции
Функция называется непрерывной в точке х0, если f(x) стремится к f(x0) при стремлении x к x0. При этом: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Это означает, что |∆f| будет малым при малых |∆x|. Если описывать словами, то малым изменениям аргумента соответствуют малые изменения значения функции.
Функции, которые встречаются в школьном курсе математики, например, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция и другие, непрерывны в каждой точке области, на которой они определены. У этих функций графики изображаются непрерывными кривыми линиями.
На этом факте основывается способ построения графика функции «по точкам», которым мы обычно пользуемся. Но прежде чем им пользоваться, необходимо выяснить действительно ли рассматриваемая функция будет непрерывна. Для простых случаев это можно сделать на основании определения непрерывности, которое мы дали выше.
Например: докажем, что линейная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой y = k*x + b .
Согласно определению, нам нужно показать, что |∆f| становится меньше любого наперед заданного числа h>0, при малых |∆x|
|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.
Если взять |∆x| >h/|k| при k не равном нулю, то |∆f| будет меньше любого h>0, что и требовалось доказать.
Правила предельного перехода
При использовании операции предельного перехода следует руководствоваться следующими правилами.
1. Если функция f непрерывна в точке x0, то ∆f стремится к нулю при стремлении ∆х к нулю.
2. Если функция f имеет производную в точке х0, то ∆f/∆x стремится к f’(x0) при стремлении ∆x к нулю.
3. Пусть f(x) стремится к A, g(x) стремится к B при стремлении х к х0. Тогда:
f(x) + g(x) стремится к A + B;
Пусть цена некоторого актива в текущий момент времени г равна S(T) . Цена исполнения опциона колл на этот актив с моментом исполнения Т равна К. Вычислим цену этого опциона в момент времени т. Разделим временной интервал [г, Т] на п периодов одинаковой длины (Т - т)/п. Вычисление цены колл опциона проводится в рамках n-периодной биномиальной модели ценообразования опционов, а затем находится её предел при п -> оо.
Итак, цена с опциона в n-периодной биномиальной модели определяется формулой (3.12). Согласно определению, jo стремится к In [К/(S(t)dn))/ 1п(м/d) при ті -^ оо. По интегральной формуле Му- авра-Лапласа
b&j0,n,p) - 1 -Ф (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ л/np"q
где Ф(х) = ^ dt - нормальная функция распределения.
Пользуясь определением (3.16) чисел и ad, получим, что при п -> оо
с = 5(г)Ф(гіі) - Ke-r^-T4{d2), (3.17)
где
\ii(S(t)/К) + (г + а2/2)(Т - т)
d\
ал/Т - т
ал/Т - т
Найденную формулу (3.17) для цены колл опциона называют формулой Блэка-Шоулза.
Доказательство формулы (3.17) использует разложение экспоненты в ряд
ех = 1 + х+^+.... (3.18)
Подставив и и d из формулы (3.17) в равенство (3.8), определяющее числа р ид, получим:
erAt - ел/Ш-
Р
Раскладывая экспоненты в ряд по формуле (3.18) и пренебрегая слагаемыми, малыми по сравнению с At, получим, что
ал/At + (г - а212) At ал/At - (г - а212) At
Р ~ т= 1 Я ~ т=
2ал/М 2ал/М
Если неопределённость рыночной цены отсутствует, то цена актива S удовлетворяет уравнению
AS = fiSAt, (2.1)
где At - достаточно мало. При At -> 0 уравнение (2.1) становится дифференциальным
S" = /J.S.
Его решение S(T) = S(0)емТ определяет цену S(T) актива в момент времени Т.
На практике однако всегда существует неопределённость цены актива. Для описания неопределённости рассматриваются функции времени, которые при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Это свойство определяет случайный процесс.
Случайный процесс w{t) называется винеровским, если го(0) = О, и случайные величины w(t\ +s) -w(t\) и w(t2 + s) - w(t2) имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией, равной s и независимы при любых t\, t2, s, образующих непересекающиеся интервалы (ti,ti + s) и (t2,t2 + s).
График винеровского процесса можно получить, например, следующим образом. Зафиксируем некоторое число h > 0 и определим семейство случайных величины Wh(t) в моменты времени t = 0, h, 2h,.... Положим Wh(0) = 0. Разность AWh = Wh((k+l)h) - Wh(kh) является случайной величиной и задаётся таблицей: AWh -6 6 Р 1/2 1/2 Можно представлять, что значение случайной величины Wh ((&+ l)/i) получается из значения Wh(kh) с помощью бросания монеты. Тогда математическое ожидание случайной величины AWh равно М(АИ//1) = 0, а дисперсия D(AWh) = S2. Число й полагают равным Vh, чтобы дисперсия ~D(AWh) оказалась равной h.
Оказывается, что винеровский процесс w(t) получается из семейства случайных величин Wh(t) при h -> 0. Сам предельный переход достаточно труден и здесь не рассматривается. Следовательно, график семейства Wh (t) при малых h является хорошим приближением винеровского процесса. Например, для наглядного изображения винеровского процесса на отрезке достаточно взять h = 0.01.
В простейшем случае, когда /х = 0, то есть фондовый рынок в среднем не растёт и не убывает, предполагается, что
AS = aS Aw,
где w(t) - винеровский процесс, а а > 0 - некоторое положительное число. Тот факт, что приращения цены актива пропорциональны цене, выражает естественное предположение, что неопределённость выражения (S(t + At) - S(t))/S(t) не зависит от S. Это означает, что инвестор одинаково не уверен, какая получится доля прибыли при цене актива в $20 и при цене актива в $100.
Модель поведения цены активов в общем случае определяется уравнением
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t) Aw, (2.2)
Коэффициент а, являющийся единицей неопределённости, называют волатильностью (volatility).
2.2.
Еще по теме Предельный переход:
- Переход к рыночной экономике связан с переходом к системе современного менеджмента, главным объектом которого становится организация (предприятие), а внутри нее - человек труда, работник.
- Предельная величина (предельное значение экономического показателя)
