Применение производной в формате ЕГЭ .
Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»
Введение
Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.
Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.
Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.
Задачи:
- поиск исторических фактов
- сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
- анализ взаимосвязи задач со способами их решения
- изучить основные типы задач на применение производной
- решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
- провести статистическое исследование.
История производной
Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.
В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.
Теоретические сведения
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.
Физический смысл производной
Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.
U=S’(t)
Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)
Геометрический смысл производной
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:
Производная сложной функции
Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)
элементарная функция сложная функция
аргумент
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке
1. Найти область определения функции
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)
4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)
Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти область определения
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)
4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках
5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума
Статистическое исследование.
1 этап работы:
Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:
Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.
Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.
2 этап работы :
изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»
Применение производной формате в
Геометрический смысл
Аналитический смысл
Физический смысл
Задачи на применение физического смысла производной
Задача 1.
x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.
Решение.
1) (x(t))‘ = ((½)×t² t - 4)’
2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;
V(t) = ((½)×t² – t – 4)’
V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’
3) V(t) = 6м/с (по условию)
Ответ: 7 с.
Задача 2.
Материальная точка движется по закону
х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?
Решение .
V(t) = 15 + 16×t – 3×t²
(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’
Т.к (V(t))’ = a (t)
a (t) = 16 – 6×t
a(t) = 16 – 6 ×2
a(t) = 4
Ответ: 4 м/с².
Задачи на применение геометрического смысла производной
Задача 1
Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.
Ответ: 1,5
Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение
Производная функции положительна
на тех участках, где функция возрастает.
По рисунку видно, что это промежутки
(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-
лим целые точки внутри этих интервалов:
"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",
"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.
Ответ: 15
Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12
Аналитический способ решения
Задача 1.
Найдите значение производной функции в точке x0=2
Решение а) Найдем значение производной функции:
б) Найдем значение производной функции в точке x0:
Ответ: 31
Задача 2.
Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.
Решение.
Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;
Найдём значение производной функции в точке x=2/3:
F’(2/3)=6(2/3)+6=10
Ответ:10
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решениеРешение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
Показать решениеРешение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Показать решениеРешение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Геометрический смысл производной Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство Уравнение прямой
Х у Если α 0. Если α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Если α 0. Если α > 90°, то k
Х у Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х =
Y x x0x На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0. Ответ: -0,25
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В =…
Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!
Задача 1.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение:
На рисунке выделены цветом области убывания функции :
В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .
Задача 2.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .
Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .
Таких точек – 4.
Задача 3.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение:
Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .
Это в свою очередь означает, что в точках касания.
Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .
Как видим, таких точек – четыре.
Задача 4.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение:
Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:
Задача 5.
На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение:
На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.
Задача 6.
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
Решение:
Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).
Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.
Задача 7.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.
На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .
Их сумма:
Задача 8.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение:
На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
Длина наибольшего из них – 6.
Задача 9.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
Решение:
Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .
Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .