Проблемы гильберта и советская математика. Проблемы гильберта

А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Проблемы Гильберта: историческое вступление

История Международных математических конгрессов насчитывает уже более ста лет; традиционно они проводятся раз в 4 года. Самый, наверное, знаменитый из них состоялся в августе 1900-го года в Париже. Именно на этом конгрессе, на секции преподавания и методологии математики, выступил 38-летний немецкий математик Давид Гильберт. В своем докладе он сформулировал те проблемы, которые, на его взгляд, являлись наиболее значимыми для математики начинающегося XX столетия.

Ни до, ни после него никто не ставил перед собой такую титаническую задачу. Даже в то время математика уже была достаточно специализированной: было много различных направлений, и одному человеку было очень трудно охватить все ее разделы. Но Гильберт отличался широким кругозором: он работал практически во всех существовавших тогда областях математики и во многих из них добился выдающиxся результатов. Это и позволило ему сформулировать ставшие знаменитыми 23 математические проблемы.

Эти проблемы делятся по областям математики следующим образом:

Из таблицы видно, что проблемы Гильберта относятся к самым разным областям математики, а некоторые --- сразу к нескольким областям. Это вполне естественно: математика едина, и одна и та же проблема может быть сформулирована и исследована в терминах различных математических дисциплин.

Доклад Гильберта на Парижском конгрессе можно найти, в частности, в недавно вышедшем двухтомнике его избранных трудов. Вступительная часть этого доклада читается почти как литературное произведение. То была пора "романтической математики", и сам Гильберт начинает свой доклад словами, которые замечательно звучат и сейчас: "Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?" Так звучал математический доклад Гильберта на математическом международном конгрессе.

Когда эти проблемы были сформулированы, выяснилось, что некоторые из них либо решены, либо близки к решению. Однако другие потребовали для своего решения несколько десятков лет и усилий многих выдающихся математиков, а две из них до сих пор не решены. Почему же Гильберт включил в свой доклад именно эти 23 проблемы? Чем он руководствовался, формулируя их?

Сам Гильберт, поясняя свой выбор, приводил слова одного известного французского математика: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному". Конечно, здесь имеется некоторое преувеличение, но процитированная фраза показывает, что Гильберт придавал большое значение понятности и доступности математики.

Выбирая проблемы для своего доклада, Гильберт придерживался следующих принципов. Он говорил, что задача должна быть а) понятной (должно быть ясно, откуда она возникла); б) достаточно трудной, чтобы вызывать интерес; в) не настолько трудной, чтобы ее невозможно было решить.

Перейдем теперь к более подробному рассказу о некоторых из этих проблем.

А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза, первая проблема Гильберта, относится к задачам оснований математики и теории множеств. Она тесно связана с такими простыми и естественными вопросами, как "Сколько?", "Больше или меньше?", и практически любой старшеклассник может понять, в чем состоит эта проблема. Тем не менее, нам потребуются некоторые дополнительные сведения, чтобы ее сформулировать.

Эквивалентность множеств

Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?

Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.

Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчет, называется принципом разбиения на пары , или принципом взаимно однозначного соответствия .

Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы --- множество . Объекты, входящие в множество, называются его элементами . Если элемент x входит в множество X , это обозначают так: x X . Если множество X 1 содержится в множестве X 2 , т. е. все элементы множества X 1 являются также элементами X 2 , то говорят, что X 1 --- подмножество X 2 , и кратко записывают так: X 1 X 2 .

Множество конечно , если в нем конечное число элементов. Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в классе), так и бесконечными (например, --- множество всех натуральных чисел 1,2,3,... ). Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми .

Пусть X и Y --- два множества. Говорят, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие , если все элементы этих двух множеств разбиты на пары вида (x,y) , где x X , y Y , причем каждый элемент из X и каждый элемент из Y участвует ровно в одной паре.

Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия между множеством девочек и множеством мальчиков.

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными . Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.

Бесконечные множества

Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда элементов в подмножестве меньше , чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого .

Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном множестве "меньше" элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества?

Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала приведем забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах". Действие происходит в далеком будущем, когда жители разных галактик могут встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько галактик.

В этой гостинице бесконечно много номеров (комнат), но, как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n есть комната с этим номером.

Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.

"После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:

Поселите его в # 1.

Куда же я дену жильца этого номера? --- удивленно спросил администратор.

А его переселите в # 2. Жильца же из # 2 отправьте в # 3, из # 3 --- в # 4 и т. д."

Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k , переедет в номер k+1 , как это показано на следующем рисунке:

Тогда у каждого снова будет свой номер, а # 1 освободится.

Таким образом, нового гостя удалось поселить --- именно потому, что номеров в гостинице бесконечно много.

Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы, следовательно, между множеством космозоологов и множеством было установлено взаимно однозначное соответствие: каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что делегатов было "столько же", сколько имеется натуральных чисел. Но приехал еще один человек, его тоже поселили, и количество проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось "столько же", сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу! И если обозначить количество космозоологов через 0 , то мы получим "тождество" 0 = 0 +1 . Ни для какого конечного 0 оно, разумеется, не выполнено.

Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое эквивалентно , добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно . Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи представляют собой часть того множества людей, которые разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом случае часть не "меньше" целого, а "равна" целому!

Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к каким "странностям" в случае конечных множеств) следует, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству.

Возможно, что известный математик Больцано , который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему совершенно абсурдной. Но Георг Кантор во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом, стал исследовать его и создал теорию множеств , важный раздел оснований математики.

Продолжим наш рассказ про бесконечную гостиницу.

Новый постоялец "не удивился, когда на другое утро ему предложили переселиться в #1,000,000 . Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999,999 жильцов".

Но потом произошла какая-то накладка, и в эту же самую гостиницу приехали на съезд филателисты . Их тоже было бесконечное множество --- по одному представителю от каждой галактики. Как же их всех разместить?

Эта задача оказалась весьма сложной. Но и в этом случае нашелся выход.

"В первую очередь администратор приказал переселить жильца из # 1 в # 2.

А жильца из # 2 переселите в # 4, из # 3 --- в # 6, вообще, из номера n --- в номер 2n .

Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные --- филателистами... Филателист, стоявший в очереди n -м, занимал номер 2n-1 ". И снова всех удалось разместить в гостинице. Итак, еще более удивительный эффект: при объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное . Т. e. даже при "удвоении" множества мы получаем множество, эквивалентное исходному!

Счетные и несчетные множества

Рассмотрим следующую цепочку: . ( --- это множество целых чисел, а --- множество рациональных чисел, т. е. множество чисел вида p/q , где p и q --- целые, q0 .) Все эти множества бесконечны. Рассмотрим вопрос об их эквивалентности.

Установим взаимно однозначное соответствие между и : образуем пары вида (n,2n) и (-n,2n+1) , n , а также пару (0,1) (на первое место в каждой паре ставится число из , а на второе --- из ).

Есть и другой способ установить это соответствие, например, выписать все целые числа в таблицу, как показано на рисунке, и, обходя ее по стрелочкам, присваивать каждому целому числу некоторый номер. Таким образом, мы " пересчитаем " все целые числа: каждому z сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и для каждого номера есть такое целое число, которому этот номер приписывается. При этом явную формулу выписывать не обязательно.

Таким образом, эквивалентно .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным . Такое множество можно "пересчитать": пронумеровать все его элементы натуральными числами.

На первый взгляд, рациональных чисел на прямой "намного больше" чем целых. Они расположены всюду плотно : в любом сколь угодно малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество также счетно. Докажем сначала счетность + (множества всех положительных рациональных чисел).

Выпишем все элементы + в такую таблицу: в первой строке --- все числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй --- со знаменателем 2 и т. д. (см. рисунок). Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например, число 1====... встречается в каждой строке этой таблицы) .

А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи). Поскольку мы двигаемся по диагоналям, то мы обойдем всю таблицу (т. е. рано или поздно доберемся до любого из чисел).

Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из + , т. е. доказали, что + счетно.

Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может --- и позже.

Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулем? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице. Пронумеруем + не всеми натуральными числами, а только четными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечетные номера, начиная с 3.

Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными, следовательно, счетно.

Возникает естественный вопрос: Может быть, все бесконечные множества счетны?

Оказалось, что --- множество всех точек на числовой прямой --- несчетно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвел очень сильное впечатление на математиков.

Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса .

Как мы знаем, каждое действительное число x можно записать в виде десятичной дроби:
x=A, 1 2 ... n ...,
где A --- целое число, не обязательно положительное, а 1 , 2 , ..., n , ... --- цифры (от 0 до 9). Это представление неоднозначно: например,
½=0,50000...=0,49999...
(в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другом --- одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу соответствует ровно одна его десятичная запись.

Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...

Чтобы прийти к противоречию, построим такое число y , которое не сосчитано , т. е. не содержится в этой таблице.

Для любой цифры a определим цифру следующим образом:
=
Положим (у этого числа k -я цифра после запятой равна 1 или 2, в зависимости от того, какая цифра стоит на k -м месте после запятой в десятичной записи числа x k ).

Например, если
x 1 = 2,1345...
x 2 = -3,4215...
x 3 = 10,5146...
x 4 = -13,6781...
.....................
то =0,2112...

Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное число y , которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы, ведь y отличается от каждого x k по крайней мере k -й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как мы знаем, соответствуют различные числа.

Доказать континуум-гипотезу --- значит, вывести ее из этих аксиом. Опровергнуть ее --- значит, показать, что если ее добавить к этой системе аксиом, то получится противоречивый набор утверждений.

Решение проблемы

Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.

В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть .

Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело---Френкеля (ZF ) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.

Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни ее отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.

Этот вывод произвел очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).

Как же поступать с этой гипотезой? Обычно ее просто присоединяют к системе аксиом Цермело---Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум-гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве.

Алгебраическую геометрию, вещественный и комплексный анализ, математическую физику и , а также ) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, - физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем три не решены, а две решены только для некоторых случаев.

Список проблем

1	решена	Проблема Кантора о мощности континуума ()
2	решена	Непротиворечивость аксиом арифметики
3	решена	Равносоставность равновеликих
4	слишком расплывчатая	Перечислить , в которых прямые являются геодезическими
5	решена	Все ли непрерывные являются ?
6	не математическая	Математическое изложение аксиом физики
7	решена	Если a ≠ 0, 1 - , и b - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что a b -
8	открыта	Проблема простых чисел ( и )
9	частично решена	Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле
10	решена	Задача о разрешимости
11	решена	Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
12	открыта	Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности
13	решена	Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных
14	решена	Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов алгебраической группы
15	решена	Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
16	частично решена	Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости
17	решена	Представление определённых форм в виде суммы квадратов
18	частично решена	Нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками. Наиболее плотная упаковка шаров
19	решена	Всегда ли решения регулярной вариационной являются аналитическими?
20	решена	Общая задача о граничных условиях (?)
21	решена	Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии
22	решена	Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
23	решена	Развитие методов вариационного исчисления

Сноски

Результат Коэна (Cohen) показывает, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
Проблема № 8 содержит две известные проблемы, обе из которых остаются нерешёнными. Первая из них, является одной из семи Millennium Prize Problems, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для редуктивных групп. Нагата в 1958 году построил контрпример для общего случая. Доказано также, что если алгебра инвариантов любого (конечномерного) представления алгебраической группы конечно порождена, то группа редуктивна.
Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют - их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены - см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей - неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем - для чего каждому из них пришлось написать по книге.

Вторая из знаменитых математических проблем, которые Давид Гильберт выдвинул в 1900 году в Париже на II Международном Конгрессе математиков. До сих пор среди математического сообщества нет консенсуса относительно того решена она или нет. Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой). Кроме Гёделя многие другие выдающиеся математики занимались этой проблемой.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Вторая проблема Гильберта" в других словарях:

Шестнадцатая проблема Гильберта одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей»… … Википедия

Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию… … Википедия

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

В классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных… … Математическая энциклопедия

В теории динамических систем и дифференциальных уравнений, предельным циклом векторного поля на плоскости или, более обобщённо, на каком либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) траектория этого векторного поля, в… … Википедия

логика - ЛОГИКА (от греч. logik (logos) слово, разум, рассуждение) наука о правильных (корректных) рассуждениях. Традиционно рассуждение состоит из последовательности предложений, названных посылками, из которых следует единственное предложение,… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Теория чисел это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… … Википедия

Отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Филос. проблемы математики можно разделить на две основные группы: онтологические и эпистемологические. Абстрактный характер… … Философская энциклопедия

- (англ. Wolstenholme s theorem) утверждает, что для любого простого числа выполняется сравнение где средний биномиальный коэффициент. Эквивалентное сравнение Неизвестны составные числа, удовлетворяющие теореме Вольстенхол … Википедия

Книги

Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1 , Ильяшенко Ю.С.. Предлагаемая книга-первый том двухтомной монографии, посвящённой аналитической теории дифференциальных уравнений. В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теория…

ГОУ Гимназия № 000

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Проблемы Гильберта и советская математика

Ефремова Екатерина

Руководитель:

Введение.............................................................................................................................................2

§1. Краткая биография Давида Гильберта.................................................................................4

§2. Прблемы Гильберта..................................................................................................................5

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта........................................ 7

§4. Проблемы, решенные советскими математиками.............................................................9

Заключение......................................................................................................................................10

Список литературы.......................................................................................................................11

Введение

Мой реферат посвящён статье о проблемах Гильберта и советской математике. Статью написал Демидов, а опубликована была в ноябрьском номере физико-математического научно-популярного журнала "Квант" в 1977 году.

Этот журнал для школьников и студентов рассчитывался на массового читателя. Во время выпуска статьи журнал выпускался изданием "Наука". Идею создания "Кванта" первым высказал академик Пётр Леонидович Капица в 1964 году, и только в январе 1970 года вышел в свет первый номер журнала, в котором главным редактором стал академик Исаак Константинович Кикоин. По оценкам экспертов ЮНЕСКО в 1985 году "Квант" являлся уникальным в своём жанре журналом.

Проблемы Гильберта - это список двадцати трёх кардинальных проблем математики, представленные Давидом Гильбертом на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эти проблемы охватывали основания математики (1, 2 проблемы), алгебру (13, 14, 17 проблемы), теорию чисел (7, 8, 9, 10, 11, 12 проблемы), геометрию (3, 4, 18 проблемы), топологию (16 проблема), алгебраическую геометрию (12, 13, 14, 15, 16, 22 проблемы), группы Ли (5, 14, 18 проблемы), вещественный и комплексный анализ (13, 22 проблемы), дифференциальные уравнения (16, 19, 20, 21 проблемы), математическую физику и теорию вероятностей (6 проблема), а так же вариационное исчисление (23 проблема). Тогда эти проблемы не были решены. На данный момент уже решены девятнадцать из двадцати трех, а точнее пятнадцать решены, а остальные четыре имеют только частичное решение. Ещё две не являются корректными математическими проблемами, так как одна сформулирована слишком не четко, что бы понять, решена она или нет, а вторая скорее физическая, а не математическая. Ответ для оставшихся двух (8,16) до сих пор является загадкой.

Но акцент в этой статье делается не на проблемы Гильберта, а именно на советскую математику. В ней рассказывается, что Россия долго не была мощной математической державой, подобно Франции и Германии. К тому времени Россия обладала признанными математическими школами и дала миру выдающихся математиков, таких как Лобачевский и Чебышева. В статье Демидова показывается, как Россия росла в науке, как достигала вершин в математике. Я считаю, что это важно, так как показывается, что не всё даётся сразу, и что всего надо добиваться услиями. Что даже для того, что бы получить всемирное признание учёным пришлось пройти огромный путь в науке.

Эта статья написана по книге, которая рассказывает о достижениях ученых всего мира в решении проблем Гильберта, которая вышла в России в 1969 году. Но я не пишу по этой книге, так как она требует значительной математической подготовки, а для понимания некоторых отделов не хватит даже университетского курса. Так же со времени её издания даже до времени написания статьи очень изменилось положение дел с изучение проблем Гильберта. Математика уже тогда была в стадии бурного развития, она постоянно ставила перед учеными новые проблемы. Это не смотря на то, что многие старые, в том числе и проблемы Гильберта, не нашли своего решения.

Я себе поставила цель изучить именно вклад советских математиков в решение данных проблем и посмотреть, как развилась математическая наука за ХХ век на примере этой статьи.

Я считаю эту тему интересной в первую очередь для себя, и именно поэтому взяла её в основу моего реферата. Мне кажется, что сейчас, понятие математики среди школьников очень поверхностное. Все считают, что уже открыты все возможные теоремы, законы. Но это далеко не так. С каждым днём математика идет вперед, не стоит на месте. А в данной статье показано, кок она развивалась, как её развивали наши соотечественники. И мне кажется важно знать, что они сделали для мировой математики.

§1. Биография Давида Гильберта

Давид Гильберт родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии 23 января 1862. Здесь же закончил гимназию Вильзельма и поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем. Позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, почти до конца жизни.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, о которых далее и пойдет речь.

§2. Проблемы Гильберта

“Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным”. – Так начал свой доклад Д. Гильберт на втором математическом конгрессе восьмого августа 1900 года на заседании пятой и шестой секций.

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять - к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь - к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке - проблема континуума - была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них - гипотеза о нулях

дзета-функции - был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, - еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема - задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе, - здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь “представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем”.

На данное время, уже 113 лет спустя озвучки проблем, не решены две знаменитые проблемы. А именно восьмая (о нулях дзета-функции Римана) и шестнадцатая (о предельных циклах). Ученые во всего мира думают над решением данных проблем, но пока не находят решения, и прогнозы пока не очень ясные.

Из всех проблем только двенадцать проблем решено, из них две опровергнуты. Так же три требуют уточнения формулировки, и одна неразрешаема.

Существует ещё интересный факт, что изначально существовало 24 проблемы Гильберта. Но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Задача была обнаружина сто лет спустя, немецким историком в заметках Гильберта. Эта задача была связана с теорией доказательств критерия простых и общих методов. В принципе эта задача тоже является нерешенной, но о ней никто официально не говорил. И следовательно не пробовали ее решать.

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта

Так же в решении этих проблем, помимо многих талантливых математиков из различных стран мира и самого Гильберта, принимали участие и отечественные математики. Россия в то время ещё не была математической державой, как Франция или Германия, но уже обладала математическими школами. Русские делегации на конгрессах были не большими, где-то 9 человек. А это мало, по сравнению с Германией (25) и Францией (90). На данном конгрессе делегация выступила только с одним сообщением «Об исчезновении функции Н нескольких переменных».

Первой работой в России, посвящённой решению проблем Гильберта, считается работа Кагана 1903 года над третьей проблемой. Хоть она и не была решена, но исследования значительно упростили докозательство. Именно с этой проблемы и началось в России активное участие в их решении.

А уже спустя год молодой ученый, в последствии академик, Беренштейн полностью дал решение девятнадцатой проблеме. Разработка этих проблем и принесла определенную известность советским математикам, так как ранее о них мало что знали.

На протяжении всего двадцатого века ученые решали проблемы с разным успехом. Так в 1929 года Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта, а в 1934 году дал окончательное ее решение. Над данной проблемой трудились и постепенно приходили к выводам некоторые немецкие математики. Именно благодаря совместной работе ученых и была доказана седьмая проблема, как и многие другие.

Восьмая проблема Гильберта состоит из нескольких задач, относящихся к теории простых чисел. Каждый полученный здесь новый факт был событием чрезвычайной значимости. Одна из этих задач - так называемая проблема Гольдбаха: доказать, что всякое целое число, большее или равное шести является суммой трех простых.

Легко найти требуемые разложения для небольших чисел:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Но проверять эту гипотезу на больших чисел долгое время не удавалось. К решению проблемы не удавалось найти никаких подходов. Дошло до того, что на Международном конгрессе математиков 1912 года был доклад о невозможном решении данной проблемы. Тем более сенсационным стал результат замечательного советского математика академика, сумевшего в 1937 году решить проблему для нечетных чисел. Этот результат, а также метод его получения относят к числу наиболее выдающихся математических достижений XX века. Метод этот успешно применялся в дальнейшем для решения многих задач теории чисел. В 1946 году академик дал другое доказательство теореме с привлечением методов теории функций комплексного переменного.

Можноподробно рассказывать о многих Российских ученых, которые внесли свой вклад в решении этих проблем, потому что даже небольшая находка в решении проблемы уже много значила и приближала к её решению.

§4. Проблемы, решенные советскими математиками

Список проблем, решенных совесткимим математиками, или к решению которых они приблизились:

1. Исследование 1903 года, который значительно сократил и упростил решение третьей проблемы Гильберта;

2. В 1904 году дал решение девятнадцатой проблемы

3. Им же в работах 1908-1909 годов были получены важные результаты, связанные с двадцатой проблемой;

4. В 1929 году дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта;

5. занимался шестнадцатой проблемой Гильберта и в 1933 году он решил одну из этих задач;

6. В 1934 году дал окончательное решение седьмой проблемы;

7. Делали успехи в решение пятой проблемы и, доказавшие проблему соответственно в 1934 и 1946 года для очень важных случаев, хоть и не решили её полностью;

8. Результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году;

9. в 1937 году решил часть восьмой проблемы для нечетных чисел;

10. Одно из самых замечательных доказательств второй проблемы получил в 1943 году академик;

11. В работе 1949 года (совместно с) обобщил свой результат по девятнадцатой проблеме;

12. В 1954 году академиком и были достигнуты успехи в решении тринадцатой проблемы;

13. В 1960 году ленинградскими математиками и было получено “смыкание” результатов по девятнадцатой и двадцатой проблемам Гильберта;

14. Десятую проблему окончательно решил в 1970 году;

Заключение

Проблемы Гильберта – одна из самых сложных задач всемирной математики. Но их решение помогло развить математику России почти из ничего и до всемирной известности. Если в начале XX века были известны лишь несколько математиков, то к концу Россию знали как великую математическую державу. Были образованы школы и университеты с математическими направлениями. Математика находится сейчас в стадии бурного развития, она постоянно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многие старые (в том числе некоторые из проблем Гильберта) до сих пор не нашли своего решения. Многие видят математику как «мертвую науку», но это не так. Математики постоянно ее развивают.

И наличие определенных проблем показывает, что у математики тоже есть своя история. Причем изучая данные проблемы я поняла, что эта история очень интересная. Я для себя узнала много нового, для многих математика – это просто набор формул и доказательств, теорем и аксиом . Так вот, математика это живая наука. Как мир живет и каждый день входит в историю, так и математика пишет свою историю.

Так же я увидела, как много значил ХХ век для математики, а в частности для математики в России. Ведь так много изменилось за это столетие. Произошел невероятный скачек в науке, в том числе и благодаря советским математикам.

Список литературы

1) Болибрух «Математическое просвещение» Выпуск 2. «Проблемы Гильберта (100 лет спустя)». // Москва, 1999 год.

2) Демидов С. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант". // Москва, Ноябрь, 1977 год.