Для получения результата ребенок может воспользоваться лю­бой из упомянутых выше моделей.

При больших значениях делимого и делителя этот прием не­удобен. Например: 72 горшка с цветами расставили на 8 окон. Сколько горшков на каждом окне?

Находить результат, используя предметную модель в этом слу­чае неудобно.

2. Прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов ум­ножения и деления

В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимо­связанной тройки случаев, например:

7-9 = 63 63:7 = 9 63:9 = 7

Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный - это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умноже­ния, то используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи.

Особые случаи умножения и деления

1. Умножение и деление с 0 и 1.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100.

3. Деление с остатком.

4. Приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.

1. Умножение и деление с О и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рас­сматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деле­ния, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Для обоснования матема­тического смысла этих случаев в определении действия умноже­ния оговорены два дополнения, определяющие способ получения результата в этих случаях.

По определению умножение целых неотрицательных (натураль­ных) чисел - это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а 1 = а, при Ь = 1 а-0 = 0,приЪ = 0

Поскольку фраза: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению т. е. сообщают детям, что умножая любое число на 1 получаем в произведении это же число; а умножая любое число на 0, получаем в произведении 0.

В общем виде эти правила оформляются в буквенном выражении:

| ах1 = а | | ах0 = 0 |

Соответствующие правила предлагаются детям для запоми­нания:

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

Аналогичным образом вводится правило: На нуль делить нельзя!

В отличие от этих правил, способы деления числа на само себя с получением числа 1 в результате, а также способы умножения числа 1 на любое число и способы умножения числа 0 на любое число возможно объяснить ученику начальной школы, используя имеющиеся у него знания.

Например, для объяснения случая 1 7 обратимся к смыслу дей­ствия умножения как суммирования одинаковых слагаемых. В дан­ной записи первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель сколько раз, таким образом:

1-7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

Для объяснения случая 0 5 воспользуемся тем же приемом:

Для объяснения случаев вида а: а = 1 (если а Ф 0), а: 1 = а, О: а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.

Например, рассмотрим случай 13: 13 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 13, найдем частное методом подбора с после­дующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 1, поскольку 1 13 = 13. Значит, 13: 13 = 1.

Рассмотрим случай 27: 1 =*...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель - число 1, найдем частное методом подбора с последую­щей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 27, поскольку 27 1 = 27. Значит, 27: 1 = 27.

Рассмотрим случай 0:8 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим дели­мое». Делитель - число 8, найдем частное методом подбора с по­следующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го - это 0, поскольку 0-8 = 0. Значит, 0:8 = 0.

В общем виде эти закономерности оформляются в буквенном виде:

а:а = 1 а:1=а 0:а = 0

и в виде словесного правила:

При делении числа на то же самое число получается 1.

При делении числа на 1 получается то же самое число.

При делении нуля на любое другое число получается 0.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100

К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20 3, 18 3), а также случаи деления двузначного числа на одно­значное, не входящие в число табличных (80: 4, 96: 6) и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80: 40, 96: 16). Эти случаи рассматриваются как случаи устных вычисле­ний, и предполагается, что ребенок выполняет их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя извест­ные ему правила и законы арифметических действий и знание таб­личного умножения и деления.

Используемые математические законы и правила

Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деле­ния необходимо рассмотреть следующие правила арифметических действий:

1) правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму;

2) правило деления суммы на число;

3) правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).

Рассмотрим каждое из этих правил и обоснуем их использова­ние при устных внетабличных вычислениях.

Правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму

Эти два правила являются двумя вариантами раскрытия смыс­ла распределительного свойства умножения относительно сложе­ния. В буквенном виде эти варианты могут быть записаны следую­щим образом:

Реально знакомство детей с этими двумя вариантами одного и того же правила разведено во времени почти на целый год: пер­вое правило лежит в основе обучения детей умножению дву­значных чисел на однозначные в теме «Внетабличное умножение и деление» в 3 классе, а второе правило лежит в основе способа действия при умножении двузначного числа на двузначное при ум­ножении в столбик в 4 классе.

В основе разъяснения правила умножения суммы на число ле­жит опора на знание конкретного смысла действия умножения.

Рассматривая два способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при обоих способах вычислений одинаков.

Следует отметить, что первый способ вычислений не требует спе­циальных объяснений и введения нового правила, поскольку он подчиняется общим требованиям к порядку выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Особо следует оговорить второй способ, поскольку при таких вычислениях фактически нарушается установка на выполнение действия в скобках первым. Именно поэтому при знакомстве детей с этим правилом в 3 классе снова возвращаются к предметным кар­тинкам, позволяющим получить результаты действий пересчетом. В данном случае пересчет фигурок является тем единственным аргументом, который учитель может привести в подкрепление пра­вомочности такого нарушения устоявшегося правила (действие в скобках выполняется первым).

Введение правила таким образом является нестрогим, эмпи­рическим (т. е. опирающимся на непосредственный практический опыт). Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообраз­ны в начальной школе.

На этом уроке мы выясним, как связаны между собой умножение и деление. Так же мы научимся вычислять периметр квадрата.

Мы уже знаем, что действия сложения и вычитания связанны между собой. Если из суммы вычесть первое слагаемое, то мы получим второе слагаемое. И наоборот, если из суммы вычесть второе слагаемое, то мы получим первое слагаемое. (Рис. 1).

Рис. 1. Связь сложения и вычитания

Теперь давайте попробуем выяснить, связаны ли между собой действия умножения и деления. Давайте составим выражение на умножение и попробуем вычислить его результат. Поможет нам в этом иллюстрация.

Давайте представим это в виде рисунка. (Рис. 2).

Рис. 2. 4 умножить на 2

4 умножить на 2. Это значит, что 4 круга нужно повторить 2 раза. Сколько получится?

Теперь давайте составим выражение на деление, используя при этом иллюстрацию.

Посмотрите на равенство. С его помощью составьте выражение на деление. Равенство:

Нам нужно выяснить, связано ли между собой умножение и деление.

Давайте попробуем произведение разделить на первый множитель.

Это значит, что число 8 нужно разделить на 4 группы. Сколько кругов будет в каждой группе?

Ответ: 2 круга. (Рис. 3).

Рис. 3. Деление числа 8 на 4 группы

Это значит, что 8: 4 = 2.

Продолжим наше наблюдение. Составим из равенства 4 ∙ 2 = 8 еще одно выражение на деление.

Это значит, что теперь число 8 нужно разделить на две одинаковые части. (Рис. 4).

Рис. 4. Деление числа 8 на две одинаковые части

В каждой части у нас по 4 круга. Это значит, что:

Посмотрите на выражения:

Если произведение разделить на первый множитель, то мы получим второй множитель. И наоборот, если произведение разделить на второй множитель, то мы получим первый множитель. Это значит, что умножение и деление связаны между собой.

Теперь давайте используем знания о связи между умножением и делением для решения задачи.

Посмотрите внимательно на рисунок. (Рис. 5).

Рис. 5. Квадрат

На нем изображена геометрическая фигура - квадрат. Давайте найдем периметр квадрата.

Что такое квадрат?

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. А если квадрат - это тоже прямоугольник, подходит ли формула для нахождения периметра прямоугольника

(a + b ) ∙ 2 для нахождения периметра квадрата?

Давайте это выясним. Сначала найдем сумму длин сторон квадрата методом сложения.

Длина стороны квадрата ABCD - 5 см. (Рис. 6).

Рис. 6. Длина стороны квадрата ABCD

Для того чтобы узнать периметр, нужно узнать сумму всех сторон. С помощью сложения это выглядит так:

Вы заметили, что мы находили сумму одинаковых слагаемых. Это значит, что мы можем сложение заменить умножением. Давайте это сделаем.

Каждое слагаемое было равно 5, и этих слагаемых было 4.

Поэтому выражение на нахождение суммы мы можем заменить выражением на нахождение произведения.

5 + 5 + 5 + 5 = 5 ∙ 4

Это значит, что для нахождения суммы длин сторон квадрата нужно длину его стороны умножить на количество сторон.

Теперь давайте выведем формулу для нахождения периметра квадрата.

Для того чтобы найти периметр квадрата, нужно длину его стороны, какой бы она ни была, умножить на 4. (Рис. 7).

Рис. 7. Формула для нахождения периметра квадрата

А если известен периметр квадрата, как поступать в этом случае?

Теперь мы знаем формулу, с помощью которой мы можем найти периметр квадрата. Зная эту формулу, мы можем найти и периметр квадрата, и его сторону.

Действуя по формуле а ∙ 4, мы можем найти периметр квадрата. Значение длины стороны квадрата 5 см мы умножаем на 4 - количество сторон квадрата.

5 ∙ 4 = 20 (см)

А как поступать в случаях, если известен периметр квадрата, а нужно найти его сторону?

Периметр квадрата - это сумма длин сторон квадрата. Количество сторон квадрата - четыре. Поэтому для того, чтобы узнать значение стороны, нужно периметр разделить на известный множитель. Известный множитель - 4, количество сторон у фигуры. Периметр - 20.

20: 4 = 5 (см)

Мы уже знаем, как находить периметр другой геометрической фигуры. Давайте вспомним формулу для нахождения периметра прямоугольника.

Периметр прямоугольника

Вычислить периметр фигуры - значит, узнать сумму длин его сторон. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого стороны попарно равны. У прямоугольника ABCD равны противоположные стороны.

Для того чтобы узнать периметр прямоугольника ABCD, нам нужно сначала узнать полупериметр. Полупериметр - это сумма двух сторон прямоугольника (AB + BC). Так как у нас таких сторон по 2. Поэтому полупериметр нужно умножить на 2. Это значит, что формула для нахождения периметра прямоугольника ABCD (Рис. 8):

Рис. 8. Формула для нахождения периметра прямоугольника

Для того чтобы найти периметр или сумму всех сторон, нужно сначала найти полупериметр. Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины фигуры. Затем умножаем полупериметр на 2, потому что стороны прямоугольника попарно равны. (Рис. 9).

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Также, необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.

Содержание урока

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке . Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого , множителя и произведения . Например, в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:

Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.

Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители . Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

3 × 5 = 15

Теперь поменяем местами сомножители:

5 × 3 = 15

В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:

a × b = b × a

где a и b — сомножители

Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза» . Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.

Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

Примеры применения закона умножения на ноль:

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.

Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают короче: −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из . Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно решение записывают покороче:

12 × (−5) = −60

Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Запишем решение покороче:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

Заключим его в скобки:

(4 × (−2) )

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

Всё это приравняем к нулю:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

−12 + (−8) = −20

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Запишем решение покороче:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Запишем решение покороче:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого , делителя и частного . Например, в выражении 8: 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль.

Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2.

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10: 5 = 2

Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6

Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8: 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5: 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

При b ≠ 0

Число a можно разделить на число b , при условии, что b не равно нулю.

Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12: 4. Значение этого выражения равно 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4 ) : (4 × 4 )

(12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48: 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12: (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

Обычно записывают покороче:

12: (−2) = −6

Пример 2. Найти значение выражения −24: 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

Запишем решение покороче:

Пример 3. Найти значение выражения −45: (−5)

Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

Запишем решение покороче:

−45: (−5) = 9

Пример 4. Найти значение выражения −36: (−4) : (−3)

Согласно , если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3

Первое действие:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

Второе действие:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

Запишем решение покороче:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

В начале октября на базе Ярославского института развития образования прошел научно-практический семинар для учителей начальных классов и методистов кафедр начального образования институтов повышения квалификаций, работающих по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.
Семинар был организован и проведен издательством «Вита-Пресс» при поддержке Национального Фонда подготовки кадров. В семинаре приняли участие педагоги из самых разных регионов России: Казани, Нижнего Новгорода, Костромы, Саратова, Пскова, Вологды, Тулы, Чебоксар, Брянска, Владимира, Иваново, Самары, Тольятти, Санкт-Петербурга и области, Волгограда и т.д. Были приглашены авторы практически всех предметных курсов: Э.И. Александрова (математика), Е.В. Восторгова (русский язык по программе В.В. Репкина и др.), С.В. Ломакович (русский язык), Е.В. Чудинова (окружающий мир), Е.И. Матвеева (литературное чтение).
В этом году в Ярославле впервые была опробована необычная форма научно-практического семинара: участники имели возможность не только пообщаться с авторами учебников, но и посмотреть на то, как авторские идеи воплощаются в реальном учебном процессе, на уроках лучших ярославских учителей, обсудить и проанализировать увиденное.
Каждый день семинара был чрезвычайно насыщенным и интересным. При обсуждении звучали разные мнения не только по вопросам теории и методики различных предметов, их специфики в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, но и в отношении особенностей организации собственной деятельности учащихся, выбора различных форм организации детских действий (фронтальной, групповой работы, общеклассной дискуссии и пр.).
Один из уроков, показанных в рамках этого семинара, предлагается вашему вниманию.
Текст урока сопровождается методическим комментарием Эльвиры АЛЕКСАНДРОВОЙ, автора учебника по математике.

Оборудование. Учебник математики Э.И. Александровой (изд-во ВИТА-ПРЕСС); квадраты: белый, зеленый, красный, синий.

I. Учебная ситуация успеха

Учитель. В жизни каждому человеку надо уметь хорошо мыслить.

Жанр открытого урока предполагает введение гостей в тематику данного урока. Именно поэтому учитель обращается к детям с такими вопросами. На простом уроке эти вопросы не нужны.

– С какими величинами мы работаем на уроках математики?
Какие операции выполняем с величинами?

Дети. Сравниваем, складываем, вычитаем.

У. Как фиксируем способы действия с величинами?

Д. Моделируем графически и с помощью знаков.

У. Я предлагаю вам решить эти задачи. Здесь четыре варианта заданий. Прочитайте их внимательно и выберите себе любое.

На доске четыре варианта заданий, причем каждое записано своим цветом. У детей на партах квадраты, соответствующие цвету.

На доске:

В начале урока учитель показал нетрадиционную форму выбора задания. Дети, решив задание, показывают карточку с соответствующим заданию цветом. По цвету они находят группу, сверяют решение, выбирают одного представителя от группы, который записывает решение на доске.

Задача 1

Д. В коробке конфеты лежали в 3 ряда по 5 конфет. Сколько конфет в коробке?

Задача 2

Д. Допустим, в букете 9 роз, значит, чтобы узнать, сколько роз в 5 таких букетах, надо по 9 взять 5 раз.

Задача 3

Д. Предположим, мерка Е равна площади двух клеток, тогда по формуле нужно построить новую мерку, в которую входит 6Е , то есть мерку М , а число 4 рассказывает, сколько таких мерок М помещается в величине.

Задача 4

Важно, чтобы дети понимали, что число в треугольнике указывает на то, сколько маленьких мерок входит в одну большую, то есть о новой мерке, которая является частью целого.
Число в квадрате рассказывает, сколько новых больших мерок вместилось в измеряемой величине, то есть количество частей.

Дети, которые вышли к доске, объяснили, как они решали.
Важно отметить, что ребята, выполняя каждое из этих заданий, стремились сразу вычислить результат с помощью сложения.
Такая форма работы очень ценна. Когда дети выбирают задания, то учитель всегда может поинтересоваться – почему именно это? Таким образом учитель сможет понять мотив детей. Например, это задание трудное, поэтому интересное. Если ни один ребенок не выбирает это задание, то возможны два варианта: оно легкое – "не хочу делать"; сложное – "не могу делать"! Это самый тревожный симптом!

У. Какие задания вы выполняли?

Д. И разные, и одинаковые.

У. Что у них общего?

Пауза.
Почему возникла пауза? Либо дети не поняли задание, либо необходимо что-то обсудить в группе.
Чтобы выяснить причину, надо узнать в первую очередь: принята ли ими задача, понятно ли, о чем идет речь? О чем вы намерены разговаривать? Понятно, о чем, – рассуждайте!

Д. Задания заканчиваются формулой; действие – умножение.

У. Все ли операции с величинами, известные в математике, мы умеем выполнять?

Д. Не знаем.

II. Постановка учебной задачи

У. Давайте выполним такое задание. Откройте свои учебники на странице 32, задача 64.
Когда мерку длиной 3 см отложили несколько раз, получился отрезок, равный 12 см. На какие части нужно разделить отрезок, чтобы узнать, сколько раз откладывали мерку?

Дети начинают практическую работу по решению данной задачи в парах: изображают схематично мерку длиной 3 см. Кто-то чертит дальше, используя линейку, кто-то вырезал эту мерку и отложил ее несколько раз.
Детям нужно составить уравнение. Сначала ребята нарисовали условную мерку, рядом подписав: 3 см, а потом ниже нарисовали отрезок, фактически состоящий из четырех таких мерок, соответствующих длине отрезка в 12 см.

Характерно, что дети не стали обозначать отрезок "дужками" и обозначать число так, как это принято показывать на схеме при решении задач :

Фактически дети считали, сколько раз эта мерка длиной 3 см уместится в отрезке длиной 12 см.
Тем не менее, опираясь на эту схему умножения – деления, дети смогут решать текстовые задачи, в которых речь идет не только о длине, но и о других величинах, например, задачи на движение, где речь идет о скорости, времени и пройденном пути, куплю-продажу (где речь идет о цене, количестве и стоимости), на производительность труда, на бассейны и т.д.

III. Анализ и моделирование

На доске запись выглядела так:

У. Интересно, кто же прав в рассуждениях? Давайте перечитаем задание.

Д. По 3 взять 4 раза.

У. Равно 12?

Д. Да.

У. Это правильное равенство?

Д. Да. А в учебнике же написано: составить уравнение.

У. А уравнение – это равенство?

Д. В уравнении должно быть неизвестное, а здесь его нет. Значит, надо было записать

.

У. Как решить это уравнение? Какое действие надо выполнить?

Ребенок у доски записывает.

– Нам нужен знак.

У. Придумайте знак.

Д. Это две точки – деление, я знаю. (Этот ребенок пришел из другой школы .)

У. А кто-нибудь еще знает об этом знаке?

Д. Да, это деление.

У. А как вы узнали?

Д. Из учебника.

У. Кто просматривает учебник вперед?

Дети поднимают руки.
Если дети с удовольствием заглядывают вперед, интересуются тем, что будут изучать, то это означает, что у них сформированы учебно-познавательный интерес.

У. Как вы сосчитали?

Д. Можно найти х – вычитанием. По 3 вычитать из 12 и считать сколько раз по 3 вычтем: 12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0, значит, 4, но удобнее складывать по 3.

Дети предложили такой способ потому, что им складывать легче, чем вычитать.

IV. Конкретизация нового способа действия

У. А как вы думаете, есть ли связь между делением и вычитанием?

Д. Да, вычитаем каждый раз одно и то же число.
– Сложение и вычитание связаны. Вычитание – это обратная операция для сложения, значит, деление – обратное действие для умножения.

У. Верно. Можно ли деление выполнять с опорой на умножение?

Д. Да, а результат можно найти складыванием числа.

У. Решите такое выражение: 8: 4.

Д. Два; четыре плюс четыре равно восемь.

У. 90: 30.

Д. 3; 30 + 30 + 30, 30 взяли 3 раза.

Для связи между действиями умножения и деления детям нужно предлагать такие задания: известно, что 1264 ґ 57 = 72048.

Вычислите:
72048: 57 =
72048: 1264 =

Если дети видят связь, то они могут это сделать.

V. Итог урока

У. Предлагаю в группах обсудить и сказать, какова же тема сегодняшнего урока.

Д. Новое действие – деление.

У. Вы придете домой и расскажете, какова была тема урока, что вы узнали про это действие. Кстати, что вы расскажете родителям?

Д. Деление – это действие, обратное умножению.

– Результат мы можем найти вычитанием.

На доске:

– А еще можно через сумму

VI. Домашнее задание

У. Дома придумайте или подберите задачи на деление.

В конспекте урока, предлагаемого вашему вниманию, вы без труда увидите логику развертывания математического содержания и значение предлагаемых заданий для дальнейшего изучения математики, для раскрытия смысла действий умножения и деления, для решения текстовых задач и уравнений. Однако эффективное овладение материалом возможно лишь при умелой организации учебных форм сотрудничества детей.
Ситуация успеха здесь создается за счет работы с материалом, знакомым детям.
Первый этап урока связан с ситуацией успеха, он предполагал индивидуальную форму работы, но при этом, выполнив задание, каждый ученик имел возможность соотнести свой способ решения со способом решения у других детей. Дети с помощью цветных карточек объединялись в группы для обсуждения и сопоставления результатов своей работы. Характерно, что обсуждение начиналось в паре, а завершалось в группе и таким образом, выглядело так:

На втором и третьем этапах урока при постановке учебной задачи форма работы была другой. Сначала в парах обсуждалось решение задач, затем в рамках групповой работы обсуждались полученные результаты.
На четвертом этапе учащиеся перешли к индивидуальной работе, а на пятом этапе – фронтальной работе.