Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Сегодня мы продолжаем изучать задачи на экстремум функции из ЕГЭ по математике. И вновь перед нами довольно сложный пример, где придется считать производную частного.

Найдите точку максимума функции:

Алгоритм решения

Перед тем, как решать эту задачу, давайте вспомним, как вообще решаются все примеры на поиск экстремума функции. Обратите внимание: не наибольшего и наименьшего значения, а именно точки экстремума функции.

Первый шаг будет один и тот же: нужно найти производную функции:

Второй этап в этих задачах тоже одинаковый: мы приравниваем ${y}"$ к нулю и находим какие-то $x$:

\[{y}"=0;{{x}_{1}},{{x}_{2}}...\]

А вот третий этап уже существенно отличается от того, что мы делали при решении примеров на нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Напомню, что раньше мы выбирали те значения, которые лежат на заданном отрезке. Но в нашем примере, во-первых, вообще нет никакого отрезка, а во-вторых, отбор корней нам никак не поможет в поисках точки экстремума функции. Поэтому в задачах на поиски точки экстремума функции на третьем этапе мы чертим координатную ось $x$ и отмечаем на ней все корни, а затем смотрим на знаки производной между ними. Там будет стоять либо плюс, либо минус. Как именно искать эти корни, и какие значения лучше всего подставлять в ${y}"$ — обо всем этом мы будем говорить при решении конкретного примера.

Наконец, четвертым шагом мы внимательно смотрим на каждый из наших корней и вспоминаем замечательное правило: если в каком-то корне ${y}"$ меняет свой знак с плюса на минус, то это означает, что эта точка является точкой максимума, т. е. как раз той точкой экстремума, которую от нас требуется найти в условие задачи. А если в заданной точке экстремума функции минус переходит в плюс, то данный корень является точкой минимума.

Шаг 1: Считаем производную частного

Перед нами производная частного, поэтому напомню следующую формулу:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot \text{g}-\text{f}\cdot \text{{g}"}}{{{g}^{2}}}\]

Вот такая на первый взгляд сложная формула, но на самом деле в ней нет ничего сложного. Достаточно немножко попрактиковаться, и вы будете считать ${y}"$ частного без каких-либо затруднений. Давайте теперь решать:

\[{y}"={{\left(\frac{{{(x-3)}^{3}}}{{{(x+3)}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left({{(x-3)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x+\text{3}{{\text{)}}^{\text{2}}}-{{\left({{(x+3)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x-\text{3}{{\text{)}}^{\text{3}}}}{{{\left({{(x-3)}^{2}} \right)}^{2}}}\]

Производная сложной функции — частный случай

И вот тут возникает еще один очень тонкий момент: мы видим, что под знаком производной у нас стоит куб разности и квадрат суммы. Многие ученики сразу хотят раскрыть куб разности и квадрат суммы по формулам сокращенного умножения и затем от полученных многочленов найти ${y}"$. Ни в коем случае делать этого не нужно! Потому что если с кубом и квадратом вы еще справитесь, но если вместо 3 или 2 будет стоять 70-ая степень, раскрыть скобки в 70-ой степени вы уже не сможете. Возникает логичный вопрос: а как же тогда поступить? Очень просто. Вспоминаем формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

А теперь замечательное правило: если мы заменяем $x$ на линейное выражение\, то от него мы тоже можем считать ${y}"$ по тому же самому правилу, т. е.

\[\left({{\left(kx+b \right)}^{n}} \right)=n\cdot {{\left(kb+b \right)}^{n-1}}\cdot k\]

Вообще эта формула является частным случаем ${y}"$. Однако в сегодняшнем уроке мы не будем применять тяжелую артиллерию, а просто воспользуемся этой формулой, которая существенно сокращает вычисления. Итак, получим:

\[{y}"=\frac{{{\left({{\left(x-3 \right)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-{{\left({{\left(x+3 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left({{\left(x-3 \right)}^{2}} \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{1}}\cdot \text{1}{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}\]

Отлично, давайте избавимся от лишних множителей в числителе:

\[{y}"=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{1}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1}{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{3{{\left(x-3 \right)}^{2}}{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\left(x+3 \right){{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x-3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{{{\left(x-3 \right)}^{2}}\left(x+3 \right)\left(3\left(x+3 \right)-2{{\left(x-3 \right)}^{1}} \right)}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{{{\left(x-3 \right)}^{2}}\left(x+15 \right)}{{{\left(x+3 \right)}^{3}}}\]

Шаг 2: Приравниваем производную функции к нулю

Теперь переходим ко второму шагу и приравниваем ${y}"$ к нулю, получим:

\[\frac{{{(x-3)}^{2}}(x+15)}{{{(x+3)}^{3}}}=0\]

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В свою очередь, числитель равен нулю, когда

Считаем и получаем:

Это корень второй кратности, потому что изначально множитель стоял во второй степени.

Это корень первой кратности, потому что он был в первой степени.

Это корень тоже нечетной кратности, но в этот раз третьей.

Шаг 3: Отмечаем нули производной на числовой прямой

Прекрасно, мы нашли два значения, в которых ${y}"$ равна 0, а также одно значение, в которой ${y}"$ не существует. Теперь отмечаем все три точки на прямой, т. е. выполняем третий шаг нашего алгоритма:

Обратите внимание! Здесь многие ученики спросят: а зачем мы обще отмечаем -3, ведь она же выколота и, следовательно, ни в коем случае не может являться точкой экстремума? Да. Безусловно, она не может являться экстремумом. Однако знак производной в ней может точно также меняться, как и в ее нулях. И, следовательно, если ее не отметить, мы получим неверную расстановку плюсов и минусов и, как следствие, неправильный ответ. Поэтому помните: на третьем шаге мы отмечаем не только нули, полученные на втором, но также и такие, в которых ${y}"$ не существует. Однако эти значения отмечаются выколотыми, и в дальнейшем решении не участвуют, они влияют только на знак. Давайте найдем его. Для этого отметим на нашей оси кратности корней.

Теперь берем любое число, большее, чем каждый из этих корней, например, 500, и подставляем в наше выражение. Первый у нас получился «плюс». Затем мы проходим через корень 3 — это корень второй кратности, следовательно, при переходе через него знак не поменяется, т. е. останется «плюс». Теперь при переходе через -3, поскольку это корень 3-ей кратности, т. е. нечетной кратности, знак поменяется, мы получим «минус». Затем мы проходим через точку -15. она у нас первой кратности и, следовательно, знак также поменяется, потому что 1 — это нечетное число. Получаем «плюс»:

Шаг 4: вычисление точки максимума

Переходим к последнему этапу. Смотрим: от нас требуется найти точку максимума, т. е. ту точку экстремума, в которой «плюс» поменяется на «минус». На нашем рисунке такая только одна — $x=-15$, слева от нее стоит «плюс», а справа - «минус».

Напомню, что счет этих самых плюсов и минусов всегда идет слева направо, т. е. в ту сторону, куда направленная положительная сторона оси $x$.

Все, можно записывать ответ: $x=-15$.

Выводы: как решать задачи B15 быстро и правильно

В заключении хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых момента в решении этого примера на нахождение экстремума:

1. Первое — это переход от переменной функции к линейно функции\, при этом новая конструкция продолжает считаться с помощью табличных производных, однако в конце добавляется коэффициент $k$.
2. Второй очень важный пункт, на котором многие делают ошибку, состоит в том, что на третьем этапе мы отмечаем на координатной оси $x$ не только корни, но также и те значения, в которых ${y}"$ не существует. При этом нужно понимать, что они отмечаются выколотыми, другими словами, они не могут быть экстремумом функции и не участвуют в дальнейшем решении. Однако знак при переходе через них может меняться, в чем мы лично убедились, когда решали сегодняшний пример: при переходе через -3 знак поменялся с плюса на минус, если считать справа налево.

1- Производная, смысл в разных задачах и свойства

1.1. Понятие производной

Пусть функция у – f (x ) определена на промежутке D . Возьмем некоторое значение X0 D и рассмотрим приращение ∆х : х0 +∆х D . Если существует предел отношения изменения (приращения) функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то он называется производной функции у = f (x ) в точке х = х0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Процесс нахождения производных называется дифференцировани­ем .

Если f "(x ) конечна при каждом x D , то функция у = f (x ) назы­вается дифференцируемой в D . Точная формулировка дифференцируе­мости функции и критерий дифференцируем ости функции будут даны в п. 1.5.

Пользуясь определением производной, получим некоторые правила дифференцирования и производные основных элементарных функций, которые затем сведем в таблицы.

10. Производная константы есть нуль:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Действительно,

В частности,

30 . Для функции у = х­­­2 производная у’ =2х.

Для вывода этой формулы найдем приращение функции:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Используя формулу бинома Ньютона, можно показать, что для степенной функции

1.2. Понятие односторонней производной

В основах математического анализа для функции у =f (х) были введены понятия левого и правого пределов в точке а :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

правосторонняя производная -

Напомним, что для существования конечного предела функции у = f (x ) в точке х = а необходимо и достаточно, чтобы левый и пра­вый пределы функции в этой точке были конечны и равны:

(x - 0) = f ’(x + 0).

1.3. Понятие производных высших порядков

Пусть для функции у = f (x ) , определенной на множестве D , су­ществует производная у" = f "(x ) при каждом x D ,т. e. производная является функцией и для нее можно ставить вопрос о существовании про­изводной. Производная от первой производной, если она существует - вторая производная данной функции или производная второ­го порядка

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

производная п - го порядка

0, у"" = 0,...у(n) = 0. Для функции у = х2 производная у’ = 2х. Тогда у" = 2, у"" = 0,.., у(n) = 0.

1.4. Геометрическое и механическое истолкования производной

1.4.1. Механический смысл производной. Задача о скорости и ускорении неравномерного движения

Пусть зависимость пути, пройденного телом за время t , описывается функцией s = s (t ), а скорость движения и ускорение соответственно функциями v = v (t ), a = a (t ). Если тело движется равномерно, то, как известно из физики, s = vּt , т. e. v = s / t . Если тело движется рав­ноускоренно и vo = 0, то ускорение a = v / t .

Если же движение не является равномерным и равноускоренным, то средняя величина скорости и ускорения за промежуток времени Δ t , очевидно, равны соответственно.

Пусть v (t )- скорость движения, a (t )- ускорение в момент времени t .

Тогда, Таким образом,

При условии, что последние пределы существуют.

Механический смысл производной: производная пути s = s (t ) no времени t есть мгновенная скорость движения материальной точки, т. е. v (t )= s "(t ). Вторая производная пути по времени - ускорение, т. е. s ""(t )= v "(t )=а(t ).

С введением понятия производной функции, по словам Ф. Энгель­са, в математику пришло движение, так как производная означает скорость изменения любого процесса, например: процесса нагрева или охлаждения тела, скорость протекания химической или ядерной реакции и т. д.

Пример 1.1. Количество электричества (в кулонах), протекающее через проводник, определяется законом Q = 2 t 2 + 3 t + 4 . Найдите силу тока в конце третьей секунды.

Решение. Сила тока I = Q " = 4 t +3. При t = 3 I =15 k /с=15 А.

1.4.2.3адача о касательной. Геометрический смысл производной

Пусть функция у = f (x ) определена и непрерывна в точке х = х0 ­­­­ и в некоторой окрестности этой точки. Выясним геометрический смысл производной функции.

Для решение данной задачи поступим следующим образом. Возь­мем на графике функции (рис. 1.1) точку М(х0 + Δх, у0 + Δу) и проведем секущую М0М. Устремим точку М к точке М0, т. е. Δх → 0. Точка М() неподвижна, поэтому секущая в пределе займет положение касательной К.

Касательной к графику функции у = f (x ) e точке M 0 называется предельное положение секущей М0М при условии, что точка М стре­мится к точке М0 по кривой Г f - графику функции y = f (x ).

Тогда угловой коэффициент секущей М0М

в пределе станет равным угловому коэффициенту касательной:

{ x 0 ) = tgα , где α - угол меж­ду касательной и положительным направлением оси Ох (см. рис. 1.1).

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой, про­ходящей через точку (х0, у0 ) и имеющей угловой коэффициент k будет

у – у0 = k (х-х0).

Тогда, с учетом геометрического смысла производной, уравнение касательной (К) к графику функции у = f (x ) в точке (х0,у0) имеет вид

(К) у = f (x 0 ) + f "(x 0 )(x - x 0 ).

Уравнение нормали (N ) - перпендикуляра к касательной в точке касания:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(О(х) - о -малое от Δх).

Теорема. Для того чтобы функция у = f (х) была дифференцируе­мой в точке x D ), необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке име­ла конечную производную у’ = f "(x ).

Доказательство . Необходимость. Пусть функция y = f (x ) дифференцируема в точке x D , т. е. выполнено соотношение (1.1). Тогда, по определению производной, с учетом (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Тогда на основании теоремы о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из кото­рых пропорционально приращению аргумента Δх с коэффициентом пропорциональности f ’(х), а второе - является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δх , т. е выполнено (1.1), и, стало быть, функция дифференцируема в точке x D .

Заметим, что соотношение

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1, у"(+0)=1, но функция непрерывна при х = 0.

1.6. Правила дифференцирования

1 . Дифференцирование алгебраической суммы функций. Алгеб­раическая сумма конечного числа дифференцируемых функций есть диф­ференцируемая функция, при этом производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных. Например: для двух функций

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Рассмотрим изменение функции и ± v при изменении аргумента Δх:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Так как предел каждого слагаемого по условию существует и конечен, то предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов. т. е. функция (и ± v ) дифференцируема в произвольной точке х и (u ± v )" = u ’ ± v ’ . Утверждение доказано.

2°.Дифференцирование произведения функций . Произведение двух дифференцируемых функций есть функция дифференцируемая, при этом производная произведения равна произведению производной первого со­множителя на второй без изменения плюс первый сомножитель, умножен­ный на производную второго:

(и v ) = и" v + uv".

Приведенное правило легко может быть обобщено и произведение любого конечного числа дифференцируемых функций, например.

Доказательство. По условию в произвольной точке x D

При изменении Δх изменение функции

представим в виде

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Так как в силу дифференцируемости, а

lim Δ v = 0 в силу непрерывности функции, то по свойствам пределов

Δх → О

(uv)" = u"v + uv".

Как следствие правила дифференцирования произведения функций пред­лагаем читателям получить производную степенной функции ип, n N :

(и n )’ = nun -1 и’

3°.Следствие из 2°. Постоянный множитель можно вынести за знак

производной:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Доказательство. При изменении Δх рассмотрим изменения дифференцируемых функций и = и(х), v = v(x) ≠ 0:

Δи = [и(х + Δх) - и(х)], Δv = [ v (x + Δх) - v (x)].

Измененные значения функций будут: и + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Функции и = w(x),v = v(x) ≠ 0 дифференцируемы по условию, а, стало быть, и непрерывны, т. е.

По свойствам пределов

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Дифференцирование сложной функции . Пусть функция у = f (и ) дифференцируема по х , функция и = и(х) дифференцируема по х . Тогда сложная функция у = f (u (x )) дифференцируема по х , и

у"= f "(u )∙ u "

Доказательство . В силу дифференцируемоcти функций f (u ), u (x ) и свойств пределов

F(u)-u"(v)"v"(x).

70­­. Дифференцирование обратной функции . Пусть функция у = f (x ) дифференцируема по х и у"х ≠ 0. Тогда обратная функция х = g (у ) дифференцируема по у и х"у =1/у"х

Доказательство. Действительно,

Для удобства в использовании основные правила дифференцирования представим в таблице 1.

Таблица 1

Правила дифференцирования

Номер формулы
	с = const, с" = 0.
	(u ± v )" =u "± v ", и = и(х), v = v (x ).
	(u ∙ v) = c ∙ v" + u ∙ v" .
	(c ∙ v)" = c ∙ v", с = const.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g{y)=>x" у =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Используя определение производной функции и правила дифференци­рования, найдем производные основных элементарных функций, которые представлены ниже в таблице 2.

Таблица 2

Производные основных элементарных функций

	Простые функции	Сложные функции