Треугольник ABC – прямоугольный (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD и DА – проекции катетов ВС и АС на гипотенузу АВ. Теоремы: 1) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. ; 2) каждый катет – средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. , .
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
|
Теорема. Если через точку, взятую внутри
круга, проведены диаметр и произвольная хорда,
то произведение длин отрезков диаметра рав-
но произведению длин отрезков хорды, т.е. (рис. 12).
|
Следствие. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, т.е.
Теорема. Если из точки вне круга проведены касательная и се-кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. (рис. 13).
|
Определения. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Из точки А вне окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания 16 см, а от А до одной из точек пересечения секущей с окружностью 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
|
На рис. 14 АВ – касательная к окружности с центром O, AD – се-кущая. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, OК = 5 см. По теореме о касательной и секущей или , АС = 8 см. см. По теореме о хордах, пересекающихся внутри круга, , но DK = KC, так как EP – диаметр, перпендикулярный хорде DС. Получим . Заменим в этом равенстве ЕК на , КР на , DК на 12, получим: OE = 13 см – искомый радиус.
104. Стороны прямоугольника 30 и 40 см. Найдите расстояние
от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину.
105. Периметр ромба равен 1 м. Одна диагональ длиннее другой на
1 дм. Вычислите диагонали ромба.
В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 36 и 48 мм, расстояние между ними 42 мм. Вычислите радиус круга.
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5: 6, гипотенуза 122 см. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
Касательная и секущая, проведенные из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.
К окружности с радиусом 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Найдите расстояние между точками касания.
Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм, хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Найдите радиусы окружностей.
Радиус окружности 7 см. Из точки, удаленной от центра на
9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью на равные части. Найдите длину этой секущей.
Касательная к окружности равна 20 см, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус.
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, длина которой а, а её внутренний отрезок больше внешнего на длину касательной. Найдите длину касательной.
В круг радиусом R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Найдите высоту треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 48 и 30 дм. Вычислите радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия
10. Теоремы о пропорциональных линиях
Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.
Доказательство. Требуется доказать, что
.Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны (вследствие параллельности прямых). Из их подобия следует:
Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D"E" , отрезок EN на E"F" (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.
Теорема. Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
.Обратная теорема. Если какая-нибудь сторона треугольника разделена на две части, пропорциональные двум прилежащим сторонам этого треугольника, то прямая, соединяющая точку деления с вершиной противолежащего угла, есть биссектриса этого угла
.Теорема. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в некоторой точке, то расстояния от этой точки до концов продолженной стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника
.Числовые зависимости между элементами треугольника.
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком
.Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.
1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как
Р 1=Р 4 и Р 2=Р 3 (так как их стороны перпендикулярны), следовательно BD:AD=AD:DC.2) Треугольники ABD и AВC подобны, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно BC:AB=AB:DB.
3) Треугольники ABС и ADC подобны, так как они прямоугольные и угол С у них общий, следовательно BC:AC=AC:DC.
Следствие. Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком его
.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
.Следствие. Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы
.Теорема. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты .Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
.Пропорциональные линии в круге.
Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра .Следствие. Если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.
Теорема. Если из точки, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной
.Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
Свойство 1 . Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS BS = CS DS, то есть DS/BS = AS/CS.
Доказательство . Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны.
Вписанные углы DCB и DAB равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Углы ASD и BSC равны как вертикальные.
Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и СSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция
DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS,
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР/СР = DP/BP.
Доказательство . Пусть А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы В и D равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из подобия треугольников следует пропорция АР/СР = DP/BP, что и требовалось доказать.
Свойство биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.
Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:
Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.
Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:
Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).
Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,
Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.
Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим
что и требовалось доказать.
Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.
Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:
Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.
Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.
§ 11. Пропорциональные отрезки в круге .
1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.
2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.
3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.
2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.
4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.
5. АСВ-полуокружность; CD - перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:
1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;
2) определить АВ, если AD: DB= 4: 9 и CD=30;
3) определить AD, если CD=3AD, а радиус равен r ;
4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.
6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.
2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.
3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.
7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.
8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.
9. Построить отрезок, равный: √15 ; √10 ; √6 ; √3 .
10. ADB-диаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.
11. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;
2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;
3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7 / 9 AD.
12. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;
2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.
13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.
14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).
15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?
16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h = 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА (ВС = х ).
17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 40) сделано закругление; при этом оказалось, ; что BС= а = 42,4 м. Определить радиус закругления OA = R.
18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2 1 / 2 раза. Как изменился отрезок MB?
19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая - пополам. Определить длину второй хорды.
2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая- в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.
20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.
21. Секущая ABC повёрнута около внешней точки А так, что внешний её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?
22. Пусть ADB и AЕС-две прямые, пересекающие окружность: первая -в точках D и В, вторая -в точках E и С. Требуется:
1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;
2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;
3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.
23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.
24. МАВ и MCD-две секущие к одной окружности. Требуется:
1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;
2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;
3) определить АВ, если АВ= МС, МА = 20 и CD= 11.
25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b , а их продолжения относятся, как т: п .
26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.
27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.
28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1 / 4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?
29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.
30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.
31. Пусть будет: АВ-касательная и ACD-секущая той же окружности. Требуется:
1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;
2) определить AD, если AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;
3) определить АВ, если AB = CD и АС = а .
32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?
2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?
3) М - наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h 2
Замечание. Так как h 2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈ √2Rh .
33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.
2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.
34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а , а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.
36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.
36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.
37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.
39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.
40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.
41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.
42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.
43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.
44. Радиус равен r , хорда данной дуги равна а . Определить хорду удвоенной дуги.
45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В-хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.
46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с . Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.