100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров . Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации : Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F -критерия Фишера , которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения y раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»: где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов. Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера: Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с

табличным значением F табл(a; k 1; k 2) при уровне значимости a и степенях свободы k 1 = m и k 2= n -m -1.При этом, если фактическое значение F - критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии m =1, поэтому

Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации R2 ее можно рассчитать по следующей формуле:

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров . С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: m b и m a . Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:, где

Величина стандартной ошибки совместно с t –распределением Стьюдента при n -2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала. Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t -критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости a и числе степеней свободы (n-2). Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как b ± t табл ×mb . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака y при увеличении признака-фактора x (b >0), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора (b <0) или его независимость от независимой переменной (b =0), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, -1,5 £ b £ 0,8. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле: Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется t -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при n - 2 степенях свободы.

Оценка значимости параметров уравнения регрессии

Оценка значимости параметров уравнения линейной регрессии производится с помощью критерия Стьюдента:

если t расч. > t кр, то принимается основная гипотеза (H o ), свидетельствующая о статистической значимости параметров регрессии;

если t расч. < t кр, то принимается альтернативная гипотеза (H 1 ), свидетельствующая о статистической незначимости параметров регрессии.

где m a , m b – стандартные ошибки параметров a и b:

(2.19)

(2.20)

Критическое (табличное) значение критерия находится с помощью статистических таблиц распределения Стьюдента (приложение Б) или по таблицам Excel (раздел мастера функций «Статистические»):

t кр = СТЬЮДРАСПОБР(α=1-P; k=n-2 ), (2.21)

где k=n-2 также представляет собой число степенейсвободы.

Оценка статистической значимости может быть применена и к линейному коэффициенту корреляции

где m r – стандартная ошибка определения значений коэффициента корреляции r yx

(2.23)

Ниже представлены варианты заданий для практических и лабораторных работ по тематике второго раздела.

Вопросы для самопроверки по 2 разделу

1. Укажите основные составляющие эконометрической модели и их сущность.

2. Основное содержание этапов эконометрического исследования.

3. Сущность подходов по определению параметров линейной регрессии.

4. Сущность и особенность применения метода наименьших квадратов при определении параметров уравнения регрессии.

5. Какие показатели используются для оценки тесноты взаимосвязи исследуемых факторов?

6. Сущность линейного коэффициента корреляции.

7. Сущность коэффициента детерминации.

8. Сущность и основные особенности процедур оценки адекватности (статистической значимости) регрессионных моделей.

9. Оценка адекватности линейных регрессионных моделей по коэффициенту аппроксимации.

10. Сущность подхода оценки адекватности регрессионных моделей по критерию Фишера. Определение эмпирических и критических значений критерия.

11. Сущность понятия «дисперсионный анализ» применительно к эконометрическим исследованиям.

12. Сущность и основные особенности процедуры оценки значимости параметров линейного уравнения регрессии.

13. Особенности применения распределения Стьюдента при оценке значимости параметров линейного уравнения регрессии.

14. В чем состоит задача прогноза единичных значений исследуемого социально-экономического явления?

1. Построить поле корреляции и сформулировать предположение о форме уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

2. Записать основные уравнения метода наименьших квадратов, произвести необходимые преобразования, составить таблицу для промежуточных расчетов и определить параметры линейного уравнения регрессии;

3. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

4. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

1. Расчет значения линейного коэффициента корреляции;

2. Построение таблицы дисперсионного анализа;

3. Оценка коэффициента детерминации;

4. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

5. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

4. Провести общую оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;

1. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента аппроксимации;

2. Оценка адекватности уравнения по значениям коэффициента детерминации;

3. Оценка адекватности уравнения по критерию Фишера;

4. Провести общую оценку адекватности параметров уравнения регрессии;

5. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

6. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

1. Использование стандартных процедур мастера функций электронных таблиц Excel (из разделов «Математические» и «Статистические»);

2. Подготовка данных и особенности применения функции «ЛИНЕЙН»;

3. Подготовка данных и особенности применения функции «ПРЕДСКАЗ».

1. Использование стандартных процедур пакета анализа данных электронных таблиц Excel;

2. Подготовка данных и особенности применения процедуры «РЕГРЕССИЯ»;

3. Интерпретация и обобщение данных таблицы регрессионного анализа;

4. Интерпретация и обобщение данных таблицы дисперсионного анализа;

5. Интерпретация и обобщение данных таблицы оценки значимости параметров уравнения регрессии;

При выполнении лабораторной работы по данным одного из вариантов необходимо выполнить следующие частные задания:

1. Осуществить выбор формы уравнения взаимосвязи исследуемых факторов;

2. Определить параметры уравнения регрессии;

3. Провести оценку тесноты взаимосвязи исследуемых факторов;

4. Провести оценку адекватности выбранного уравнения регрессии;

5. Провести оценку статистической значимости параметров уравнения регрессии.

6. Осуществить проверку правильности проведенных вычислений с помощью стандартных процедур и функций электронных таблиц Excel.

7. Провести анализ результатов, сформулировать выводы и рекомендации.

Задания для практических и лабораторных работ по теме «Парная линейная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях».

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
x	y	x	y	x	y	x	y	x	y

Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
x	y	x	y	x	y	x	y	x	y

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе

F-критерия Фишера:

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Еxcel. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном v1 = k = 2 и v2 = n – k – 1= 50 – 2 – 1 = 47, составляет 0,051.

Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.

Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.

Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:

1) наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например α = 0,05, и числа степеней свободы df = n – k – 1, где n – число наблюдений, а k – число факторов в модели);

2) Р-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α = 0,05;

3) доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.

Значимость коэффициентов a 1 и a 2 проверим по второму и третьему способам:

P-значение (a 1 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Р-значение (a 2 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы при 1%-ном уровне, а тем более при 5%-ном уровне значимости. Нижние и верхние 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы.

Определение объясняющей переменной, от которой

Может зависеть дисперсия случайных возмущений.

Проверка выполнения условия гомоскедастичности

Остатков по тесту Гольдфельда–Квандта

При проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков в модели множественной регрессии следует вначале определить, по отношению к какому из факторов дисперсия остатков более всего нарушена. Это можно сделать в результате визуального исследования графиков остатков, построенных по каждому из факторов, включенных в модель. Та из объясняющих переменных, от которой больше зависит дисперсия случайных возмущений, и будет упорядочена по возрастанию фактических значений при проверке теста Гольдфельда–Квандта. Графики легко получить в отчете, который формируется в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных).

Графики остатков по каждому из факторов двухфакторной модели

Из представленных графиков видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору Краткосрочная дебиторская задолженность.

Проверим наличие гомоскедастичности в остатках двухфакторной модели на основе теста Гольдфельда–Квандта.

Упорядочим переменные Y и X2 по возрастанию фактора Х4 (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка по возрастанию Х4):

Данные, отсортированные по возрастанию X4:

Уберем из середины упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12,5 (12) значения. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х4.
Для каждой совокупности выполним расчеты:





















Сумма					111234876536,511











					966570797682,068

					455748832843,413




					232578961097,877
					834043911651,192
					193722998259,505
					1246409153509,290
					31419681912489,100
					2172804245053,280
					768665257272,099

					2732445494273,330
					163253156450,331
					18379855056009,900
					10336693841766,000
Сумма					69977593738424,600

Уравнения для совокупностей

Y = -27275,746 + 0,126X2 + 1,817 X4

Y = 61439,511 + 0,228X2 + 0,140X4

Результаты данной таблицы получены с помощью инструмента Регрессия поочередно к каждой из полученных совокупностей.

4. Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов

(в числителе должна быть большая сумма):

5. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы k1 = k2 = == 17

где р – число параметров уравнения регрессии:

Fтабл (0,05; 17; 17) = 9,28.

Так как Fтабл > R ,то подтверждается гомоскедастичность в остатках двухфакторной регрессии.

После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H 0: b 1 = b 2 = ... = b m = 0.

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных Х 1 , Х 2 , ..., Х m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.

Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.

Н 0: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),

H 1: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).

Строится F-статистика:

где – объясненная регрессией дисперсия;

– остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы n1 = m, n2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости a F набл > F a ; m ; n - m -1 = F a (где F a ; m ; n - m -1 - критическая точка распределения Фишера), то Н 0 отклоняется в пользу Н 1 . Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если F набл < F a ; m ; n - m -1 = F кр. , то нет основания для отклонения Н 0 . Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.

Однако на практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R 2:

Н 0: R 2 > 0.

Для проверки данной гипотезы используется следующая F-статистика:

. (8.20)

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H 0 имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19). Действительно, разделив числитель и знаменатель дроби в (8.19) на общую сумму квадратов отклонений и зная, что она распадается на сумму квадратов отклонений, объяснённую регрессией, и остаточную сумму квадратов отклонений (это является следствием, как будет показано позже, системы нормальных уравнений)

мы получим формулу (8.20):

Из (8.20) очевидно, что показатели F и R 2 равны или не равны нулю одновременно. Если F = 0, то R 2 = 0, и линия регрессии Y = является наилучшей по МНК, и, следовательно, величина Y линейно не зависит от Х 1 , Х 2 , ..., Х m . Для проверки нулевой гипотезы Н 0: F = 0 при заданном уровне значимости a по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение F кр = F a ; m ; n - m -1 . Нулевая гипотеза отклоняется, если F > F кр. Это равносильно тому, что R 2 > 0, т.е. R 2 статистически значим.

Анализ статистики F позволяет сделать вывод о том, что для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R 2 не должен существенно отличаться от нуля. Его критическое значение уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым.

Пусть, например, при оценке регрессии с двумя объясняющими переменными X 1 i , X 2 i по 30 наблюдениям R 2 = 0,65. Тогда

F набл = =25,07.

По таблицам критических точек распределения Фишера найдем F 0,05; 2; 27 = 3,36; F 0,01; 2; 27 = 5,49. Поскольку F набл = 25,07 > F кр как при 5%–м, так и при 1%–м уровне значимости, то нулевая гипотеза в обоих случаях отклоняется.

Если в той же ситуации R 2 = 0,4, то

F набл = = 9.

Предположение о незначимости связи отвергается и здесь.

Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t-статистики

коэффициента корреляции. В этом случае F-статистика равна квадрату t-статистики. Самостоятельную значимость коэффициент R 2 приобретает в случае множественной линейной регрессии.

8.6. Дисперсионный анализ для разложения общей суммы квадратов отклонений. Степени свободы для соответствующих сумм квадратов отклонений

Применим изложенную выше теорию для парной линейной регрессии.

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному расчёту F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нём занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части – “объяснённую” и “необъяснённую”:

Уравнение (8.21) является следствием системы нормальных уравнений, выведенных в одной предыдущих тем.

Доказательство выражения (8.21).

Осталось доказать, что последнее слагаемое равно нулю.

Если сложить от 1 до n все уравнения

y i = a+b×x i +e i , (8.22)

то получим åy i = a×å1+b×åx i +åe i . Так как åe i =0 и å1 =n, то получим

Тогда .

Если же вычесть из выражения (8.22) уравнение (8.23), то получим

В результате получим

Последние суммы равны нулю в силу системы двух нормальных уравнений.

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор на оказывает никакого влияния на результат, то линия регрессии параллельна оси OX и . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связана с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объяснённая регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т.е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъяснённая вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объяснённую вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на признак у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы (df – degrees of freedom), с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчёта среднего свободно варьируют лишь (n-1) число отклонений. Например, мы имеем ряд значений у: 1,2,3,4,5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят: -2, -1, 0, 1, 2. Так как , то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое отклонение может быть определено, если предыдущие четыре известны.

При расчёте объяснённой или факторной суммы квадратов используются теоретические (расчётные) значения результативного признака

Тогда сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессии, равна

Поскольку при заданном объёме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от константы регрессии b, то данная сумма квадратов имеет только одну степень свободы.

Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммой квадратов отклонений. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы общей суммы квадратов определяется числом единиц варьируемых признаков, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е. df общ. = n–1.

Итак, имеем два равенства:

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.

;

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчёте на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера

где F-критерий для проверки нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для H 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при различных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признаётся достоверным, если оно больше табличного. Если F факт > F табл, то нулевая гипотеза H 0: D факт = D ост об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если F факт < F табл, то вероятность нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без серьёзного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Гипотеза H 0 не отклоняется.

В рассматриваемом примере из главы 3:

= 131200 -7*144002 = 30400 – общая сумма квадратов;

1057,878*(135,43-7*(3,92571) 2) = 28979,8 – факторная сумма квадратов;

=30400-28979,8 = 1420,197 – остаточная сумма квадратов;

D факт = 28979,8;

D ост = 1420,197/(n-2) = 284,0394;

F факт =28979,8/284,0394 = 102,0274;

F a =0,05; 2; 5 =6,61; F a =0,01; 2; 5 = 16,26.

Поскольку F факт > F табл как при 1%-ном, так и при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как

а остаточную сумму квадратов – как

Тогда значение F-критерия можно выразить как

Оценка значимости регрессии обычно даётся в виде таблицы дисперсионного анализа

, его величина сравнивается с табличным значением при определённом уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F-отношение
фактическое	Табличное при a=0,05
Общая
Объяснённая		28979,8	28979,8	102,0274	6,61
Остаточная		1420,197	284,0394

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, коэффициент регрессии равен нулю, то есть b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную» (приложение 2).

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения у вызвана влиянием множества причин. Условно всю совокупность причин можно разделить на две группы:

· изучаемый фактор х
· прочие факторы

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрессии на графике параллельна оси охи у = y. Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадает с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, то есть регрессией у по х, так и вызванный действием прочих величин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на результат у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации r 2 xy будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы (df - degrees of freedom), то есть с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных [(y 1 -y), (y 2 -y),…,(y n -y)] требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов?(y-y) 2 требуется (n-1) независимых отклонений.

При расчете объясненной или факторной суммы квадратов?(y x -y) 2 используются теоретические (расчетные) значения результативного признака y x , найденные по линии регрессии: y x =а+b*x.

В линейной регрессии сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессией, составит: ?(y x -y) 2 =b 2 *?(x -x) 2 .

Поскольку при заданном объеме наблюдений по х и у факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии b, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы. К тому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака у, то есть y x . Величина y x определяется по уравнению линейной регрессии: y x =а+b*x. Параметр а можно определить как: a=y-b*x. Подставив выражение параметра а в линейную модель получим:

y x = y-b*x+b*x= y-b*(х-х).

Отсюда видно, что при заданном наборе переменных у и х расчетное значение y x является в линейной регрессии функцией только одного параметра - коэффициента регрессии. Соответственно и факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы, равное 1.

Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммами квадратов. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы для общей суммы квадратов определяется числом единиц, и поскольку используется средняя вычисленная по данным выборки, то теряем одну степень свободы, то есть df общ = n-1.

Итак, имеется два равенства:

?(у-у) 2 =?(y x -у) 2 +?(у- y x) 2 ,

D общ =?(у-у) 2 /(n-1);

D факт =?(y x -у) 2 /1;

D ост =?(у- y x) 2 /(n-1).

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения (F-критерия):

F= D факт / D ост, где

F - критерий для проверки нулевой гипотезы Н 0: D факт =D ост.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различимом числе степеней свободы.

Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.

Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше табличного.

В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F факт >F табл. Н 0 отклоняется.

Если же величина окажется меньше табличной F факт

Оценку качества модели дает коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации (R 2) -- это квадрат множественного коэффициента корреляции.

Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

Формула для вычисления коэффициента детерминации:

y i -- выборочные данные, а f i -- соответствующие им значения модели.

Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.

Коэффициент принимает значения из интервала . Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R 2 = r 2 .

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (приложение 3).

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи -- 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.