Числа Фибоначчи - элементы числовой последовательности.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи), который жил и работал торговцем и математиком в итальянском городе Пизе. Он один из самых прославленных европейских ученых своего времени. Среди его величайших достижений - введение арабских цифр, заменивших римские. Fn =Fn-1 +Fn-2

Математический ряд асимптотически (то есть приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к постоянному отношению. Однако это отношение иррационально; оно имеет бесконечную, непредсказуемую последовательность десятичных значений, выстраивающихся после него. Оно никогда не может быть выражено точно. Если каждое число, являющееся частью ряда, разделить на предшествующее значение (например, 13-^8 или 21 -ИЗ), результат действия выразится в отношении, которое колеблется вокруг иррационального числа 1,61803398875, чуть больше или чуть меньше соседних отношений ряда. Отношение никогда, до бесконечности, не будет точным до последней цифры (даже при использовании самых мощных компьютеров, созданных в наше время). Ради краткости, будем использовать в качестве отношения Фибоначчи число 1,618 и просим читателей не забывать об этой погрешности.

Числа Фибоначчи имеют важное значение и во время выполнения анализа Алгоритм Евклида для определения наибольшего общего делителя двух чисел. Числа Фибоначчи происходят в формулу о диагонали треугольником Паскаля (биномиальных коэффициентов).

Числа Фибоначчи оказались связанными с « золотым сечением».

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Что же такое « золотое сечение»? Ответ неизвестен до сих пор. Числа Фибоначчи действительно актуальны для теории практики в наше время. Подъем значимости произошел в 20 веке и продолжается до сих пор. Использование чисел Фибоначчи в экономике и информатике и привлекло массы людей к их изучению.

Методика моего исследования заключалась в изучении специализированной литературы и обобщении полученной информации, а так же проведении собственных исследований и выявлений свойств чисел и сферы их использования.

В ходе научных исследования определила само понятия чисел Фибоначчи, их свойства. Так же я выяснила интересные закономерности в живой природе, непосредственно в строении семян подсолнуха.

На подсолнухе семечки выстраиваются в спирали, причем количества спиралей, идущих в другую сторону, различны - они являются последовательными числами Фибоначчи.

На этом подсолнухе 34 и 55.

То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей бывает 8 и 14. С уникальным свойством чисел Фибоначчи связаны листьев кукурузы.

Дроби вида a/b, соответствующие винтообразному расположению листьев ног стебелька растения, часто являются отношениями последовательных чисел Фибоначчи. Для орешника это отношение равно 2/3, для дуба-3/5, для тополя 5/8, для ивы 8/13 и т. д.

Рассматривая расположения листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми парами листьев (А и С) третья расположено в месте золотого сечения(В)

Ещё интересное свойство числа Фибоначчи является, что произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

В результате исследования я пришла к следующим выводам: числа Фибоначчи - уникальная арифметическая прогрессия, появившаяся в 13 веке нашей эры. Данное прогрессия не теряет своей актуальности, что и подтвердилось в ходе моих исследований. Число Фибоначчи встречаются не то и в программировании и экономических прогнозах, в живописи, архитектуре и музыке. Картины таких известных художников, как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэля и Боттичелли скрывают в себе магию золотого сечения. Даже И. И. Шишкин использовал золотое сечение в своей картине «Сосновая роща».

В это сложно поверить, но золотое сечение встречается и в музыкальных произведениях таких великих композиторов, как Моцарт, Бетховен, Шопен и т. д.

Числа Фибоначчи встречается и в архитектуре. Например, золотое сечение использовалось при строительстве Парфенона и собора Парижской Богоматери

Я обнаружила, что Числа Фибоначчи используются и в наших краях. Например, наличники домов, фронтоны.

Войнами и кровью. Казалось бы, ни о какой науке в это время и речи быть не может. И, тем не менее, два величайших открытия приходят к нам из этой эпохи - арабские цифры и последовательность Фибоначчи. Были, конечно, и другие научные открытия, но сейчас речь пойдёт не о них.

Оставив в стороне историю арабских цифр, более пристально присмотримся к последовательности Фибоначчи - что же она собой представляет, и чем она так знаменита. На самом деле последовательность Фибоначчи является рядом цифр, в которых старший член последовательности равняется сумме двух ближайших младших членов последовательности. В результате таких действий получится такие числа:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21 и т.д.

Они называются а все вместе они образуют ряд Фибоначчи. Но дело даже не в самих числах, а в соотношениях между ними. Так, отношение числа в последовательности к предыдущему члену последовательности даёт в результате значение, близкое к 1,618. И чем цифры, используемые для такого отношения, больше, тем точнее соблюдается это значение.

Другим, не менее интересным фактом, которым обладает последовательность Фибоначчи, является отношение предыдущего члена к последующему. Это отношение приближается к значению 0,618 и является обратной величиной 1,618.

Если брать отношение других чисел из последовательности Фибоначчи, не ближайших, а, например, через одно или через два, то результатом будут другие значения: для членов последовательности, взятых через один, будет получаться число, стремящееся к 2,618. При вычислении отношения старшего члена к младшему через два члена последовательности, результат будет стремиться к 4,236. Если рассмотреть по такому же принципу отношения младших членов последовательности к старшим (через один или через два члена), то будут получены обратные значения уже полученным цифрам: 0,382 (обратное значение числа 2,618), следующее - 0,236 (обратное значение 4,236) и так далее.

На первый взгляд, это всё просто любопытные сведения, игра цифр, не имеющая практической реализации. Однако это совсем не так. В технике, в искусстве, в архитектуре существует понятие золотого сечения. Им является соотношение частей какого-либо предмета между собой, создающее наиболее гармоничное восприятие предмета в целом. Очень часто золотым сечением пользуются художники и архитекторы, добиваясь от своих картин и сооружений впечатления гармонии. Этим же соотношением рекомендуют пользоваться фотографы при компоновке кадра. Одно из правил гласит: для получения хорошего снимка дели кадр на три части и помещай центр композиции на пересечении вертикальной и горизонтальной линий, составляющих 2/3 горизонтали и вертикали кадра. А является одним из коэффициентов Фибоначчи - 1,618. Именно такое соотношение частей и целого обеспечит наиболее гармоничное восприятие. Так что, последовательность Фибоначчи служит не только игрой ума, но и является буквально фундаментом, на котором стоят гармония и красота восприятия окружающего мира.

Соотношения Фибоначчи справедливы и в живой природе. Касаться они могут самых разных областей. Так, раковина улитки, имеющая форму спирали, тоже подчиняется соотношениям Фибоначчи. Рост растений, число веток, листьев, их расположение зачастую также располагаются в соответствии с числами и коэффициентами Фибоначчи.

Ну и самое известное применение чисел Фибоначчи - в торговле на финансовых рынках. В практике трейдеров используются как цифры, составляющие последовательность Фибоначи, так и коэффициенты Фибоначчи. Применяются эти коэффициенты для планирования значимых уровней, на которых можно ожидать изменения поведения цены.

Кроме прямого Фибоначчи существует множество других методов торговли, созданных с их использованием. К ним можно отнести линии Фибоначчи, зоны Фибоначчи, проекции Фибоначчи и т.д. Это помогает трейдерам прогнозировать поведение рынка, заранее подготовиться к возможным изменениям поведения цен и спланировать свою торговлю.

Всё вышеописанное не охватывает всех проявлений влияния чисел и последовательности Фибоначчи в науке, технике, искусстве, но даёт представление о том, что же это такое - последовательность Фибоначчи.

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.

Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.

Очевидно, что фермер имеет одного кролика в первый месяц и одного кролика – во второй месяц. На третий месяц будет уже два кролика, на четвертый – три и т.д. Обозначим количество кроликов в n месяце как . Таким образом,
,
,
,
,
, …

Можно построить алгоритм, позволяющий найти при любомn .

Согласно условию задачи общее количество кроликов
вn +1 месяце раскладывается на три составляющие:

одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве

;

Таким образом, получим

. (8.1)

Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .

Если принять
и
, то с помощью формулы (8.1) можно определить все остальные числа Фибоначчи. Формула (8.1) называется рекуррентной формулой (recurrence – «возвращение» на латыни).

Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?

Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.

В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Для того чтобы ответить на заданный вопрос при произвольном n , обозначим количество вариантов как , и попробуем определить
по известными
. Если мы стартуем с единичного шага, то имеем комбинаций для оставшихсяn ступенек. Если стартуем с двойного шага, то имеем
комбинаций для оставшихсяn –1 ступенек. Общее количество вариантов для n +1 ступенек равно

. (8.2)

Полученная формула как близнец напоминает формулу (8.1). Тем не менее, это не позволяет отождествлять количество комбинаций с числами Фибоначчи. Мы видим, например, что
, но
. Однако имеет место следующая зависимость:

.

Это справедливо для n = 1, 2, и также справедливо для каждого n . Числа Фибоначчи и количество комбинаций вычисляются по одной и той же формуле, однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.

Пример 8.2. Этотпример имеет практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования. Найдем число всех двоичных слов длины n , не содержащих несколько нулей подряд. Обозначим это число через . Очевидно,
, а слова длины 2, удовлетворяющие нашему ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
. Пусть
– такое слово изn символов. Если символ
, то
может быть произвольным (
)-буквенным словом, не содержащим несколько нулей подряд. Значит, число слов с единицей на конце равно
.

Если же символ
, то обязательно
, а первые
символа
могут быть произвольными с учетом рассматриваемых ограничений. Следовательно, имеется
слов длины n с нулем на конце. Таким образом, общее число интересующих нас слов равно

.

С учетом того, что
и
, полученная последовательность чисел – это числа Фибоначчи.

Пример 8.3. В примере 7.6 мы нашли, что число двоичных слов постоянного веса t (и длиной k ) равно . Теперь найдем число двоичных слов постоянного весаt , не содержащих несколько нулей подряд.

Рассуждать можно так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах. В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями, в каждом из которых находится одна или несколько единиц. Предполагается, что
. В противном случае нет ни одного слова без рядом стоящих нулей.

Если из каждого промежутка удалить ровно по одной единице, то получим слово длины
, содержащеенулей. Любое такое слово может быть получено указанным образом из некоторого (и притом только одного)k -буквенного слова, содержащего нулей, никакие два из которых не стоят рядом. Значит, искомое число совпадает с числом всех слов длины
, содержащих ровнонулей, т.е. равно
.

Пример 8.4. Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого. Символ
обозначаетнаименьшее целое число, большее или равное . Например, если
, то
; а если
, то
ceil («потолок»). Также встречается символ
, который обозначаетнаибольшее целое число, меньшее или равное . По-английски эту операцию называютfloor («пол»).

Если
, то
. Если
, то
. Если
, то
.

Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:

.

И оно действительно выполняется:

Здесь мы использовали полученную ранее формулу (4.4):
.

Сумма чисел Фибоначчи

Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:

Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:

Эта сумма должна быть равна
.

Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).

Формула для чисел Фибоначчи

Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле

.

Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:

Мы видим, что отношение этих чисел колеблется около значения 1.618 (если игнорировать несколько первых значений). Этим свойством числа Фибоначчи напоминают члены геометрической прогрессии. Примем
, (
). Тогда выражение

преобразуется в

которое после упрощений выглядит так

.

Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:

Теперь можем записать:

(где c является константой). Оба члена и не дают чисел Фибоначчи, например
, в то время как
. Однако разность
удовлетворяет рекуррентному уравнению:

Для n =0 эта разность дает, то есть:
. Однако при n =1 мы имеем
. Чтобы получить
, необходимо принять:
.

Теперь мы имеем две последовательности: и
, которые начинаются с одинаковых двух чисел и удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле. Они должны быть равны:
. Теорема доказана.

При возрастании n член становится очень большим, в то время как
, и роль членав разности сокращается. Поэтому при больших n приближенно можем записать

.

Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).

Отношение
называется золотым сечением , его используют за пределами математики (например, в скульптуре и архитектуре). Золотым сечением является отношение между диагональю и стороной правильного пятиугольника (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали

Для обозначения золотого сечения принято использовать букву
в честь известного афинского скульптора Фидия.

Простые числа

Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.

Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.

Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма, позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является решето Эратосфена (3 век до нашей эры). Этот метод заключается в отсеивании (например, путем зачеркивания) тех целых чисел заданной последовательности
, которые делятся хотя бы на одно из простых чисел, меньших
.

Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .

Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :

при
. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда, откуда следует тождество Эйлера:

.

Так как при
ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида.

Русский математик П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу, определяющую пределы, в которых заключено число простых чисел
, не превосходящихX :

,

где
,
.

Последовательность Фибоначчи, ставшая известной большинству благодаря фильму и книге «Код да Винчи», это ряд чисел, выведенный итальянским математиком Пизанским Леонардо, более известным под псевдонимом Фибоначчи, в тринадцатом веке. Последователи ученого заметили, что формула, которой подчинен данный ряд цифр, находит свое отображение в окружающем нас мире и перекликается с другими математическими открытиями, тем самым открывая для нас дверь в тайны мироздания. В этой статье мы расскажем, что такое последовательность Фибоначчи, рассмотрим примеры отображения этой закономерности в природе, а также сравним с другими математическими теориями.

Формулировка и определение понятия

Ряд Фибоначчи - это математическая последовательность, каждый элемент которой равен сумме двух предыдущих. Обозначим некой член последовательности как х n. Таким образом, получим формулу, справедливую для всего ряда: х n+2 =х n +х n+1. При этом порядок последовательности будет выглядеть так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Следующим числом будет 55, так как сумма 21 и 34 равна 55. И так далее по такому же принципу.

Примеры в окружающей среде

Если мы посмотрим на растение, в частности, на крону из листьев, то заметим, что они распускаются по спирали. Между соседними листьями образуются углы, которые, в свою очередь, образуют правильную математическую последовательность Фибоначчи. Благодаря этой особенности каждый отдельно взятый листочек, который растет на дереве, получает максимальное количество солнечного света и тепла.

Математическая загадка Фибоначчи

Известный математик представил свою теорию в виде загадки. Звучит она следующим образом. Можно поместить пару кроликов в замкнутое пространство для того, чтобы узнать, какое количество пар кроликов родится в течении одного года. Учитывая природу этих животных, то, что каждый месяц пара способна производить на свет новую пару, а готовность к размножению у них появляется по достижении двух месяцев, в итоге он получил свой знаменитый ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - где показано количество новых пар кроликов в каждом месяце.

Последовательность Фибоначчи и пропорциональное соотношение

Этот ряд имеет несколько математических нюансов, которые обязательно нужно рассмотреть. Он, приближаясь медленнее и медленнее (асимптотически), стремится к некоему пропорциональному соотношению. Но оно иррациональное. Другими словами, представляет собой число с непредсказуемой и бесконечной последовательностью десятичных чисел в дробной части. Например, соотношение любого элемента ряда варьируется около цифры 1,618, то превосходя, то достигая его. Следующее по аналогии приближается к 0,618. Что есть обратно пропорциональным к числу 1,618. Если мы поделим элементы через один, то получим 2,618 и 0,382. Как вы уже поняли, они также являются обратно пропорциональными. Полученные числа называются коэффициентами Фибоначчи. А теперь объясним, для чего мы выполняли эти вычисления.

Золотое сечение

Все окружающие нас предметы мы различаем по определенным критериям. Один из них - форма. Какие-то нас привлекают больше, какие-то меньше, а некоторые и вовсе не нравятся. Замечено, что симметричный и пропорциональный объект гораздо легче воспринимается человеком и вызывает чувство гармонии и красоты. Цельный образ всегда включает в себя части различного размера, которые находятся в определенном соотношении друг с другом. Отсюда вытекает ответ на вопрос о том, что называют Золотым сечением. Данное понятие означает совершенство соотношений целого и частей в природе, науке, искусстве и т. д. С математической точки зрения рассмотрим следующий пример. Возьмем отрезок любой длины и разделим его на две части таким образом, чтобы меньшая часть относилась к большей как сумма (длина всего отрезка) к большей. Итак, примем отрезок с за величину один. Его часть а будет равна 0,618, вторая часть b , выходит, равна 0,382. Таким образом, мы соблюдаем условие Золотого сечения. Отношение отрезка c к a равняется 1,618. А отношение частей c и b - 2,618. Получаем уже известные нам коэффициенты Фибоначчи. По такому же принципу строятся золотой треугольник, золотой прямоугольник и золотой кубоид. Стоит также отметить, что пропорциональное соотношение частей тела человека близко к Золотому сечению.

Последовательность Фибоначчи - основа всего?

Попробуем объединить теорию Золотого сечения и известного ряда итальянского математика. Начнем с двух квадратов первого размера. Затем сверху добавим еще квадрат второго размера. Подрисуем рядом такую же фигуру с длиной стороны, равной сумме двух предыдущих сторон. Аналогичным образом рисуем квадрат пятого размера. И так можно продолжать до бесконечности, пока не надоест. Главное, чтобы величина стороны каждого последующего квадрата равнялась сумме величин сторон двух предыдущих. Получаем серию многоугольников, длина сторон которых является числами Фибоначчи. Эти фигуры называются прямоугольниками Фибоначчи. Проведем плавную линию через углы наших многоугольников и получим… спираль Архимеда! Увеличение шага данной фигуры, как известно, всегда равномерно. Если включить фантазию, то полученный рисунок можно проассоциировать с раковиной моллюска. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи - это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире.

Математическая последовательность и мироздание

Если присмотреться, то спираль Архимеда (где-то явно, а где-то завуалированно) и, следовательно, принцип Фибоначчи прослеживаются во многих привычных природных элементах, окружающих человека. Например, все та же раковина моллюска, соцветия обычной брокколи, цветок подсолнечника, шишка хвойного растения и тому подобное. Если заглянем подальше, то увидим последовательность Фибоначчи в бесконечных галактиках. Даже человек, вдохновляясь от природы и перенимая ее формы, создает предметы, в которых прослеживается вышеупомянутый ряд. Тут самое время вспомнить и о Золотом сечении. Наряду с закономерностью Фибоначчи прослеживаются принципы данной теории. Существует версия, что последовательность Фибоначчи - это своего рода проба природы адаптироваться к более совершенной и фундаментальной логарифмической последовательности Золотого сечения, которая практически идентична, но не имеет своего начала и бесконечна. Закономерность природы такова, что она должна иметь свою точку отсчета, от чего отталкиваться для создания чего-то нового. Отношение первых элементов ряда Фибоначчи далеки от принципов Золотого сечения. Однако чем дальше мы его продолжаем, тем больше это несоответствие сглаживается. Для определения последовательности необходимо знать три его элемента, которые идут друг за другом. Для Золотой последовательности же достаточно и двух. Так как она является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Заключение

Все-таки, исходя из вышесказанного, можно задать вполне логичные вопросы: "Откуда появились эти числа? Кто этот автор устройства всего мира, попытавшийся сделать его идеальным? Было ли всегда все так, как он хотел? Если да, то почему возник сбой? Что будет дальше?" Находя ответ на один вопрос, получаешь следующий. Разгадал его - появляются еще два. Решив их, получаешь еще три. Разобравшись с ними, получишь пять нерешенных. Затем восемь, далее тринадцать, двадцать один, тридцать четыре, пятьдесят пять…