Рассмотрим формулы для определения работы и мощности силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, совершающего поступательное или вращательное движение.

1. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему поступательное движение.

Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение по отношению к инерциальной системе отсчета под действием силы , приложенной в произвольной точке (рис. 24).

В случае поступательного движения твердого тела все его точки движутся со скоростями одинаковыми по величине и направлению. Обозначим скорость тела .

Используя формулу (4.31), получим

где - дифференциал радиус-вектора произвольной точки твердого тела .

Рис. 24. Поступательное движение твердого тела под действием силы

Поделив (4.49) на dt , получим выражение для определения мощности силы, действующей на тело, совершающее поступательное движение:

где - угол между векторами силы скорости .

То есть мощность силы при поступательном движении твердого тела определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости твердого тела .

Интегрируя (4.49) на каком-либо конечном перемещении точки M из начального положения М 0 в положение М 1 , получим полную работу силы, действующей на тело на этом перемещении

2. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему вращательное движение.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной вертикальной оси Oz под действием силы , приложенной в произвольной точке этого тела М (рис. 25).

Рис. 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Положение точки М в осях Oxyz определяется радиус-вектором . Скорость точки М направлена по касательной к траектории движения (окружность с центром на оси вращения). Вектор этой скорости можно определить по векторной формуле Эйлера, известной из курса кинематики твердого тела

где - вектор угловой скорости вращения твердого тела.

Используя формулу (4.32), получим

Меняя в круговом порядке сомножители в смешанном векторном произведении, получим

где - векторный момент силы , относительно центра O .

Угол между векторами момента и угловой скорости .

Учитывая, что:

1. - момент силы , относительно оси вращения Oz.

2. и следовательно ,

окончательно получим

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Для определения полной работы силы при повороте тела на угол φ, проинтегрировав выражение (4.53), получим

В случае когда , полную работу можно определить по формуле

где φ – угол поворота тела, на котором определяют работу силы.

Если направление момента и угловой скорости совпадают, то работа силы считается положительной, в противном случае – отрицательной.

Определим мощность силы при вращении твердого тела вокруг оси. Используя формулу (4.40), получим

То есть мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, определяется как произведение момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела . Знак мощности определяется аналогично знаку работы.

Вычисляя сумму элементарных работ двух внутренних сил F 1 J и F 2 J ,

получаем

F1 J dS1 cos(P1 J ,υ 1 ) + F2 J dS2 cos(P2 J ,υ 2 ) = F1 ′ M1 M1 ′ − F1 M 2 M 2 ′

т.к. каждой внутренней силе соответствует другая, равная ей по модулю и противоположная по направлению, то сумма элементарных работ всех внутренних сил тоже равна нулю.

δ A J = ∑ δ A i J = 0

Конечное перемещение является совокупностью элементарных переме-

щений, поэтому AJ = 0, т.е. сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

2.5.2. Работа внешних сил, приложенных к поступательно движущемуся телу

К каждой точке тела приложены внешние и внутренние силы (рис. 18). Так как работа внутренних сил на любом перемещении равна нулю, то следует вычислить работу лишь внешних сил F 1 E , F 2 E … F n E . При поступательном

движении траектории всех точек идентичны, а вектора элементарных перемещений геометрически равны, т.е.

dri = dr = drc .

Элементарная работа силы F i E

δ A iE = F i E dr c .

Элементарная работа всех внешних сил

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ F i E drc = drc ∑ Fi E = R E dr c ,

где R E - главный вектор внешних сил.

Работа на конечном перемещении

AE = ∫ R E drc .

Работа сил при поступательном перемещении твердого тела равна работе главного вектора внешних сил на элементарном перемещении центра масс.

2.5.3. Работа внешних сил, приложенных к вращающемуся телу

Предположим, что к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z , приложены внешние силы F 1 E , F 2 E … F i E … F n E (рис. 19).

Вычислим работу одной силы F i E , приложенной к точке M i , описывающей окружность радиуса R i . Разложим силу F i E на три составляющие, направленные по естественным осям траектории точки M i .

E F 1


F ib


F in

Mi dSi

F iτ

Z M1 (x1 ,y1, z1 )

M2 (x2 ,y2 , z2 )

При элементарном повороте тела на угол d ϕ точка M i описывает дугу dS i = R i d ϕ . На этом перемещении работу составляет только касательная составляющая силы, а работа перпендикулярных к вектору скорости составляющих силы F in E и F ib E равна нулю.

δ A i E = F i τ E dS i = F i τ E R i d ϕ = M i E τ d ϕ = M iz E d ϕ , т.к. моменты нормальной и бинормальной составляющих силы F i E относительно оси Z равны нулю эле-

ментарная работа всех сил, приложенных к твердому телу

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ M iz E dϕ = dϕ ∑ Miz E = M z E dϕ .

Таким образом, элементарная работа внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу равна

δ AE = M z E dϕ .

При конечном повороте тела работа внешних сила равна

AE = ∫ M z E dϕ .

Если главный момент внешних сил M z E = const , то работа внешних сил на конечном перемещении равна A = M z E (ϕ 2 − ϕ 1 ) .

Работа при вращательном движении твердого тела равна работе главного момента внешних сил относительно оси вращения на элементарном угловом перемещении.

2.6. Работа силы тяжести

Пусть точка массой m перемещается под действием силы тяжести из положения M 1 (x 1 , y 1 ,z 1 ) в положение M 2 (x 2 , y 2 ,z 2 ) (рис. 20).

Элементарная работа силы вычисляется как скалярное произведение вектора силы F (X ,Y ,Z ) на вектор элементарного перемещения dr (dx,dy,dz )

δ A = F dr = Xdx + Ydy + Zdz ,

где X ,Y ,Z - проекции силы F ,

dx,dy,dz - проекции вектора перемещения dr на оси x, y,z . При движении под действием силы тяжести

А= ± mgh .

Если точка опускается (независимо от вида траектории), т.е. z 2 < z 1 , работа силы тяжести положительна, если точка поднимается, работа силы тя-

жести отрицательна. Если точка перемещается горизонтально (z 2 = z 1 ) , работа силы тяжести равна 0.

3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под дей-

ствием сил

F 2 … F n (рис. 21) со скоростью υ

Модуль которой равен

υ = dS , где S - дуговая координата.

Проекция ускорения на касательную равна a τ =

Учитывая, что скорость υ

Сложная функция времени, т.е. υ = f (S (t )) ,

a τ = d υ

D υ

= υ d υ .

Основное уравнение динамики в проекции на касательную имеет вид

maτ = ∑ Fi τ

υd υ

= ∑ F i τ .

Умножим обе части уравнения на dS и проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих начальному и конечному положениям

точки M 1

и M 2

mυ dυ = dS∑ Fi τ

m ∫ υ d υ = ∑ ∫ F i τ dS , откуда

mυ 2

= ∑ A i .

mυ 2

Половина произведения массы материальной точки на квадрат скорости

называется кинетической энергией точки.

mυ 2 2

− кинетическая энергия точки после перемещения,

− кинетическая энергия точки до перемещения,

mυ 2

V i 2

Работа силы на бесконечно малом перемещении , называемая элементарной работой, выражается формулой

где - угол между силой F и скоростью v точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярного произведения:

где - дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.

Выражая это скалярное произведение через проекции векторов F и на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы:

где X, Y, Z - проекции силы на координатные оси, - бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат точки приложения силы при элементарном перемещении этой точки.

Если сила F приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z, то

где - элементарный угол поворота тела вокруг оси.

Если к телу, имеющему неподвижную ось вращения приложена пара сил с моментом , то элементарная работа этой пары выражается следующим образом:

где - проекция вектора - момента пары на ось .

Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того,

В этом случае существует такая функция координат , частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси, т. е.

Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то

т. е. элементарная работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть пространства, где проявляется действие силы, имеющей силовую функцию, называется силовым потенциальным полем.

Геометрическое место точек силового потенциального поля, в которых силовая функция сохраняет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня.

Работа А силы F на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги траектории от точки до точки М:

Если произведение а выражается известной функцией дуговой координаты s точки приложения силы, то переменной интегрирования является эта величина s и формула для вычисления работы принимает вид

(168)

где - значения дуговой координаты, соответствующие положениям и М точки приложения силы, - проекция силы на касательную к траектории этой точки.

Если постоянная по модулю сила образует с прямой, по которой движется ее точка приложения, постоянный угол , то

В частном случае, когда точка М движется по прямой под действием постоянной силы F, направленной по той же прямой в сторону движения или против движения, то соответственно имеем:

где - путь пройденный точкой.

Если при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси момент приложенной к нему силы является функцией угла поворота тела, т. е.

Аналогично определяется работа пары сил:

Работа силы, имеющей потенциальную функцию, на конечном перемещении выражается разностью значений этой функции в конечной и начальной точках пути:

т. е. в этом случае работа силы не зависит от кривой, по которой перемещается точка М, а зависит лишь от начального и конечного ее положений. При изучении движения материальной точки в силовом потенциальном поле весьма большое значение имеет понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия материальной точки представляет собой особый вид энергии, которым обладает точка, находящаяся в силовом потенциальном поле. Потенциальная энергия П равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении точки ее приложения из данного положения М(х, у, z) в положение , принятое за нулевое, т. е.

Работа силы на конечном пути через потенциальную энергию выражается так:

Если на точку действует несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-либо пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.

В технической системе единиц работа измеряется в килограмм-метрах . В Международной системе единиц единицей работы является 1 джоуль .

Мощность N характеризует быстроту, с которой совершается работа, и в общем случае определяется как производная от работы по времени:

т. е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.

Если работа А производится равномерно, то мощность определяется так:

где - время, в течение которого произведена работа.

Таким образом, в этом частном случае мощность численно равна работе, производимой в единицу времени.

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси :

где - главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения, - угловая скорость тела.

В технической системе единиц мощность измеряется в или в лошадиных силах, причем

В Международной системе единиц единицей мощности является

При решении задач на вычисление работы и мощности часто используют коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил:

Так как вследствие вредных сопротивлений , то .

При вычислении работы нужно различать следующие случаи.

1. Прямолинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в задачах такого типа применяются формулы (169) и (170) (задачи 756, 762).

2. Прямолинейное движение под действием силы, проекция которой на направление прямолинейной траектории является функцией расстояния точки от некоторого неподвижного центра на этой прямой (задача № 768), в задачах этого типа применяется формула (167), которая, если направить ось по траектории точки, принимает вид

3. Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в этом случав можно использовать формулу (167).

4. Криволинейное движение под действием силы, которая является функцией координат точки приложения силы.

Здесь определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (167). Если в рассматриваемом случае существует силовая функция, то работу определяют по формуле (173) или (176).

5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171).

Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой (177) при прямолинейном или криволинейном движении точки приложения силы (задачи 760, 764), или формулой (179) - в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178).

Пример 131. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила (рис. 172). Тяга образует с горизонтом угол . Определить работу, совершенную силой F на пути .

Решение. Здесь работу определяем по формуле (169):

Пример 132. Тело весом передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние . Определить работу, которую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом .

Решение. Согласно закону Кулона, сила трения , где N - нормальное давление тела на поверхность пола, причем в данном случае . Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна:

Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения в положение М (х, у, z), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173).

Решение. Направляя ось z вертикально вверх, имеем:

где - вес тела. Следовательно, по формуле (162)

(182)

т. е. работа силы тяжести равна произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости.

Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175):

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Пример 134. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из положения в положение М, если длина недеформированного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис. 174).

Решение. Обозначив силу упругости F и направив ось х по вертикали вниз, имеем:

где х - удлинение стержня, с - его жесткость.

Следовательно,

Пример 135. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси выражаются так:

Определить работу этой силы при перемещении точки из положения в положение , если сила выражена в н, а координаты - в см.

Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные:

Отсюда получаем, что

т. е. условия (164) выполняются, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. . Элементарную работу находим по формуле или, подставляя значения :

Это выражение действительно является полным дифференциалом

Значения функции в точках и М равны:

Следовательно, искомая работа равна

Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. (рис. 175).

Решение. В данном случае единичный вектор силы равен

Причем знак выбирается в зависимости от того,отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М.

Таким образом, вектор силы F выразится так:

Отсюда, пользуясь формулой (161), имеем:

Следовательно,

т. е. элементарная работа является полным дифференциалом и, значит, существует силовая функция, причем

Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса-вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения в положение

Пример 137. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик Длина нерастянутой пружины - , жесткость . Шарик перемещают из положения в положение , причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если

Решение. Модуль силы упругости пружины в данном случае выражается так.

Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»

Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.

Ход работы:

Изучить материал по теме.

Записать краткую теорию.

Решить задачи.

Оформить работу.

Ответить на контрольные вопросы.

Написать вывод.

Краткая теория:

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:

М z (F) = F 1 R .

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :

Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .

Пример решения задачи

Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .

Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .

Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .

Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:

P = W/t = Tφ/t или P = Tω .

Вариант №1

На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.

Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.

Вариант №2

Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .

Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.

Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.