ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, в котором изучаются интегралы различного вида, такие, как определенный интеграл, неопределенный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл и т.д., их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания.

Центральной формулой И. и. является формула Ньютона-Лейбница (см. Ньютона-Лейбница формула), связывающая определенный и неопределенный интегралы (см. Определенный интеграл , Неопределенный интеграл) функции - величины, определяемые в совершенно непохожих друг на друга терминах.

Именно эта формула утверждает, что

при следующих условиях и обозначениях:

Отрезок числовой оси, - непрерывная на функция, - разбиение отрезка точками , - отрезок , - точка отрезка , , т. е. максимальная из длин отрезков , - первообразная функция для , т. е. такая, что . Предел в левой части существует в случае непрерывной функции , любого способа измельчения разбиения , при котором , и любого выбора точек .

Пределы вида возникают при вычислении многих величин, связанных с физическими, геометрическими и т. п. понятиями. В то же время вычисление первообразной для простых функций достаточно эффективно выполняется по правилам И. и. В основе этих правил лежат свойства дифференцируемых функций, изучаемых в дифференциальном исчислении, так что И. и. и дифференциальное исчисление составляют неразрывное целее.

При переходе от функций одного переменного к функциям нескольких переменных содержание И. и. становится значительно богаче. Возникают понятия двойного, тройного (и вообще-n-кратного), поверхностного и криволинейного интегралов. И. и. устанавливает правила вычисления этих интегралов путем сведения их к несколько раз повторяемым вычислениям определенных интегралов.

Отдельным разделом И. и. функций нескольких переменных является теория поля (см. Поля теория), существенную часть которой составляют теоремы, устанавливающие связь между интегралами по области и интегралами по границе области (см. Остроградского формула , Грина формулы , Стокса формула).

В дальнейшем своем развитии И. и. привело к изучению интегралов Стилтьеса, Лебега, Данжуа, основанных на более общих идеях, чем рассмотренные выше интегралы.

Возникновение И. и. связано с задачами вычисления площадей и объемов различных тел. Некоторые достижения в этом направлении имели место еще в Древней Греции (Евдокс Киндский, Архимед и др.). Возрождение интереса к задачам подобного рода имело место в Европе в XVI-XVII вв. К этому времени европейские математики имели возможность ознакомиться с трудами Архимеда, переведенными на латинский язык. Но основной причиной такого внимания к И. и. явилось промышленное развитие ряда стран Европы, поставившее перед математикой новые задачи. В это время большой вклад в И. и. внесли И. Кеплер, Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлис, Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс.

Качественным сдвигом в И. и. явились труды И. Ньютона и Г. Лейбница, создавших ряд общих методов нахождения пределов интегральных сумм. Важное значение имела удобная символика И. и. (применяемая до сих пор), введенная Г. Лейбницем. После трудов И. Ньютона и Г. Лейбница многие задачи И. и., ранее требовавшие значительного искусства для своего решения, были сведены до уровня чисто технического. При этом особенно большое значение имели формулы дифференцирования сложной функции, правило замены переменной в определенном и неопределенном интегралах и (более всего) формула Ньютона-Лейбница, упомянутая выше.

Дальнейшее историческое развитие И. и. связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера, О. Коши и русских математиков М. В. Остроградского, В. Я. Буняковского, П. Л. Чебышева.

И. и. вместе с дифференциальным исчислением до настоящего времени является одним из основных математических инструментов многих физических и технических наук.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

Н. И. Николаева

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Конспект лекций

Омск Издательство ОмГТУ

Рецензенты:

Ю. Ф. Стругов , д-р физ.-мат. наук;С. Е. Макаров , канд. физ.-мат. наук, доцент

Николаева, Н. И.

Н63 Интегральное исчисление : конспект лекций / Н. И. Николаева. – Омск:

Изд-во ОмГТУ, 2010. – Ч. 4. – 120 с.

ISBN 978-5-8149-0934-3

В конспекте лекций подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики, читаемого автором на первом и втором курсах технического университета.

Часть 4 включает в себя три главы: «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл» и «Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.

Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения ОмГТУ.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

УДК 517.3(075) ББК 22.161.1я73


Глава 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.............................................................
7.1. Определение и свойства неопределенного интеграла................................
7.2. Основные формулы и методы интегрирования. Таблица
основных интегралов......................................................................................
7.3. Замена переменой в неопределенном интеграле.........................................
7.4. Интегрирование по частям...........................................................................
7.5. Интегрирование рациональных дробей......................................................
7.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций....................
7.7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.......................
Глава 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................................................
8.1. Определенный интеграл по фигуре............................................................
8.2. Определенный интеграл на отрезке............................................................
8.3. Связь неопределенного интеграла с определенным.
Формула Ньютона-Лейбница......................................................................
8.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле............................
8.5. Замена переменной в определенном интеграле.........................................
8.6. Геометрические приложения определенного интеграла на отрезке.......
8.7. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами
интегрирования.............................................................................................
8.8. Исследование сходимости несобственных интегралов с помощью
признаков сравнения....................................................................................
8.9. Интегралы от неограниченных функций...................................................
8.10. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах................
8.11. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах...................
8.12. Интеграл Пуассона.....................................................................................
8.13. Вычисление поверхностного интеграла первого рода
(по площади поверхности) ...........................................................................
8.14. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах................
8.15. Замена переменных в тройном интеграле................................................
8.16. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
(по длине дуги) ..............................................................................................

Глава 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА.......................................................................................................
9.1. Криволинейный интеграл второго рода (от вектор-функции) ................
9.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.............................
9.3. Формула Остроградского-Грина.................................................................
9.4. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода
от пути интегрирования.............................................................................
9.5. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции) ...............
9.6. Формула Гаусса-Остроградского..............................................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................

Глава 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Определение и свойства неопределенного интеграла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F (x )

называется первообразной

f (x ) , заданной на интервале(a ,b ) ,

если она дифференцируема x (a ,b ) и

для любого x из этого интервалаF ′(x ) =f (x ) .

ПРИМЕР . Для функцииf (x ) = 3x 2

очевидно F (x ) =x 3

– первообразная

x R ,

F1 ¢ (x) = (x3 ) ¢ = 3 x2 .

(x 3 +2 ) ¢ =(x 3 -7 ) ¢ =3 x 2 ,

F 2 (x ) =x 3 + 2,F 3 (x ) =x 3 − 7

F (x) = x3 + C, где C= const–

также первообразные этой функции.

ПРИМЕР. Так

" x > 0(lnx ) ¢ =

то F (x ) = lnx

– первообразная

f (x )=

(0, + ∞) .

(ln (- x ) ) ¢ =

"x Î(-¥,0 ) ,

F (x ) = ln (- x ) – первообразнаяf (x ) =

на (-¥ ,0) ,

или, можно заключить,

F (x )= ln

является первообразной функции f (x ) =

"x ÎR , x ¹0

"C ÎR .

как и функции вида ln

Таким образом,

если функция

f (x)

имеет первообразную

F (x) ,

F (x) + C , где C – произвольная постоянная, также является первообразной этой функции.

ТЕОРЕМА (о связи двух первообразных одной и той же функции). Пусть

	(x ) ,F 2 (x ) – две первообразные функции	f (x ) на интервале(a ,b ) . Тогда
	(x) = F2 (x) + C, C= const.
	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
	По определению первообразной F ¢ (x ) = F ¢ (x ) = f (x ) " x Î (a ,b ) .

Обозначим F (x )- F (x )= F (x ). Тогда F¢ (x )= F ¢ (x )- F ¢ (x )= 0 " x Î (a , b ).

Покажем, что F (x ) = const . Выберем произвольныеx 1 ,x 2 Î (a ,b ) . По теореме
Лагранжа (см. гл. 5) F (x		) - F (x )= F ′ (c )(x	X ) , где значениех = c находит-

ся между x и	x , поэтомуF ′(c ) = 0 . Отсюда следует, чтоF (x ) = F (x			) , то

есть F (x ) = const в силу произвольности выбораx 1 ,x 2 .

Таким образом, F 1 (x ) −F 2 (x ) =C ,C =const , что и требовалось доказать.

	Из теоремы следует, что множество всех первообразных функции f (x )
состоит из функций вида F (x ) +C ,						C = const, где F(x)			– одна (любая) из ее
первообразных.
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Совокупность всех первообразныхфункции									f (x )на
интервале (a ,b ) называетсянеопределенным интегралом от функции										f (x )и
обозначается ∫ f (x ) dx .
	f (x)		называется подынтегральной функцией,					f (x ) dx – подынтеграль-
ным выражением,				x –	переменной интегрирования.
			F (x)		одна из первообразных, то				доказанной
∫ f(x) dx= F(x) + C,					C = const.
	ПРИМЕР . Легко проверить, что∫ 3x 2 dx =x 3 +C ,∫ sinx dx = − cosx +C ,
		= − ctg x+ C.

∫ sin2
∫ sin2
			СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
	Пусть ∫ f (x ) dx =F (x ) +C ,F (x ) –						одна из первообразных функций f (x ) .
	1. d(∫ f(x) dx) = f(x) dx.
Действительно, d (∫ f (x ) dx ) =d (F (x ) +C ) =F ′(x ) dx =f (x ) dx .
	2. ∫ dF(x) = F(x) + C.
По определению				дифференциала			первообразной		∫ dF(x) = ∫ F′ (x) dx=
= ∫ f(x) dx.

3. ∫ (a f(x) + b g(x) ) dx= a∫ f(x) dx+ b∫ g(x) dx a, b R.

Свойство 3 называется свойством линейности неопределенного интеграла.

ПРИМЕР . По свойству 2

∫ dx =x +C ,∫ d cosx = cosx +C ,∫ d tg 2x = tg 2x +C ,C =const .

ПРИМЕР . По свойству 3∫ 2cosx dx = 2∫ cosx dx = 2∫ d sinx = 2sinx +C ,

∫ (3 x2 + 1 ) dx= 3 ∫ x2 dx+ ∫ dx= x3 + x+ C, C= const.

Отыскание первообразной от данной функции – задача значительно более трудная, чем нахождение производной. Правила дифференцирования сложной функции, а также суммы, разности, произведения и частного позволяли нам найти производную любой элементарной функции. Для отыскания интегралов таких простых и универсальных правил нет. Например, нет никаких определенных правил для нахождения первообразной произведения или частного двух функций, даже если первообразная каждой их них известна.

Кроме того, если производная элементарной функции также является элементарной функцией, то с операцией интегрирования дело обстоит иначе: существуют элементарные функции, интегралы от которых элементарными не явля-

7.2. Основные формулы и методы интегрирования. Таблица основных интегралов

Методы интегрирования сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во многих случаях приводит к нахождению первообразной. Из формул вычисления производных можно составить таблицу основных интегралов.

∫ 0 ×du =C ,

C = const

2. ∫ du= u+ C

3. ∫ uα du=

u α +1

C , α ¹ -1

4. ∫

α + 1

6. ∫ eu du= eu + C

∫a

du =

ln a

∫ sin u du= - cos u + C

8. ∫ cosu du = sinu + C

Tg u +C

Ctg u +C

cos2 u

sin2 u

11. ∫ tgu du = - ln

cos u

∫ ctgu du = ln

sin u

13. ∫

∫ cosu

sin u

15. ∫

16. ∫

a + u

a 2+ u 2

a 2- u 2

a - u

17. ∫

18. ∫

Arcsin

u + u2 ± a2

a 2- u 2

2 ± a 2

19. ∫ shu du = chu +C

20. ∫ chu du = shu +C

21. ∫

Th u +C

22. ∫

= −cth u +C

ch2 u

sh2 u

Во всех табличных формулах в качестве u может фигурировать как неза-

висимая переменная,

некоторая функция,

например,

формуле 6

∫ ex dx= ex + C

и ∫ e sin x d sinx =e sin x +C . В первом случаеu =x , а во втором –

u = sinx .

Формулы 19 – 22

функций : функция

e x− e − x

Sh x по определению называетсягиперболиче-

e x+ e − x

ским синусом,

Ch x–

гиперболическим косинусом,

Th x–

гиперболическим тангенсом,

Cth x–

гиперболическим котангенсом.

Для гиперболических функций справедливы многие формулы, похожие на три-

гонометрические,	например:	ch2 x - sh2 x = 1,	ch2 x + sh2 x = ch 2x ,
2ch x × shx = sh 2x ,	sh x × chy - shy × chx = sh(x - y ) и т.д.

Формулы 11–14, 16, 18, приведенные в таблице, не имеют аналогов среди формул табличных производных. Однако для проверки каждой из них достаточно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с подынтегральными функциями. Проверим, к примеру, справедливость формулы 18:

)′

(u+ u2 ± a2

± a 2

± a

u 2± a 2

u + u2

± a 2

u + u2 ± a2

(u + u 2± a 2) u 2± a 2

± a 2

Зная таблицу основных интегралов и применяя свойства неопределенного интеграла, можно найти первообразные для более сложных функций.

ПРИМЕР . Найти∫

tg x

dx .

cos2 x

Заметим, что

x , поэтому∫

tg x

= ∫ tgx d tgx =

tg 2 x

c o s 2 x

cos2 x

по формуле 3: здесь u = tgx , α = 1.

Можно было сделать по-другому: так как tgx =

sin x

а sin x dx = −d cosx ,

cos x

tg x

dx =

sin x

dx = −

d cosx

cos−2 x

C по формуле

∫ cos2 x

∫ cos3 x

2cos2 x

∫ u−3 du= −

u −2

C , в которойu = cosx , α = −3 .

На первый взгляд полученные результаты совсем не похожи друг на друга, хотя являются неопределенными интегралами одной функции. Но на самом

деле при C =C +	tg2 x	tg2 x		C , то есть найденные

			2cos2

первообразные отличаются постоянным слагаемым, как и утверждается в теореме о связи двух первообразных.

ПРИМЕР . Найти∫ x e − x 2

dx .

d (−x 2 ) , поэтому по формуле 6, в

Заметим, что x dx =d

d (−x 2 ) = −

которой u = −x 2 , получим∫ x e − x

dx = −

∫ e −x

e −x

Этот интеграл похож на интеграл Пуассона, который, как отмечалось ранее, не выражается через элементарные функции. Но появление множителя x в подынтегральной функции позволило свести его к табличному.

7.3. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти неопределенный интеграл ∫ f (x ) dx , но непосредственно подобрать первообразную дляf (x ) не удается, хотя известно, что она

существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования x некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом.

Такой метод называется методом замены переменной , или методом подстановки.

Итак, введем новую переменную t по формулеx =x (t ) . Считаем, что функцияx (t ) – дифференцируема на некотором интервале, при этом функцияf (x ) непрерывна на соответствующем интервале измененияx . Тогда

∫ f(x) dx= ∫ f(x(t) ) d x(t) = ∫ f(x(t) ) x′ (t) dt,

(7.1) – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

ПРИМЕР . Найти

x 2 + 1

Сделаем замену переменной по формуле: x =tg t

x 2 + 1

2 t + 13 =

cos3 t

cos2 t

= ∫ cost dt =sint +C = sin arctgx +C =

x 2 + 1

1+x 2

метрических функций в прямоугольном треугольнике: tg t – отношение

противолежащего катета x к прилежащему 1, sint – отношение противолежащего катетаx к гипотенузе

x 2 + 1 (рис. 1).

ПРИМЕР . Найти∫ dx . 1 + x


Пусть x =t 2				= t, dx= 2 t dt
	= ∫		2t		dt = 2 ∫	(t + 1) −1	dt =
						t + 1
		1 + t

2 ∫ dt −∫ t dt + 1 = 2(t − lnt + 1) +C = 2( x − ln( x + 1) ) +C .

Интегральное исчисление

раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис. ), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x ), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a , b ]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x 0 x 1 x n-1 x n = b , обозначая длины этих участков Δx 1 , Δx 2 , ..., Δx n ; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (ξ 1), f (ξ 2), ..., f (ξ n ) где ξ k - некоторая точка из отрезка [x k - 1 , x k ] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (ξ k) - его высота). Сумма S n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S ≈ S n = f (ξ 1) Δx 1 + f (ξ 2) Δx 2 + f (ξ n ) Δx n

или, применяя для сокращения записи символ суммы Σ (греческая буква «сигма»):

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины Δx k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти Предел сумм S n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Δx k стремится к нулю.

Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции f (x ), непрерывной на отрезке [а, b ], как к пределу интегральных сумм S n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

Символ ∫ (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x ) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = b , то, по определению, полагают

Свойства определённого интеграла:

(k - постоянная). Очевидно также, что

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объёмов тел («нахождение кубатур»), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f (x ) на отрезке [a , b ], выражается интегралом

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox ,- интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные Квадратурные формулы (например, трапеций формулу (См. Трапеций формула), Симпсона формулу (См. Симпсона формула)). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами (См. Несобственные интегралы).

Выражения вида

где функция f (x , α) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (См. Специальные функции) (см., например, Гамма-функция).

Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F (x ) является первообразной для данной функции f (x ), если F" (x ) = f (x ) или, что то же самое, dF (x ) = f (x ) dx. Данная функция f (x ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f (x ) содержатся в выражении F (x ) + С , которое называют неопределённым интегралом от функции f (x ) и записывают

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k - постоянные и m ≠ -1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, «в конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

где P (x ) и Q (x ) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм , Интегральный синус и интегральный косинус , Интегральная показательная функция).

Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл Исчерпывания метод , созданный Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский) и широко применявшийся Архимед ом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный «неделимых» метод (См. Неделимых метод) был возрожден И. Кеплер ом. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери , Э. Торричелли , Дж. Валлис ом, Б. Паскалем (См. Паскаль). Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n -й степени, а затем - работы Х. Гюйгенс а по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютон ом и Г. Лейбниц ем. Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлер а. В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский , В. Я. Буняковский , П. Л. Чебышев . В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман , А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Работы основоположников и классиков И. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Интегральное исчисление" в других словарях:

Интегральное исчисление - Интегральное исчисление. Построение интегральных сумм для вычисления определенного интеграла непрерывной функции f(x), график которой кривая MN. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и других задач. В систематической форме интегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г … Большой Энциклопедический словарь

Отдел высшей математики, учение о действиях, противоположных дифференциальному вычислению, а именно об определении зависимости между несколькими переменными величинами по данному дифференциальному уравнению из них. Таким образом, находится… … Словарь иностранных слов русского языка

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, см. ИСЧИСЛЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь

§1.Неопределенный интеграл, его свойства. Правила и формулы дифференцирования. Непосредственное дифференцирование.

Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления.

Пусть дана функция f (x ). Требуется найти такую функцию F (x ), что dF(x )=f " (x )dx, т.е. F" (x )= f (x ).

Функция F(x ) называется первообразной для функции f (x ). Выражение

F(x ) +C, где С – произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f (x ) и называется неопределенным интегралом . Действие нахождения функции по её дифференциалу называется интегрированием .

Необходимо выучить основные свойства неопределенного интеграла и основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

, где с =const

Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности (и наоборот).

Основные формулы интегрирования:

(1) (2) , где n

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

Пример 1. Найти

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем интеграл

Пример 2. Найти: а) ; б)

Р е ш е н и е. а) Воспользуемся определением степени с отрицательными показателями и найти интеграл

б) По формуле (2) найдем интеграл

Пример 3. Найти:

а) В подынтегральном выражении разделим числитель на

знаменатель и воспользуемся свойством неопределенного интеграла. .

Неопределенные интегралы вычислены с использованием формул (2) и (3) таблицы интегралов.

Пример 4. Вычислить I =

Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования над подынтегральной функцией:

Используя свойство 3 неопределенного интеграла, получим

Интегрирование подстановкой . Приём интегрирования функции, при котором путем замены всей подынтегральной функции или какой либо её части новым переменным приводится данный интеграл к табличному, называется интегрированием подстановкой.

Пример 5 . Вычислить

Р е ш е н и е. Выполним замену 2х =t ; тогда дифференцируя левую и правую части равенства, получим 2dx =dt и dx =

Следовательно,

При решении мы вынесли за знак интеграла сомножитель 1/2, применили формулу (7) и вернулись к прежней переменной х .

Пример 6. Вычислить .

Р е ш е н и е. Воспользуемся подстановкой х 2 + 3 = t , где t – новая переменная. Продифференцируем обе части равенства:

2xdx = dt , т.е. xdx= . Тогда интеграл имеет вид:

Произведя замену t = х 2 + 3 , получим

Пример 7. Найти

Р е ш е н и е. Замечаем, что sin xdx есть дифференциал функции – cosx . Полагая cosx =z, находим - sinxbх =bz , т.е. sinxbх =bz . Тогда интеграл имеет вид

Пример 8. Вычислить

Р е ш е н и е. Положим kх =t , тогда k · dx =dt , значит, dx=

Методом подстановки или методом элементарных преобразований были получены следующие табличные интегралы:

(10) (11)

(12) (13)

(14) (15)

§2. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона- Лейбница.

Пусть функция у = f (x ) разделена на отрезке от а до b на n элементарных равных частей точками a = x 0 < x 1 < x 2 < …< x n = b; выберем на каждом отрезке от х -1 до произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке от a до b называется сумма вида:

Определенным интегралом от функции f (x ) на отрезке от a до b называется пределинтегральной суммы при условии, что длина элементарного отрезка стремится к нулю; при этом употребляется запись .

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования .

Таким образом,

Для любой функции f (x ), непрерывной на отрезке от a до b , всегда существует определенный интеграл .

Основными свойствами определенного интеграла являются:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:

При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла на противоположный:

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f (x ) в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Все методы интегрирования рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются при вычислении определенного интеграла. Отметим, что если определенный интеграл вычисляется методом подстановки, то при переходе к новой переменной необходимо изменить и пределы интегрирования.

Пример 9. Вычислить

Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис. ), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x ), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a , b ]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x 0 < x 1 < ... < x n-1 < < x n = b , обозначая длины этих участков D x 1 , D x 2 , ..., D x n ; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (x 1), f (x 2), ..., f (x n ) где x k - некоторая точка из отрезка [x k - 1 , x k ] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (x k) - его высота). Сумма S n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S » S n = f (x 1) D x 1 + f (x 2) D x 2 + f (x n ) D x n

или, применяя для сокращения записи символ суммы S (греческая буква «сигма»):

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины D x k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти предел сумм S n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин D x k стремится к нулю.

Символ ò (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x ) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = b , то, по определению, полагают

кроме того,

Свойства определённого интеграла:

(k - постоянная). Очевидно также, что

(численное значение определённого интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования).

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox ,- интегралом

поверхность этого тела - интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (например, трапеций формулу , Симпсона формулу ). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления ).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами .

Выражения вида

где функция f (x , a ) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция ).

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

(«интеграл с переменным верхним пределом»), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):

выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k - постоянные и m ¹ -1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм , Интегральный синус и интегральный косинус , Интегральная показательная функция ).

Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл , Криволинейный интеграл , Поверхностный интеграл ), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции ) и вектор-функции (см. Векторное исчисление ).

О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл .

Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывания метод , созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом . Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный «неделимых» метод был возрожден И. Кеплером . В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери , Э. Торричелли , Дж. Валлисом , Б. Паскалем . Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n -й степени, а затем - работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем . Последнему принадлежит термин «интегральное исчисление» и обозначение интеграла ò ydx.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление ), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера . В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский , В. Я. Буняковский , П. Л. Чебышев . В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман , А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen ü ber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Большая Советская Энциклопедия М.: "Советская энциклопедия", 1969-1978