Покажем,
что если произвольная функция
задана на множестве
, в окрестности точки
имеет множество производных и является
суммой степенного ряда:
то можно найти коэффициенты этого ряда.
Подставим
в степенной ряд
.
Тогда
.
Найдем
первую производную функции
:
При
:
.
Для второй производной получим:
При
:
.
Продолжая
эту процедуру n
раз получим:
.
Таким образом, получили степенной ряд вида:
,
который
называется рядом Тейлора
для функции
в окресности точки
.
Частным
случаем ряда Тейлора является ряд
Маклорена
при
:
Остаток
ряда Тейлора (Маклорена) получается
отбрасыванием от основных рядов n
первых членов и обозначается как
.
Тогда функцию
можно записать как суммуn
первых членов ряда
и остатка
:,
.
Остаток
обычно
выражают разными формулами.
Одна из них в форме Лагранжа:
,
где
.
.
Заметим,
что на практике чаще используетсяряд Маклорена. Таким
образом, для того, чтобы записать функцию
в виде суммыстепенного ряданеобходимо:
1) найти коэффициенты ряда Маклорена (Тейлора);
2) найти область сходимости полученного степенногоряда;
3)
доказать, что данный ряд сходитсяк функции
.
Теорема
1
(необходимое и достаточное условие
сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус
сходимости ряда
.
Для того, чтобы этот ряд сходился
в интервале
к функции
,необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие:
в указанном интервале.
Теорема
2.
Если производные любого порядка
функции
в некотором промежутке
ограниченны по абсолютной величине
одним и тем же числомM
,
то есть
,
то в этом промежутке функцию
можно разложитьв ряд
Маклорена.
Пример
1
.
Разложить в
ряд Тейлора вокрестноститочки
функцию.
Решение.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Область сходимости
.
Пример
2
.
Разложить
функциюв ряд Тейлора вокрестноститочки
.
Решение:
Находим
значение функции и ее производных при
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Подставляем эти значения в ряд. Получаем:
или
.
Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера ряд сходится, если
.
Следовательно,
при любом
этот пределменее 1, а
потому область сходимости ряда будет:
.
Рассмотрим несколько примеров разложенияв ряд Маклорена основных элементарных функций. Напомним, что ряд Маклорена:
.
сходитсянаинтервале
к функции
.
Отметим, что для разложенияфункции в ряд необходимо:
а) найти коэффициенты ряда Маклорена для данной функции;
б) вычислить радиус сходимостидля полученного ряда;
в)
доказать, что полученный ряд сходитсяк функции
.
Пример
3.
Рассмотримфункцию
.
Решение.
Вычислим
значение функции и ее производных при
.
Тогда числовые коэффициенты ряда имеют вид:
для
любого n.
Подставим найденные
коэффициенты в ряд Маклорена и получим:
Найдем радиус сходимости полученного ряда, а именно:
.
Следовательно,
ряд сходитсянаинтервале
.
Этот
ряд сходитсяк функции
при любых значениях
,
потому чтоналюбом
промежутке
функция
иее производныепоабсолютной величинеограничены числом
.
Пример
4
.
Рассмотрим
функцию
.
Решение .
:
Нетрудно
заметить, что производные четногопорядка
,
а производные нечетногопорядка.
Подставим найденные коэффициенты в ряд
Маклорена иполучимразложение:
Найдем интервал сходимости данного ряда. По признаку Даламбера:
для
любого
.
Следовательно, ряд сходитсянаинтервале
.
Этот
ряд сходитсяк функции
,
потому что все ее производные
ограничены единицей.
Пример
5
.
.
Решение.
Найдем
значение функции и ее производных при
:
Таким
образом, коэффициенты данного ряда:
и
,
следовательно:
Аналогично
с предыдущим рядом область сходимости
.
Ряд сходитсяк функции
,
потому что все еепроизводные ограничены единицей.
Обратим
внимание, что функция
нечетнаяи разложениев рядпо нечетнымстепеням, функция
– четная и разложение в ряд по четным
степеням.
Пример
6
.
Биномиальный
ряд:
.
Решение .
Найдем
значение функции и ее производных при
:
Отсюда видно, что:
Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена и получим разложение данной функции в степенной ряд:
Найдем радиус сходимости этого ряда:
Следовательно,
ряд сходится на интервале
.
В предельных точках при
и
ряд может сходится или нет в зависимости
от показателя степени
.
Исследованный
ряд сходится на интервале
к функции
,
то есть суммаряда
при
.
Пример
7
.
Разложим в
ряд Маклорена функцию
.
Решение.
Для
разложенияв ряд этой
функции используем биномиальный ряд
при
.
Получим:
На основе свойства степенных рядов (степенной ряд можно интегрировать в области его сходимости) найдем интеграл от левой и правой частей данного ряда:
Найдем
область сходимости данного ряда:
,
то
есть областью сходимости данного ряда
является интервал
.
Определим сходимость ряда на концах
интервала. При
.
Этот ряд является гармоничным рядом,
то есть расходится. При
получим числовой ряд с общим членом
.
Ряд
по признаку Лейбница сходится. Таким
образом, областью сходимости данного
ряда является промежуток
.
В приближенных вычислениях степенные ряды играют исключительно большую роль. С их помощью составлены таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, таблицы значений других функций, которые используют в разных областях знаний, например в теории вероятностей и математической статистике. Кроме того, разложениефункций в степенной ряд полезно для их теоретического исследования. Главным вопросом при использовании степенных рядов в приближенных вычислениях является вопрос оценки погрешности при замене суммы ряда суммой его первыхn членов.
Рассмотрим два случая:
функция разложена в знакочередующийся ряд;
функция разложена в знакопостоянный ряд.
Вычисление с помощью знакочередующихся рядовПусть
функция
разложена в знакочередующийся степенной
ряд. Тогда при вычислении этой функции
для конкретного значения
получаем числовой ряд, к которому можно
применить признак Лейбница. В соответствии
с этим признаком, если сумму ряда заменить
суммой его первыхn
членов, то
абсолютная погрешность не превышает
первого члена остатка этого ряда, то
есть:
.
Пример
8
.
Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение .
Будем
использовать ряд Маклорена для
,
подставив значение угла в радианах:
Если сравнить первый и второй члены ряда с заданной точностью, то: .
Третий член разложения:
меньше
заданной точности вычисления.
Следовательно, для вычисления
достаточно оставить два члена ряда, то
есть
.
Таким
образом
.
Пример
9
.
Вычислить
с точностью 0,001.
Решение .
Будем
использовать формулу биномиального
ряда. Для этого запишем
в виде:
.
В
этом выражении
,
Сравним
каждый из членов ряда с точностью,
которая задана. Видно, что
.
Следовательно, для вычисления
достаточно оставить три члена ряда.
или
.
Пример 10 . Вычислить число с точностью до 0,001.
Решение .
В
ряд для функцїї
подставим
.
Получим:
Оценим погрешность, которая возникает при замене суммы ряда суммой первых членов. Запишем очевидное неравенство:
то
есть 2