Боярышник обыкновенный Боярышник обыкновенный Научная классификация Царство: Растения … Википедия

Экспоненциальное сглаживание метод математического преобразования используемый при прогнозировании временных рядов … Википедия

Индикатор Стохастик - (Stochastic Oscillator) Стохастический осциллятор, описание Stochastic, версии трендового индикатора Stochastic, Торговые сигналы индикатора Стохастик Добавление индикатора Stochastics на график торгового терминала Metatrader (MT), настройка… … Энциклопедия инвестора

Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1. Земледелие. 2.… …

I КАРТА ЯПОНСКОЙ ИМПЕРИИ. Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1 … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

I Урал территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… …

Схизейные травянистые, реже лиановидные папоротники, преимущественно тропические и субтропические. Лишь немногие виды встречаются в умеренных областях Северной Америки и Японии, Чили, Новой Зеландии, Тасмании и Южной Африки. Схизейные,… … Биологическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Поза (значения). Поза (из фр. pose через немецкий, ранее из лат. pono (супин positum) «класть, ставить») положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и… … Википедия

Поза (лат. positum класть, ставить; fr: pose) положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и конечностей по отношению к друг другу. Содержание 1 Общая характеристика позы … Википедия

Урал, территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… … Большая советская энциклопедия

таблице 4.

Таблица 4.

имеется тенденция в дисперсии (t K t теор ) и имеется тенденция в среднем, так какt L t теор . Следовательно, можно говорить о наличии тренда во временном

Метод средних

5.3. Методы механического сглаживания временного ряда

Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при

этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четкого выявления тенденции развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых

моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с

использованием фактических значений соседних уровней.

2) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной

между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных

колебаний;

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем.

Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине

Метод простой скользящей средней.

Самый простой метод сглаживания - скользящее среднее, в котором

дних членов, где m - ширина интервала сглаживания. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в интервал сглаживания.

Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие колебания, интервал сглаживания уменьшают. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным.

Для вычисления сглаженных уровней ряда Y t применяется формула:

В результате такой процедуры получаются (n-m+1 )сглаженных значений уровней ряда; при этом первыер и последниер уровней ряда теряются (не сглаживаются). -

При четных значениях т, после процедуры сглаживания обычно поводят центрирование полученного ряда (находят средние значения двух последовательных скользящих средних).

Данный метод применим применим лишь для рядов, имеющих линейную

тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям.

Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить волны, то предпочтительной является взвешенная

скользящая средняя. При построении взвешенной скользящей средней на

каждом интервале сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле взвешенной средней арифметической:

где w i - весовые коэффициенты, определяемы методом наименьших

квадратов, при этом выравнивание на каждом интервале сглаживания осуществляется чаще всего с применением полиномов второго или третьего порядков11 .Например, весовые коэффициенты для интервала 5 будут

следующие: 35 1 [ 3, 12, 17, 12, 3] , а для интервала 7: 21 1 [ 2, 3, 6, 7, 6, 3, 2]

Пример . Задан временной ряд объема выпуска продукции (в тыс. руб). Уровни ряда Y (t ) приведены в таблице 5.

Выберем интервал сглаживания m=3 и проведем сглаживание простой скользящей средней (третья строка таблицы) После сглаживания явно видна возрастающая тенденция.

11 Михтарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика.: учеб./ под ред. Михтарян В.С. М.: ООО

«Проспект»,2008 , стр. 293

коэффициенты.

Метод экспоненциального сглаживания.

При исследовании экономических данных иногда важным является влияние на процесс более поздних наблюдений. Этот вопрос решает метод

экспоненциального сглаживания. В этом случае текущее значение временного

ряда сглаживается с учетом сглаживающей константы (веса), обычно

обозначаемой. Расчет проводится по следующей формуле:

S t Y t (1) S t 1 , (5.4),

Рассматривая рекуррентный процесс разложения для величин S t 1 ,S t 2 и

т.д. по формуле (5.4), получим:

где j – число периодов отставания от моментаt . Согласно формуле (5.5)

относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение.

Отсюда и название данного метода.

При практическом использовании метода возникают проблемы выбора параметра и определения начального уровня Y 0 . Чем больше значение

параметра, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней В каждом конкретном случае необходимо выбирать наиболее приемлемое

значение. Чаще всего это делается на основе проверки нескольких значений.

Задачу выбора начального значения Y 0 решают следующим образом: заY 0

принимается первое значение временного ряда или среднее арифметическое

нескольких первых членов ряда.

Рассмотрим предыдущий пример. Проведем экспоненциальное

сглаживание временного ряда (третья строка табли цы)

Первое сглаженное значение равняется первому уровню ряда.. Следующее сглаженное значение рассчитываем согласно формуле (5.3), где

Очень часто, урони рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание ) временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1. аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

2. механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и так далее.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.

2.4.1. Метод простой скользящей средней.

Сначала для временного ряда: определяется интервал сглаживания . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания.

Для первых уровней ряда вычисляется их среднее арифметическое. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление среднего арифметического и так далее. Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:

где (при нечетном ); для четных формула усложняется.

В результате такой процедуры получаются сглаженных значений уровней ряда; при этом первые и последние уровней ряда теряются (не сглаживаются). Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.

2.4.2. Метод взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени начиная со второй.

Используется формула средней арифметической взвешенной:

,

причем веса определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.

1. для полиномов второго и третьего порядков числовая последовательность весов при интервале сглаживания имеет вид: , а при имеет вид: ;

2. для полиномов четвертой и пятой степеней и при интервале сглаживания последовательность весов выглядит следующим образом: .

Распределение весов на протяжении интервала сглаживания, полученное на основе метода наименьших квадратов см. на диаграмме 1.

2.4.3. Метод экспоненциального сглаживания.

К той же группе методов относится метод экспоненциального сглаживания.

Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.

Если для исходного временного ряда

соответствующие сглаженные значения обозначить через , то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

где параметр сглаживания ; величина называется коэффициентом дисконтирования.

Используя, приведенное рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени , можно получить, что экспоненциальная средняя, то есть сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней.

Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность развития объекта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приёмы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой метод - метод подвижной (скользящей) средней. Суть метода состоит в замене исходных уровней средними арифметическими за определённые периоды. При этом сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания . Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нежно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Процесс сглаживания, для первых уровней динамического ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в средине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д. Для вычисления сглаженных уровней временного ряда применяется формула:

(5.6)

В результате такой процедуры получаются сглаженных значений уровней ряда; при этом первые уровней и последние уровней ряда теряются (не сглаживаются).

К этому методу сглаживания (выравнивания) примыкает экспоненциальное сглаживание. Особенность данного метода заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом. Если для исходного динамического ряда соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через , , то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

где параметр сглаживания; называется коэффициентом дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение (5.7) для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени , можно получить, что экспоненциальная средняя, т. е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

, (5.8)

где величина, характеризующая начальные условия.

В практических задачах обработки экономических времен­ных рядов рекомендуется (необоснованно) выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3. Других точ­ных рекомендаций для выбора оптимальной величины пара­метра пока нет. В отдельных случаях Р. Браун предлагает определять величину исходя из длины сглаживаемого ряда:

Что касается начального параметра So, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда , или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, членов :

Указанный выше порядок выбора величины So обеспе­чивает хорошее согласование сглаженного и исходного ря­дов для первых уровней. Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Заметим, что при этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни ко­нечные уровни сглаживаемого временного ряда.

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.